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1、第三节估计量的评第三节估计量的评选标准选标准现在学习的是第1页，共11页注注:在科学技术中称在科学技术中称 为以为以 作为作为 的的估计的系统误差。则无偏估计即无系统误差。估计的系统误差。则无偏估计即无系统误差。无偏性的无偏性的实际意义实际意义是指没有系统性的偏差是指没有系统性的偏差。它是用数学期望衡量其靠近真值的程度。它是用数学期望衡量其靠近真值的程度。用用样样本本均均值值作作为为总总体体均均值值的的估估计计时时，虽虽无无法法说说明明一一次次估估计计所所产产生生的的偏偏差差，但但这这种种偏偏差差随随机机地地在在“0”的的周周围围波波动动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差对同一统计问
2、题大量重复使用不会产生系统偏差。例如：例如：现在学习的是第2页，共11页例例1.设总体设总体 X 的均值的均值 ,方差方差 都存在都存在，若若证明证明:的两个估计量的两个估计量前者是有偏的，后者是无偏的。前者是有偏的，后者是无偏的。证明证明:现在学习的是第3页，共11页是有偏的是有偏的.数学期望的性质现在学习的是第4页，共11页（样本方差）（样本方差）是无偏的。是无偏的。现在学习的是第5页，共11页结论结论:样本均值、样本方差作为总体均值、总体方差的估样本均值、样本方差作为总体均值、总体方差的估计量是无偏的，它要比矩估计法，极大似然估计法计量是无偏的，它要比矩估计法，极大似然估计法出来的统计量
3、更接近于真值。所以：一般可取样本出来的统计量更接近于真值。所以：一般可取样本均值与方差作为总体均值与方差的估计量。均值与方差作为总体均值与方差的估计量。二二.有效性有效性注意到注意到，一个参数往往有不止一个无偏估计，一个参数往往有不止一个无偏估计,若若 和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，又由于又由于 ，这就引出，这就引出有效有效 性性这个评选标准。这个评选标准。较较和和的大小来决定二者谁的大小来决定二者谁则可通过比则可通过比更优更优。现在学习的是第6页，共11页定义：定义：的估计，且两个样本的容量相等。若：的估计，且两个样本的容量相等。若：设设 与与都是都是 的无偏的无偏则称则
4、称 较较 有效有效。注注:有效性指的是在同是有效性指的是在同是 的无偏估计量的前提下的无偏估计量的前提下,希望估计值与真值的偏离程度越小越好。一般希望估计值与真值的偏离程度越小越好。一般称方差愈小的估计量愈有效。称方差愈小的估计量愈有效。现在学习的是第7页，共11页例例 2.求求:与与 哪个作为哪个作为 的无偏估计更有效？的无偏估计更有效？解解:且显然，且显然，若总体若总体 X 的均值为的均值为 方差方差 ，但均为未，但均为未知，现有两个知，现有两个 的无偏估计量的无偏估计量：用用 作为作为 的估计量更有效。的估计量更有效。现在学习的是第8页，共11页 三三.一致性一致性(相合性相合性)注意到
5、注意到，前面介绍的无偏性和有效性都是在样本容量，前面介绍的无偏性和有效性都是在样本容量 n 固定的前提下提出的。当样本容量固定的前提下提出的。当样本容量 n 增大时自然希望估计增大时自然希望估计量对未知参数的估计更精确；量对未知参数的估计更精确；再注意到再注意到，在无偏估计类中所讨论的是以估计量，在无偏估计类中所讨论的是以估计量的方差的大小作为衡量估计量为的方差的大小作为衡量估计量为“最优最优”的准则。但的准则。但是无偏估计类中方差为最小或较小的估计量不一定是无偏估计类中方差为最小或较小的估计量不一定比某个有偏的估计量的方差来的小；比某个有偏的估计量的方差来的小；另外，另外，有偏与无偏是反映估
6、计量的数学期望是否有偏与无偏是反映估计量的数学期望是否等于被估计的参数的真值；方差的大小是反映估计量的观等于被估计的参数的真值；方差的大小是反映估计量的观测值与被估计的参数的真值的离散程度。如果希望在偏差测值与被估计的参数的真值的离散程度。如果希望在偏差性与离散性两者兼顾的原则下建立估计量为性与离散性两者兼顾的原则下建立估计量为“最优最优”的准的准则，这就引出则，这就引出相合性相合性的概念。的概念。现在学习的是第9页，共11页则称则称 为为 的的一致估计量一致估计量(相合估计量相合估计量)注注:一般一般，一致性（相合性）是要在样本容量相当大时才能，一致性（相合性）是要在样本容量相当大时才能显示
7、出其优越性。但这在实际中很难做到。因此在工程显示出其优越性。但这在实际中很难做到。因此在工程中经常使用的是无偏性和有效性这两条衡量估计量为中经常使用的是无偏性和有效性这两条衡量估计量为“最优最优”的准则。的准则。定义：定义：设设 为参数为参数 的估计量，若对于任意的的估计量，若对于任意的当当 时时 依概率收敛于依概率收敛于但但值得指出值得指出的是：若估计量不具有相合性，那么的是：若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量不论将样本容量 n 取的多大，都不能使得待估计取的多大，都不能使得待估计量估计的足够准确。量估计的足够准确。即：即：现在学习的是第10页，共11页似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为令令令令设设 为为总体总体的样本的样本,求未知参数求未知参数 的的试证试证 是是 的无偏估计与相合估计的无偏估计与相合估计.,求得求得 的的 为为是是 的无偏估计与相合估计的无偏估计与相合估计.现在学习的是第11页，共11页