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1、本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑学校奥数全部学问点大汇总学校奥数全部学问点大汇总(最全最全)和小数=大数差(倍数-1)=小数学校奥数学问点大汇总小数倍数=大数 1和差倍问题小数差=大数和差问题和倍问题差倍问题关键问题求出同一条件下的已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数和与差和与倍数差与倍数的和，差，倍数关系 2年龄问题的三个基本特征：公式(和差)2=较小数两个人的年龄差是不变的；较小数差=较大数学校奥数很简洁，就这 30 个学问点两个人的年龄是同时增加或者同时削减的；和较小数=较大数两个人的年龄的倍数是发生变化
2、的；(和差)2=较大数 3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用较大数差=较小数“照这样的速度”等词语来表示。和较大数=较小数关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量；和(倍数1)=小数 4植树问题小数倍数=大数第 1 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，基本公式：两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树把全部鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）基本公式棵数=段数1把全部兔子假
3、设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）棵距段数=总长棵数=段数1关键问题：找出总量的差与单位量的差。棵距段数=总长棵数=段数 6盈亏问题棵距段数=总长基本概念：肯定量的对象，依据某种标准分组，产生一种结果：依据另一种标准分组，关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数 5鸡兔同笼问题或对象的总量基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：先将两种安排方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，依据这基本思路：个关系求出参与安排的总份数，然后依据题意
4、求出对象的总量假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：基本题型：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；一次有余数，另一次不足；每个事物造成的差是固定的，从而找出消失这个差的缘由；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差再依据这两个差作适当的调整，消去消失的差。当两次都有余数；第 2 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环消失。当两次都不足；周期：我们把连续两次消失所经过的时间叫周期。基本公式：总份数（较大不
5、足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总关键问题：确定循环周期。量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，依据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的缘由，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；8周期循环与数表规律第 3 页 共 12 页闰年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；假如年份能被 100 整除，则年
6、份必需能被 400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；假如年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；9平均数基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：依据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与全部数比较接近的本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求全部给出数与基准数的差；再求出全部差的和；理解学问点：X表示不超过 X 的最大整数。再求出这些差的平均数；最终
7、求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，详细关例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；系见基本公式。关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行 10抽屉原理运算。抽屉原则一：假如把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个 11定义新运算物体。基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种基本思路：严格依据新定义的运算规章，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然状况：后依据基本运算过程、规律进行
8、运算。4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。观看上面四种放物体的方式，我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或留意事项：新的运算不肯定符合运算规律，特殊留意运算挨次。多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。抽屉原则二：假如把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有：12数列求和k=n/m+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是肯定的，这样的一列数，就叫做等差数k=n/m 个物体：当 n 能被 m
9、 整除时。列。第 4 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示；公差公式：d=（ana1）（n1）；项数：等差数列的全部数的个数，一般用 n 表示；公差=（末项首项）（项数1）；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示；13二进制及其应用数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示十进制：用09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上基本思路：等差数
10、列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，通项公式中涉及四个量，假的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以如己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就可以求 234=200+30+4=2102+310+4。这第四个。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+基本公式：通项公式：an=a1+（n1）d；+A3102+A2101+A1100通项首项（项数一 1)公差；留意：N0=；N=N（其中 N 是任意自然数）数列和公式：sn，=(a1+an)n2；二进制：用 01 两个数字表示
11、，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。数列和（首项末项）项数 2；（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120项数公式：n=(an+a1)d1；留意：An 不是 0 就是 1。项数=（末项-首项）公差1；十进制化成二进制：第 5 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑依据二进制满 2 进 1 的特点，用2 连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余基本特征：每一步只能完成任务的一部分。数按自下而上依次写出即可。直线：一点在直线或空
12、间沿肯定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，点，没有长度。依此方法始终找到差为 0，依据二进制绽开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理：假如完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.+mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：假如完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不
13、管第 1步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种 15方法，那么完成这件任务共有：m1m2.mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。第 6 页 共 12 页线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一 1）；数角规律=1+2+3+（射线数一 1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数
14、叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑质因数：假如某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。m。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。18 的约数有：1、2、3、6、9、18；分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数，且 a1那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6；求约数个
15、数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；互质数：假如两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数求最大公约数基本方法：约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。的最大公约数。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公最大公约数的性质：约数。
16、1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。的最小公倍数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。12 的倍数有：12、24、36、48；4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 18 的倍数有：18、36、54、72；第 7 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108；3.能被 8、125 整除：末三位的数字所
17、组成的数能被 8、125 整除。那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12，18=36；4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、9 整除。最小公倍数的性质：5.能被 7 整除：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 6.17数的整除一、基本概念和符号：1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因
18、为符号“”，所以的符号“”；7.二、整除推断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被 4、25 整除。第 8 页 共 12 页末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之
19、差能被 13 整除。逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑三、整除的性质：作 a 同余于 b 模 m。1.假如 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。二、同余的性质：2.假如 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。自身性：aa(modm)；3.假如 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4.假如 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自
20、然数 a、b、q、r，假如使得 ab=qr，且 0 余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，假如 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(modm)，读第 9 页 共 12 页对称性：若
21、 ab(modm)，则 ba(modm)；传递性：若 ab(modm)，bc(modm)，则 ac(modm)；和差性：若 ab(modm)，cd(modm)，则 a+cb+d(modm)，a-c b-d(modm)；相乘性：若 ab(modm)，cd(modm)，则 acbd(modm)；乘方性：若 ab(modm)，则 anbn(modm)；同倍性：若 ab(modm)，整数 c，则 acbc(modmc)；三、关于乘方的预备学问：若 A=ab，则 MA=Mab=（Ma）b若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M 的各个
22、数位上数字的和，则 Mn(mod9)或（mod3）；一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑和，则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：假如 p 是质数（素数），a 是假设思维方法：为了解题的便利，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(modp)。状况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最终结果。20分数与百分数的应用量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论
23、其他量如何变化，基本概念与性质：而这个量是始终固定不变的。有以下三种状况：A、重量发生变化，总量不变。B、总量发生分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。变化，但其中有的重量不变。C、总量和重量都发生变化，但重量之间的差量不变化。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。同倍率法：总量和重量之间依据同分率变化的规律进行处理。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。浓度配比法：一般应用于总量和重量都发生变化的状况
24、。常用方法：21分数大小的比较逆向思维方法：从题目供应条件的反方向（或结果）进行思索。基本方法：对应思维方法：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系。通分分子法：使全部分数的分子相同，依据同分子分数大小和分母的关系比较。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例通分分母法：使全部分数的分母相同，依据同分母分数大小和分子的关系比较。和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件基准数法：确定一个标准，使全部的分数都和它进行比较。下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时，分
25、子或分母越大的分数值越大。第 10 页 共 12 页本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（详细运用见同倍率变化规律）4.约数个数为奇数；反之成立。转化比较方法：把全部分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然
26、后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：=+；=+（d 为自然数）；23完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。6.7.24第 11 页 共 12 页奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。两个相临整数的平方之间不行能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数
27、叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a：b=c：d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。本文格式为本文格式为 WordWord 版，下载可任意编辑版，下载可任意编辑正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几倍（AB 的商不变时），则 A 与 B 成正逆水行程=（船速-水速）逆水时间比。顺水速度=船速+水速反比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB 的积不变时），则 A 与 B 成反逆水速度=船速-水速比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例安排：把几个数按肯定比例分成几份，叫按比例安排。25综合行程基本概念：行程问题是讨论物体运动的，它讨论的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追准时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间第 12 页 共 12 页静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水速=（顺水速度-逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。