《《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题-参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题-参考答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限:(1)lim2 xy1yxy2(2)3(x,y)2,1;(x,ylim),x2 y2sin2x2 y2;(3)(4)(x,ylimxy)0,0 xy 11;解解:(1)当(x,y)12,2时，1 xy 0，因此1lim1yxy2(x,y)12 xylim1y(1xy)22,2(x,y)11(1 xy)2,2 e。(2)当(x,y),时，333x2 y2 0，因此sinx2 y2x2 y2，(x,ylim),x2 y2sin3x2 y2(x,ylim),x2 y23x2 y2 3。(3)当(x,y)0,1时，xy 0，因此
2、sin xy xy，limsinxy(x,y)0,1x(x,limxyy)0,1x1。(4)当(x,y)0,0时，xy 110,xy 0，因此，xy 11(x,ylimxyxy)0,0 xy 11(x,ylim)0,0 xy(x,ylim)0,0 xy 11 2。42 2证明：当证明：当(x,y)0,0时，时，f(x,y)x y4的极限不存在。的极限不存在。x4 y43证明证明:取y kx2(k 0)，则x4y44(x,ylim)0,0 x4 y43(x,ylimk4x x8)0,0 x4k4x43(x,ylimk4)0,01k43k41k43sin xy(x,ylim)0,1x;显然此极限值
3、与 k 的取值相关，因此当(x,y)0,0时，f(x,y)x4y4x4 y43的极限不存在。二、填空题3.x22xy；4.(x,y)|1 x2 y2 4；5.2xyex y；6.8.19.220；7.xexy x2；yxdxdyexy(1 xy)dx x2exydy；10.1(xy)21(xy)211.dy.三、选择题12.C13.D14.D四、计算与应用题15.(1)z ex2y2,求zx(0,1),zy(1,0)；(2)z arctan2y,求zx(1,1),zy(1,1)；xx解：(1)zx 2xey2,zy 2ye2x2y2，2x因此，zx(0,1)2xey2(0,1)x 0,zy(1
4、,0)2yey2(1,0)0。x2(2)zxx2 y2yx21xy 2 2z,，y22222x yx yxx yx因此，zx(1,1)yx2 y2(1,1)1x,z(1,1)y2x2 y2(1,1)1 216.已知 f(x,y)exy yx2,求 fx(x,y)和 fy(x,y)解：fx(x,y)yexy 2xy，fy(x,y)xexy x217.已知设Z (3x2 y2)4x2y,求ZZ和xy解：Z uvu 3x2 y2v 4x 2yZZ vuv1 uvlnuuvuvuv 2y，2 6x，4，yyxxZZuZv 6x(4x 2y)(3x2 y2)4x2y1 4(3x2 y2)4x2yln(3
5、x2 y2)xuxvxZZuZv 2y(4x 2y)(3x2 y2)4x2y1 2(3x2 y2)4x2yln(3x2 y2)yuyvyexy18.z 2，求zx;zy。2x y解zxyexyx2 y2exy(2x)x2 y22x2y y32xx2 y22e；zyxyxexyx2 y2exy(2y)x2 y22x3 xy22xx2 y22exy19.设函数Z ln(x y2)，求dZ解：dZ ZZ12ydx dy dx dyxyx y2x y22Zxy2Z20.设Z xln(x y),求2,x2z1(x y)xx2yz1解：ln(x y)x，222x yx(x y)(x y)xx y2z1 x
6、yxyx y(x y)2(x y)221.计算下列函数的二阶偏导数:(1)z xxy；(2)z (cos x ysin x)e；22x y解:(1)zxx2 y22x2x2 y22y2 x2x2 y22,zy2xyx2 y22，zxx2xx2 y22y2 x2x2 y2(2x)22242222222 zxy zyyx yx y2yx y2y xx y(2y)2y3x yx yx y2xx y2xyx y(2y)2xx 3y。x yx y2232222422232222222242232xx23y22xyxy(sin x 2ycos x y sin x)e(2)z,zxy(sinx xcosx
7、xysinx)e2xy2xyzxx(cos x 2ysin x y cos x)e y(sin x 2ycos x y sin x)e(cos x 3ysin x 3y2cos x y3sin x)exy;xy2xy zxy(2cos x2ysinx)e x(sinx 2ycosx y sinx)e(2cos x 2ysin x xsin x 2xycos x xy2sin x)exyxy(2x x2y)sin x x2cosxzeyy。22求复合函数的偏导数或导数:(1)z u lnv,u 2z zy,v x2 y2，求,；x yx22(2)z e,u lnx y,v arctanuvz z
8、y,；，求x yx22y2x2zz uz vy u22 2ulnv2(2x)32解:(1),ln x y2xu xv xxx yxv1u22y y2zz uz v22 2ulnv(2y)22ln x y;xvyu yv yxx y2(2)xyvx uyuvzz uz vuv veuv2uee,22222x yx yx yxu xv xzz uz vyxux vyuvuv veuv2uee;yu yv yx y2x2 y2x2 y223求下列方程所确定的隐函数的导数:yx(1)xy sin(xy)0;(2)x 2y 1;(3)x y;(4)sin(xy)x y x y.2222解：(1)方程两边
9、关于 x 求导，得y xy ycos(xy)xcos(xy)y 0因此，所求隐函数的导数为dyy。dxxdyx。dx2y(2)方程两边关于 x 求导，得2x 4yy 0，因此，所求隐函数的导数为(3)方程两边关于 x 求导，得yln x yx ln y yxyyln ydyx因此，所求隐函数的导数为。xdxln xy(4)方程两边关于 x 求导，得ycos(xy)xcos(xy)y 2xy 2x yy1 y22dyycos(xy)2xy21因此，所求隐函数的导数为。dxxcos(xy)2x2y 124.设Z Z(x,y)由方程eZ x2y lnZ 0确定，求dZ解：令F(x,y,Z)eZ x2
10、y lnZ 0FFF1 x2 2xy eZyxZZFyFxZx2x2ZZ2xy2xyZ ，yFZeZ1ZeZ1xFZeZ1ZeZ1ZZ2xyZx2ZdxZdy所以dZ ZZe 1Ze 125求下列函数的极值，并确定其性质(1)z x y 3xy；(2)z x y 2ln x 2ln y；(3)z x y33222e1x2；2zx 3x 3y 0解:(1)由可得驻点(0，0)和(1,1)，又zxx 6x,zxy 3,zyy 6y，因此2y 3y 3x 0z2在驻点(0，0)处，A zxx 0,B zxy 3,C zyy 0，且满足B AC 9 0因此在驻点(0，0)处函数无极值。2在驻点(1,1
11、)处，又A z且满足B AC 27 0，A 6 0，xx 6,B zxy 3,C zyy 6,，因此在驻点(1,1)处函数取得极小值-1。2 z 2x 0 x22x 2,z 0,z 2(2)由可得惟一驻点(1，1)，又z，因此xxxyyy222xyz 0y 2y y在驻点(1，1)处，A zxx 4,B zxy 0,C zyy 4，且满足B2 AC 16 0，A 4 0,因此在驻点(1，1)处函数极小值 2。11xx1222 z ex ye 0 x2(3)由可得惟一驻点(-2,0)。1x2 z 2ye 0yx11xx12222 e(x y)e,z ye,z 2e又z，xxxyyy4x2因此在驻
12、点(1，1)处，A zxx111e,B zxy 0,C zyy 2e，2且满足B AC e22 0，A12 0,因此在驻点(-2,0)处函数极小值。2ee26求下列函数的条件极值：(1)z xy,x y 2；(2)z xy 1,(x 1)(y 1)1,x 0,y 0；(3)z x y,111,x 0,y 0；xy2zx 3x 8x 2y 0解：(1)由得驻点(0，0)和(2，2)，zy 2x 2y 0 0,Lxy 1,L又因为Lxxyy 0,dx dy 0，从而在驻点处:dx2Lxydxdy Ld L Lxxyydy 2dx 0,2222因此原函数在驻点(1，1)处取得极大值 1。(2)构造拉
13、格朗日函数L(x,y,)xy 1(xy x y)，y(y 1)0Lx由Ly x(x 1)0得驻点(2，2，-2)，L xy x y 0 0,Lxy 1,L又因为Lxxyy 0,ydx xdy dx dy 0，从而在驻点处dx2Lxydxdy Ld L Lxxyydy 2dx 0,2222因此原函数在驻点(2，2)处取得极小值 3。(3)构造拉格朗日函数L(x,y,)x y 111，xy 12 0Lxx由L 1 0得驻点(2，2，4)，y2y11 L 1 0 xy 又因为Lxx222dxdy,L 0,L,0，从而在驻点处xyyyx3y3x2y2222dx2Lxydxdy Ld L Lxxyydy
14、 2dx 0,因此原函数在驻点(2，2)处取得极小值 4。27求下列函数的最值：(1)z x 4x 2xy y,1 x 4,1 y 1；(2)z x y x y,x y 1；(3)z x y x y xy,x y 3,x 0,y 0；2zx 3x 8x 2y 0解：(1)由得驻点(0，0)和(2，2)，z 2x 2y 0y222222322又A zxx 6x 8,B zxy 2,zyy 2,从而在驻点(0，0)处:2A 8 0,B zxy 2,zyy 2,且B AC 416 0,因此原函数在驻点(0，0)处取得极大值 0;在驻点(2，)处:2A 4 0,B zxy 2,zyy 2,且B AC
15、48 0,因此原函数在驻点(2，2)处无极值;在边界x 1,1 y 1上，原函数化为z y 2y 5 (y 1)4,因此22zmax(1,1)4,zmin(1,1)8,1 y 1;在边界x 4,1 y 1上，原函数化为z y 8y (y 4)16,因此zmin(4,1)9,zmax(4,1)7,1 y 1;在边界y 1,1 x 4上，原函数化为z x 4x 2x 1,2由z 3x 8x 2 0可知此时的驻点为x13222422422 1,x2 4,33又因为zx 6x18 0,zx 6x28 0,因此12z极大(x1,1)0.7638,z极小(x2,1)15.05又z(1,1)4,z(4,1)
16、9因此在边界y 1,1 x 4上，函数满足zmax(x1,1)0.7638,zmin(x2,1)16.05在边界y 1,1 x 4上，函数化为z x 4x 2x 1,2由z 3x 8x 2 0可知此时的驻点为x1324 104 10 0,x2 4,33又因为zx 6x18 0,zx 6x28 0,因此12z极大(x1,1)0.7319,z极小(x2,1)5.42又z(1,1)8,z(4,1)7因此在边界y 1,1 x 4上，函数满足zmin(1,)9,zmax(1,4)7，综上所述,原函数的最大值为 z(4,1)=7,最小值为zmin(x2,1)16.05.(2)由zx 2x 1 0得惟一驻点
17、(1/2,1/2)，zy 2y 1 0又A zxx 2,B zxy 0,zyy 2,从而在驻点(1/2,1/2)处:2A 2 0,B zxy 0,zyy 2,且B AC 4 0,因此原函数在驻点(1/2,1/2)处取得极小值-1/2;在边界x y 1上，原函数化为z 1 x y,设x cost,y sint,t0,2,则22z 1cost sint 12sint,4因此z极大11 11,12,z,极小1222 22 11,12,22 综上所述，原函数的最大值为zmax最小值为zmin,.1 1 2 212zx 2x 1 y 0(3)由得惟一驻点(1,1)，z 2y 1 x 0y又A zxx 2
18、,B zxy 1,zyy 2,从而在驻点(1/2,1/2)处:2A 2 0,B zxy 1,zyy 2,且B AC 14 0,因此原函数在驻点(1,1)处取得极小值-1;在边界x 0,0 y 3上，原函数化为z y y,则211 z极小0,z极大0,3 6;42在边界y 0,0 x 3上，原函数化为z x x,则21 1z极小,0,z极大3,0 6;42在边界y 3 x,0 x 3,上，原函数化为z 3x 9x 6,则23 3 3z极小,z极大0,3 z极大3,0 6;42 2综上所述，原函数的最大值为zmax11,12,22 最小值为zmin,.1 1 2 212 微积分课程期末考试试卷微积
19、分课程期末考试试卷一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 5 分，将答案填在横线上）分，将答案填在横线上）(1)设 l 为椭圆4x2 y21的一周，其全长为)2a，则平面第.一型（即对弧长的）曲线积分(2x ycds(2)已知yexeydx xey exd y为某二元函数u(x,y)的全微分，且u(0,0)1.则u(x,y).（3）设u u(x,y,z)具有二阶连续偏导数，且满足2u2u2u222 x y z,222xyzS 为球面x2 y2 z2 a2(a 0)的外侧，则第二类曲面积分uuudy dz dz dx dx dy xyzS.（4）设(y)具有连续的一阶导数，(1)1,l 为自点
20、(0,0)沿曲线y 3xl2 2x到点(1,1)的有向弧，则平面第二型曲线积2分(2x(y)y)dx(x(y)y)dy.二、选择题（每小题选择题（每小题 5 5 分分,每小题所给每小题所给 4 4 个选项中只个选项中只有有 1 1 个是符合要求的个是符合要求的,请将所选代码填入【请将所选代码填入【】中）】中）.(5)设D(x,y)|x2 y2 0，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有(A)(x y)dx(x y)dy 0(B)x y22l(x y)dx(x y)dy 022x yl(C)xy(xdy ydx)0.(D)x y44llxy(xdy ydx)0.44x y【】x2 y
21、2 z2 a2,z 0,(a 0),下列第一型(6)设 S 为上半球面曲面积分或第二型曲面积分不为 0 的是(A)(B)yS上侧2S上侧x dy dz.dy dz.(C)(D)【】y dS.SSxy dS.(7)设P(x,y)与Q(x,y)在平面区域D上连续且有连续的一阶偏导数，则“QP当xyD 内的任意一条逐段光滑的闭曲线 l,P(x,y)dxQ(x,y)dy 0”的l(x,y)D”是“对于(A)充 分 条 件 而 非 必 要 条 件.(B)必要条件而非充分条件.(C)(D)既非充充分有分非必必要要条条件件.【】(8)设空间区域(x,y,z)|x2y2z29,x0,y0,z0，函数.则f(x
22、)为正值的连续函数，f(x)2f(y)3f(z)f(x)f(y)f(z)dV(A)27.29.2(B)9.(C)27.(D)【】三、解答题（以下各小题每题三、解答题（以下各小题每题 1010 分，解题时应写出必分，解题时应写出必要的解题过程）要的解题过程）.(x(9)设是由曲面z122y2)与z8所围成的空间有界闭区域，求(x2y2)dV.x2y2(0z 1)(10)设S是 锥 面zxdydz2ydzdx3zdxdy.S的 上 侧，求(11)设 L22zxy为空间曲线22，自xy2xz 轴正向往负向看，L 是逆时针的，求y dx x dy z dz.222L(12)设 l 为自点A(1,0)沿
23、圆周(x 1)B(3,0)的有向弧段，求xdy ydx.l2 y2 4的上半个到点4x2 y2(x（13）设 S 为曲面z 122 y2),(0 z 1),求第一型曲面积分(2z 1)dS.S（14）设f(u)具有连续的一阶导数，点A(1,1)，点B(3,3)，l 为以AB为直径的左上半个圆弧，自A 到 B，求1x1x(f()y)dx(f()x)dy.lxyyy参考解答：ye一（1）a；（2）1.2x xey1；4（3）（4）a；55二 CABB三（9）解 1：原式d2040r3drr2dz 28102432z0解 2：原式22180dz20dr3dr 1024322:x y 1xy（10）解
24、 1：高斯公式.S:z 1,x y 1，下侧，V：x y z 1,D原式 6 dV 3d 6dr dr22211SS1S1Dxy00rdz 3解 2：化第一类曲面积分.S:z x y 0,D:x y2222xy21，n01x,y,z2z原式(xcos2ycos3zcos)dSS12(x1zS22y23z2)dS 12100(2x1zS2 y2)dSDx y2x2 y2x2 y2d 42dr2(1cos2)dr（11）解 1：Stokes 公式S:z x y,(x,y)D22xy:x2 y2 2x上侧原式Sdyd zdzd xd xdyxyzy2x2z22cos00(2x2y)d xdy(2x
25、2y)d xdySDx y 2xd xdy 42dDx yr2cosdr 2t,t:0 2解 2：直接法.L:x 1cost,y sint,z 2cos2原式20(2cos2t cos3t)dt 2y24x2P(4x2 y2)2y（12）解：Qx22,(x,y)(0,0)，积分与路径无关.设L:4x y 4(y 0),A(1,0)C(1,0)x cost,y 2sint,t:0原式1xdy ydx01(2cos t 2sin t)dt 244AC022LACCBLAC（13）解：dS 1 x2 y2d，S:z 1(x2 y2),Dxy:x2 y2 2212222(2z 1)dS 2(x y)1 1 x y d2SDx y521 2 2(1 r)|2(9 3 1)5222 50QP（14）解：2,xy原式 LABBAAB:y x(x:1 3),|AB|2 2AB2dxdy 0 2D