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1、合情推理与演绎推理课件第1页，本讲稿共42页 内容结构内容结构 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、包括直接证明的方法（如分析法、综
2、合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。言之有理、论证有据的习惯。第2页，本讲稿共42页2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理第3页，本讲稿共42页本节知识结构本节知识结构推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳（部分到整体、（部分到整体、特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）第4页，本讲稿共
3、42页2.1.1 合情推理合情推理第5页，本讲稿共42页归纳推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，1037，20317，301317偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3，一个偶数（不小于一个偶数（不小于6 6）总可以表示成两个）总可以表示成两个 奇质数之和；奇质数之和；没有发现反例没有发现反例 。83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971，第6页，本讲稿共42页归纳推理的定义归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征,推出推出该类事物的全部对象都具有这些特
4、征的推理该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或或者由个别事实概括出一般结论的推理者由个别事实概括出一般结论的推理,称为称为归纳归纳推理推理(简称归纳简称归纳).).简言之简言之,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体部分到整体、由、由个别到一个别到一般般的推理。的推理。第7页，本讲稿共42页例如：例如：金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此后分子的凝聚力减弱，分
5、子运动加速，分子彼此距离加大，从距离加大，从而导致体积而导致体积膨膨胀胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。第8页，本讲稿共42页例如：例如：磨擦双手（磨擦双手（S S1 1）能产生热（）能产生热（P P），），敲击石头（敲击石头（S S2 2）能产生热（）能产生热（P P），锤击铁块（锤击铁块（S S3 3）能产生热（）能产生热（P P），磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。所以，物质运动能产生热。第9页，本讲稿共42页例例:观察下图观察下图,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21+
6、3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，第10页，本讲稿共42页第11页，本讲稿共42页归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：检验猜想。检验猜想。提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；归纳整理；第12页，本讲稿共42页类比推理类比推理“火星上是否有生命火星上是否有生命”第13页，本讲稿共42页【例【例2】如图，利用类比推测球的有关性质】如图，利用类比推测球的有关性质 圆 球 圆心与弦（非直径）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦中点的连线垂直于弦 与
7、圆心距离相等的与圆心距离相等的 两条弦长相等两条弦长相等 圆的周长圆的周长C=圆的面积圆的面积S=球心与截面圆（不经过球心球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆。于截面圆。与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等；等的两个截面圆面积不等；与球心距离较近的截面圆面与球心距离较近的截面圆面积较大。积较大。球的表面积球的表面积球的体积球的体积第14页，本讲稿共42页 由两类对象具有某些类似特征，和其中一由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具类对
8、象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为有这些特征的推理称为类比推理（简称类类比推理（简称类比）比）类比推理的定义类比推理的定义:简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 发发明行星三大明行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说类曾说类比推理比推理是自然奧妙的是自然奧妙的参与者参与者和自己最好的老和自己最好的老师师 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路类比是一个伟大的引路人人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”.”第15页，本讲稿共42页第16页，本讲稿共42页类比推理的
9、一般步骤：类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；检验猜想。检验猜想。第17页，本讲稿共42页 类比推理举例类比推理举例第18页，本讲稿共42页例例3 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间给出空间 中四面体性质的猜想中四面体性质的猜想第19页，本讲稿共42页直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角
10、边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S例例3 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,试试 给出空间中四面体性质的猜想给出空间中四面体性质的猜想第20页，本讲稿共42页第21页，本讲稿共42页 合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为我们把它们统称为合情
11、推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向的思路和方向第22页，本讲稿共42页第23页，本讲稿共42页第24页，本讲稿共42页第25页，本讲稿共42页第26页，本讲稿共42页第27页，本讲稿共42页第28页，本讲稿共42页第29页，本讲稿共42页1.复习复习:前面学
12、习了前面学习了归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理这两种合情这两种合情推理推理,归纳推理是由特殊到一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理第30页，本讲稿共42页1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除,4.4.全等的三角形面积相等全等的三角形面积相等 所以铜能够导电所以铜能够导电.因为铜是金属因为铜是金属,所以所以(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除.因为因为(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数,那么三角形那么三角形ABCABC与三角形与三角形A
13、A1 1B B1 1C C1 1面积相等面积相等.如果三角形如果三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1全等全等,3.3.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数,所以所以tan tan 是周期函数是周期函数因为因为tan tan 是三角函数是三角函数,2.判断下列推理是否是合情推理判断下列推理是否是合情推理第31页，本讲稿共42页从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为法，称为演绎推理演绎推理注：注：演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；第32页，本讲稿共42页1.1.所有的金属都能导电所有的金属
14、都能导电,所以铜能够导电所以铜能够导电.因为铜是金属因为铜是金属,2.2.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数,所以所以tan tan 是周期函数是周期函数因为因为tan tan 是三角函数是三角函数,大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包括是演绎推理的一般模式；包括大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断.第33页，本讲稿共42页2.三段论是演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式,包括包括
15、:(1)大前提大前提 已知的一般原理已知的一般原理;(2)小前提小前提 所研究的特殊情况所研究的特殊情况;(3)结论结论 根据一般原理根据一般原理,对对殊情况做出的判断殊情况做出的判断.特特M是是P，S是是M，所以，所以，S是是P。用集合论的观点看用集合论的观点看,三段论三段论的依据是的依据是:若集合若集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P,S是是M的一个子集的一个子集,那那么么S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.M MS Sa a第34页，本讲稿共42页1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电,所以所以,铜能够导电铜能够导电.铜是金属铜是金属,2.个位数字是个位数
16、字是0或或5的正整数必是的正整数必是5的倍数的倍数2375的个位数是的个位数是5所以，所以，2375是是5的倍数的倍数第35页，本讲稿共42页例例1.已知已知lg2=m,计算计算lg0.8解解（1）lgan=nlga(a0)lg8=lg23所以所以lg8=3lg2（2）lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)lg0.8=lg(8/10)所以，所以，lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论第36页，本讲稿共42页练习：练习：1.1.把下列推理恢复成完全的三段论把下列推理恢复成完全的三段论:(1)(1)因为因为 ,所以所以 (2
17、)(2)函数函数 的图象是一条直线的图象是一条直线.第37页，本讲稿共42页练习练习2.如图如图,D,E,F分别是分别是BC,CA,AB上的点上的点,BFD=A,DEBA,求证：求证：ED=AF.ABDCEF证证:(1)同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行,(大前提大前提)BFD与与A是同位角是同位角,且且BFD=A,(小前提小前提)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提大前提)DEBA且且DFEA,(小前提小前提)所以所以,DFEA.(结结 论论)所以所以,四边形四边形AFDE是平行四边形是平行四边形.(结结 论论)(3)平行四边形的对
18、边相等平行四边形的对边相等,(大前提大前提)ED和和AF为平行四边形的对边为平行四边形的对边,(小前提小前提)所以所以,ED=AF.(结结 论论)第38页，本讲稿共42页练习练习3.3.指出下列推理中的错误指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因并分析产生错误的原因;(1)(1)整数是自然数整数是自然数,-3-3是整数是整数,-3-3是自然数是自然数;(2)(2)无理数是无限小数无理数是无限小数,是无限小数是无限小数,是无理数是无理数.第39页，本讲稿共42页演绎推理错误的主要原因演绎推理错误的主要原因（1）大前提不成立；）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的条件）小前提不符合大前提的条
19、件第40页，本讲稿共42页4.演绎推理具有如下特点演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于结论完全蕴涵于前提之中。前提之中。(2)在演绎推理中在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联前提与结论之间存在必然的联系系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。严格证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。于科学的理论化和系统化。第41页，本讲稿共42页第42页，本讲稿共42页