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1、【数与代数】【数与代数】一、数的相关概念一、数的相关概念（一）整数（一）整数1.整数整数：自然数和负整数都是整数。2.自然数自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。3.计数单位计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4.数位数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5.能被 2 整除的数叫做 偶数偶数;不能被 2 整除的数叫做奇数奇数。0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。6.倍数
2、倍数和因数因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除。一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。一个数的各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3整除。7.只有 1 和它本身两个因数的数叫做 质数质数（或素数）；除了 1 和它本身还有别的因数的数叫做 合数合数。1 不是质数也不是合数。100 以内的质数有：
3、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。8.公因数只有 1 的两个数，叫做 互质数互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。9.公倍数公倍数和公因数因数的特征：如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数
4、的个数是无限的。（二）小数（二）小数1.意义：把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一个小数由整数部分、小数部分和小数点整数部分、小数部分和小数点 部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是 10。2.小数的分类：有限小数有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、25.
5、3、0.23 都是有限小数。无限小数无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.33 3.1415926 无限不循环小数无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：循环小数：循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节循环节。例如：3.99 的循环节是“9”，0.5454 的循环节是“54”。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个
6、循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。（三）分数（三）分数1.分数分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做 分数单位分数单位。2.分数的分类真分数真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。带分数带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的
7、数，通常叫做带分数。带分数是假分数的一种带分数是假分数的一种。3.约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约约分分。分子分母是互质数的分数，叫做 最简分数最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分通分。（四）百分数（四）百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数百分数,也叫做百分率百分率 或或百分比百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。二、数的读写、改写、互化等基本方法二、数的读写、改写、互化等基本方法（一）数的读法和写法（一）数的读法和写法1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去
8、读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0 都不读出来，其它数位连续有几个 0 都只读一个零。2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0。3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5.分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7.百分数
9、的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。（二）数的改写（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的
10、数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比 4 小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5 或者比 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1。例 如：把 345900 省略 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。（三）大小比较（三）大小比较1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。2.比较小数的大小：先看它们的
11、整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。（四）（四）数的互化数的互化1.小数化分数：原有几位小数，就在 1 的后面写几个零作分母，把原数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2.分数化小数：分子除以分母。能除尽的就化成有限小数；不能除尽的可根据要求保留小数。3.一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2 和
12、5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（五）约分和通分（五）约分和通分约分的方法：用分子和分母的公因数（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三、性质和规律三、性质和规律（
13、一）商不变的规律（一）商不变的规律商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大10 倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大 100 倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小到原来的1/10；小数点向左移动两位，原来的数就缩小到原来的 1/100；小数点向左移动三位，原来的数就缩小到原来的 1/10003.小数点向左
14、移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。（四）分数的基本性质（四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（五）分数与除法的关系（五）分数与除法的关系1.被除数除数=被除数/除数2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3.被除数 相当于分子，除数相当于分母。四、数的运算相关知识点四、数的运算相关知识点（一）整数四则运算的意义（一）整数四则运算的意义1.整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。2.整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。3.整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。4.整数除
15、法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。（二）运算定律（二）运算定律1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即a+b=b+a。2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变。即（a+b)+c=a+(b+c)。3.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变。即ab=ba。4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即(ab)c=a(bc)。5.乘法分配律：两数之和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把
16、两个积相加。即(a+b)c=ac+bc。6.减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变。即 a-b-c=a-(b+c)。五、量的计量五、量的计量（一）长度（一）长度1.什么是长度：长度是一维空间的度量。2.长度常用单位：千米(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)3.换算：1 厘米 10 毫米、1 分米 10 厘米、1 米 1000 毫米、1千米 1000 米（二）面积（二）面积1.什么是面积：就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。2.常用的面积单位：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米3.换算：1 平
17、方分米=100 平方厘米、1 平方米=100 平方分米、1 公倾=10000 平方米、1 平方千米=100 公顷（三）体积和容积体积和容积1.体积：就是物体所占空间的大小；容积就是箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积。2.常用单位：立方米、立方分米、立方厘米；容积单位：升、毫升3.换算:1 立方米=1000 立方分米、1 立方分米=1000 立方厘米、1 升=1000 毫升、1 升=1 立方分米、1 毫升=1 立方厘米（四四）质量质量1.什么是质量：就是表示表示物体有多重。2.常用单位：吨t，千克 kg，克 g3.常用换算：1 吨=1000 千克，1 千克=1000 克（五五）时间时间1.什么
18、是时间：是指有起点和终点的一段时间2.常用单位：世纪、年、月、日、时、分、秒3.换算：1 世纪=100 年、1 年（平年）=365 天、一年（闰年）=366 天、平年 2 月有 28 天、闰年 2 月有 29 天一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有 31 天，四、六、九、十一是小月小月小月有 30 天1 天=24 小时、1 小时=60 分、一分=60 秒（六）货币（六）货币1.什么是货币：是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。2.常用单位：元、角、分3.换算：1 元=10 角、1 角=10 分六、用字母表示数六、用字母表示数1 1.用字母表示数的意义
19、和作用用字母表示数的意义和作用用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。2.2.用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式式（1）常见的数量关系路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间的关系：s=vt；v=s/t；t=s/v总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系:a=bc；b=a/c；c=a/b（2）运算定律和性质加法交换律：a+b=b+a，加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律：ab=ba乘法结合律：（ab)c=a(bc)
20、，乘法分配律：（a+b)c=ac+bc，减法的性质：a-(b+c)=a-b-c（3）用字母表示几何形体的公式长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。c=2(a+b)s=ab正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。c=4as=a平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。s=ah三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。s=ah/2梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位线用 m 表示，面积用 s 表示。s=(a+b)h/2s=mh圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c
21、表示，面积用 s 表示。c=d=2rs=r扇形的半径用 r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用 s 表示。s=nr/360长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 s 表示，体积用 v 表示。v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh正方体的棱长用 a 表示，表面积用 s 表示，体积用 v 表示.s=6av=a圆柱的高用 h 表示，底面周长用 c 表示，底面积用 s 表示，体积用 v表示.s 侧=chs 表=s 侧+2s 底v=sh圆锥的高用 h 表示，底面积用 s 表示，体积用 v 表示.v=sh/33.3.用字母表示数的写法用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母
22、相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。4.4.将数值代入式子求值将数值代入式子求值把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。七、简易方程七、简易方程（一）方程和方程的解（一）
23、方程和方程的解1.方程：含有未知数的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（二）解方程（二）解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程。（三）列方程解应用题（三）列方程解应用题1.列方程解应用题的意义用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。2.列方程解答应用题的步骤弄清题意，确定未知数并用 x 表示；找出题中的数量之间的相等关系；列方程，解方程；检
24、查或验算，写出答案。3.列方程解应用题的方法综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。4.列方程解应用题的范围(小学范围内常用方程解的应用题)：a.一般应用题；b.和倍、差倍问题；c.几何形体的周长、面积、体积；d.分数、百分数应用题；e.比和比例应用题。八、比和比例八、比和比例1.1.比
25、的意义和性质比的意义和性质（1）比的意义两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。（2）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
26、根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。（5）按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。2.比例的意义和性质（1）比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫
27、做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3.正比例和反比例（1）成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示 y/x=k(一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 xy=k(一定)