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1、玻恩近似玻恩近似玻恩近似玻恩近似 如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能大得多，以致势能大得多，以致势能 可以看作是微扰时，体系的哈密顿可以看作是微扰时，体系的哈密顿算符可以写成算符可以写成 式中式中 是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发，粒子是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发，粒子的散射相当于在常微扰的散射相当于在常微扰 的作用下，从动量的作用下，从动量 的初态跃的初态跃迁到动量为迁到动量为 的末态，在弹性散射情况下，的末态，在弹性散射情况下，即弹性散射只改变粒子的运动方向，不改变其动量的大小。即弹性散射只改变粒子的运动方向，不
2、改变其动量的大小。（25）（26）由常微扰跃迁概率公式由常微扰跃迁概率公式 式中式中 是微扰矩阵元，是微扰矩阵元，是动量大小为是动量大小为 ，在，在 方向方向上立体角上立体角 内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角时间内跃迁到立体角 内的粒子数内的粒子数 ，由（，由（3）式）式 比较后可得微分散射截面比较后可得微分散射截面式中的微扰矩阵元式中的微扰矩阵元 ，入射粒子流强度，入射粒子流强度 及态密度及态密度的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们这里的初末态是具有确定动量这
3、里的初末态是具有确定动量 和和 的自由粒子，设其的自由粒子，设其波函数分别为波函数分别为（27）式中式中 为归一化体积，为归一化体积，表示单位体积内具有确定动量表示单位体积内具有确定动量的粒子数（即状态数），所以入射粒子流强度的粒子数（即状态数），所以入射粒子流强度微扰矩阵元为微扰矩阵元为而在动量表象的波函数而在动量表象的波函数（28a）（28b）可见在动量空间中具有确定动量可见在动量空间中具有确定动量 的状态数变为的状态数变为 个，于是在个，于是在 范围内的状态数应为范围内的状态数应为 ，用球坐标，用球坐标表示表示即沿即沿 方向的立体角方向的立体角 内的末状态密度内的末状态密度而而 ，代入上
4、式得代入上式得（28c）将（将（28a），（），（28b），（），（28c）代入（）代入（27)式，得式，得式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振幅幅 有一负号，引进矢量有一负号，引进矢量若入射波矢与散射波矢间的夹角（即散射角）为若入射波矢与散射波矢间的夹角（即散射角）为 ，则，则 的数值为的数值为（29）（30）（31）我们取我们取 的方向为球坐标的极轴方向，的方向为球坐标的极轴方向，为方位角，为方位角，则可简化积分为则可简化积分为因而散射截面为因而散射截面为上式即为玻恩近似表达式。若势能已知，计算积分后即可求上式即为玻恩近似
5、表达式。若势能已知，计算积分后即可求出微分散射截面。出微分散射截面。（32）所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出出 的具体形式后，如何计算积分的具体形式后，如何计算积分 ，下面，下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式式中式中玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，这里不作过多讨论，玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，这里不作过多讨论，它与分波法（适用于粒子的低能散射）相互补充，作为散射它与分波法（适用于粒子的低能散射）相互补充，作为散射问题的两种主要近似方法。问题的两种主要近
6、似方法。例一例一 计算高速带电粒子被中性原子内部的屏蔽库仑场计算高速带电粒子被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。所散射的散射截面。解：高速带电粒子属高能粒子，故解：高速带电粒子属高能粒子，故 若若 ，即入射粒子能量较高，散射角较，即入射粒子能量较高，散射角较大，这时散射在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内大，这时散射在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，核外电子不起屏蔽作用，微分散射截面为部，核外电子不起屏蔽作用，微分散射截面为 卢瑟福卢瑟福(Rutherfoed)散射公式散射公式 例二例二 用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射时的散射截面。中散射时
7、的散射截面。解：解：由由 得得 式中式中 于是于是 微分散射截面为微分散射截面为 总散射截面总散射截面分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上，顺次计算分波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上，顺次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的。所以只级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的。所以只能在一定条件下计算级数中的前几项，达到一定的精确度能在一定条件下计算级数中的前几项，达到一定的精确度即可。即可。分波法适用的条件写成分波法适用的条件写成 ，而，而 的分波不必考的分波不必考 虑，虑，
8、愈小，则需计算的项数愈少，当愈小，则需计算的项数愈少，当 时，时，只需计算一个相移只需计算一个相移 就足够了。就足够了。足够小意味着入射粒足够小意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射。子的动能较低，所以分波法适用于低能散射。例一例一 求粒子受势能求粒子受势能 散射的微分散射截面。散射的微分散射截面。解：解：把把 代入径向方程，得代入径向方程，得 令令 ，得，得 的方程为的方程为式中式中 ，这是一个贝塞耳方程，其解为，这是一个贝塞耳方程，其解为考虑到考虑到 时波函数应为有限值，则时波函数应为有限值，则 ，故，故考虑到考虑到 的渐近行为的渐近行为 故有故有与与 相比较，得相比较，得当当 很小时，上式展开并略去高次项得很小时，上式展开并略去高次项得将结果代入将结果代入 ，并考虑到，并考虑到 ，所以，所以 （1）对）对 分波，分波，所以所以（2）一般情况，利用勒让德函数的母函数，可得）一般情况，利用勒让德函数的母函数，可得 所以所以