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1、绝密启用前绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学()注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Ax|x1,Bx|3x1则AABx|x0BABRCABx|x1DAB2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，
2、正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是11ABCD48243设有下面四个命题1p1：若复数 z 满足 R R，则 zR R；zp2：若复数 z 满足 z2R R，则 zR R；p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R R，则 z1z2；p4：若复数 zR R，则z R R其中的真命题为Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p44记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S48，则an的公差为A1B2C4D85函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是A
3、2，2B 1，1C0，4D1，31612(1x)6展开式中 x2的系数为xA15B20C30D3517某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D168右面程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在分别填入AA1000 和 nn1BA1000 和 nn2CA1000 和 nn1DA1000 和 nn2（第 7 题图）29已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x，则下面结正确的是3A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的
4、2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，6得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，12得到曲线 C21C把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C21D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，212得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|DE|的最小值为A16B14C1
5、2D102和两个空白框中，可以11设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是 26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A440二、填空题：本题共 4 小题，每
6、小题 5 分，共 20 分。13已知向量a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则|a 2b|B330C220D110 x2y114设 x，y 满足约束条件 2xy1，则 z3x2y 的最小值为xy0 x2y215已知双曲线C：221(a0，b0)的右顶点为 A，以A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆A 与双曲线abC 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN60，则 C 的离心率为_16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 OD、E、F 为圆O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
7、BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60 分17(12 分)a2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为3sinA3(1)求 sinBsinC，(2)若 6cosBcosC1，a3，求ABC 的周长18.(12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且BAPCDP
8、90(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，求二面角 A-PB-C 的余弦值19(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2)(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求 P(X1)及 X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查(
9、)试说明上述监控生产过程方法的合理性；()下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.2610.129.919.969.9610.019.229.929.9810.049.95第 18 题图PDCBA10.1310.021162(xix)16i=110.0410.05116经计算得x xi9.97，s16i=1211622x 16 x0.212，其中xi为抽取的第16i=1i，用样本标准差s 作为 的估计i 个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数x作为 的估计值4，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(，)之外的数据，用剩下值 3 3的数据估计 和(精确到 0.
10、01)附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 4，0.9974160.959 2，0.008 0.0920(12 分)x2y233已知椭圆 C：221(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P31，P41，中恰有三点ab22在椭圆 C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点21(12 分)已知函数 f(x)ae2x(a2)exx(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围5(二)选考题：共 10 分请考生在
11、第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4，坐标系与参数方程(10 分)x3cos，xa4t，在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为ysin.(为参数)，直线 l 的参数方程为y1t.(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a23选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)x2ax4，g(x)x1x1(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1，1，求 a 的取值范围6参考答案一、ABBCDCBDDADD二、1
12、32 3 145152 33164 15三、17 解：(1)S1a2ABC2absinC3sinA32bsinAsinCa322RsinBsinAsinC2RsinA sinBsinC23(2)6cosBcosC1 cosBcosC16又 sinBsinC23 cos(BC)cosBcosCsinBsinC121632cosAcos(BC)12 0A，A3又 a3 2RasinA33sin2 3332 sinBsinCbcbcbc22R2R(2 3)2123 bc8 a2b2c22bccosAb2c22bccos39(bc)23bc9(bc)293bc93833 bc 33 ABC 的周长为
13、3+3318 解：证BAP90ABPACDP90CDPDABCD，PA PDP AB平面 PABAB平面 PAB平面 PAB平面 PAD7解平面 PAB平面 PAD，取 AD 中点 O，PAPD，APD90 OP平面 ABCD，OPOAOD建立如图空间直角坐标系，设PAPDABDC2，则O(0，0，0)，P(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)设平面 PAB 的一个法向量为m(x，y，z)，则(x，y，z)mAP0(2，0，2)0，即(x，y，z)(0，2，0)0.AB0.m2x 2z0，取 x1，m(1，0，1)；y0.设平面 PBC 的一个法向量为n(x1，y
14、1，z1)，则(x1，y1，z1)n PB0(2，2，2)0(x，y，z)(2，0，0)0.111BC0.n 2x12y1 2z10，x10.取 y11，n(0，1，2)设二面角 A-PB-C 的大小为，则 m n23cos2 33|m|n|显然二面角 A-PB-C 为钝角，故其平面角的余弦值应取3319 解：(1)记这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸为随机变量Z，则 ZN(，2)P(x1)1P(x1)1P(3Z3)10.99740.0026结合题意可得，XB(16，0.0026)E(X)160.00260.0416(2)(i)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之间，而在此区间之外取值的概率
15、只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量只取(3，3)之间的值s0.212(ii)由条件可得x 9.97，3310.606 9.334，零件尺寸的取值范围为(9.334，10.606)9.229.334 需对当天的生产过程进行检查，剔除数据9.22 后1(9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.0210.041510.0510.059.95)10.0281(9.9510.22)2(10.0210.02)2(9.9610.02)2(9.9610.02)2(1
16、0.0110.02)2(9.921510.02)2(9.9810.02)2(10.0410.02)2(10.2610.02)2(9.9110.02)2(10.1310.02)2(10.0210.02)2(10.0410.02)2(10.0510.02)2(9.9510.02)2 0.0080.09综上，需对当天的生产过程进行检查，剔除数据9.22 后，10.02，0.09因此 的估计值为 0.00920 解：(1)P1(1，1)，P2(0，1)只能有一个点在椭圆 C 上，同理 P1(1，1)，P41，3也只能有一个点2在椭圆 C 上，所以 P1(1，1)一定不在椭圆 C 上由 P2(0，1)在
17、椭圆 C 上得 b1，由 P41，32在椭圆 C 上得 a2，C 的方程为x2椭圆4y21(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为ykxm(m1)，与椭圆 C 联立得(14k2)x28kmx4m240，8km4m2x41x214k2，x1x214k2设 A(xkx1m1kx2m11，y1)，B(x2，y2)，由已知可得x1x121，整理得(2k1)x8km4m241x2(m1)(x1x2)0，把x1x214k2和x1x214k2代入得 m2k1所以直线 l 的方程为 yk(x2)1，过定点(2，1)；当直线 l 的斜率不存在时，设A(s，t)B(s，t)，由斜率之和为1，得t1st1s1，得
18、 s2，此时 l 的方程为 x2，也过定点(2，1)21 解：(1)f(x)(a ex1)(2ex1)a0 时，f(x)在(，)单调递减；a0 时，f(x)在1，lna单调递增(2)由(1)知，a0 时至多一个零点(舍)，a0 x时，f(x)+，x时，f(x)+f1lna0 ln1a1a10令1at，ylntt1，y1t10，又 y(1)0，t1，1a1，0a1922 解：(1)当 a1 时，l：x14t，y1t.消去参数 t 得 l 的方程为：x4y30；曲线 C 消参后得x2x3，x2225，9y21，与直线 l 的方程联立解得：y0.或y2425.(2)l 的普通方程为：x4ya40，设
19、曲线 C 上任意一点的坐标为 P(3cos，sin)，P 到直线 l 的距离d|3cos4sina4|5sin()(a4)|124217，当 a40，即 a4 时，d9amax17 17，解得 a8；当 a40，即 a4 时，d1amax17 17，解得 a16综上：a8 或 a1623 解：(1)当 a1 时，f(x)x2x4如图，画出两个函数的图象：当 x1 时，f(x)g(x)x2x42x 解得 x1 172，易知另一个交点为 x1，f(x)g(x)的解集为1 17x|1x2(2)当 x1，1时，g(x)2即当 x1，1时，x2x42 恒成立，即 x2ax20 在 x1，1恒成立设 h(x)x2ax2，则h(1)0，1a20，h(1)0.1a20.解得：1a110