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1、1平面向量平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积2复数复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查一、平面向量1平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，则，3平面向量共线的坐标表示设，其中，4平面向量的数量积（1
2、）定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量叫做向量a和b的数量积，记作ab=|a|b|cos规定：零向量与任一向量的数量积为0（2）投影：叫做向量a在b方向上的投影（3）数量积的坐标运算：设向量，则5三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：O为ABC内心aOA+bOB+cOC=0（1） O为ABC外心（2） O为ABC重心OA+OB+OC=0（4）O为ABC垂心OAOB=OBOC=OCOA二、复数1形如a+bi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z表示全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示其中a，b分别叫
3、做复数a+bi的实部与虚部2复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c且b=d特别地，a+bi=0a=0，b=0两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小3复数的分类复数a+bi(a，bR)，b=0时为实数；b0时为虚数，a=0，b0时为纯虚数，即复数（a+bi，a，bR）4复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+b对应复平面
4、内的点za，b5共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi(a，bR)（2）共轭复数的性质zRz=z；非零复数z是纯虚数z+z=0；z+z=2a，z-z=2bi；z1±z2=z1±z2；z1z2=z1z2；（3）两个共轭复数的积两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即zz=|z|2=|z|26复数的模向量OZ的模r叫做复数z=a+bi(a，bR)的模(或长度)，记作|z|或|a+bi|由模的定义可知|z|=|a+bi|=r=a2+b2（显然r0，r
5、R）当b=0时，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=|a|7复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，b，c，dR)8复数的乘法（1）复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)，则它们的积z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（2）复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律对任何z1，z2，z3C，有z1z2=z2z1 (交换律)；(z1z2)z3=z1(z2z
6、3) (结合律)；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (分配律)9复数的除法复数除法的实质是分母实数化，即 一、选择题1如图，若OA=a，OB=b，OC=c，B是线段AC上靠近点C的一个三等分点，且，则（ ）ABCD2已知向量a，b满足，且a与b反向，则（ ）A36B48C57D643设向量a=(1，1)，b=(-1，3)，c=(2，1)，且(a-b)c，则=（ ）A3B2CD-34在ABC中，若ABBC+AB2=0，则ABC的形状一定是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形5已知双曲线(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双
7、曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF1交双曲线左支于Q，若2F1Q=QP，则双曲线的离心率为（ ）ABCD6复数（ ）ABCD7在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）ABCD9对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（ ）ABCD10已知，是虚数单位，若，则（ ）ABCD11（多选）设为复数，下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则二、填空题12已知a=-1，3，b=1，t，若a-2ba，则a与b的夹角为_一、填空题1平面向量a，b的夹角为，且a
8、-b=1，则的最大值为_一、选择题1已知向量a=-2，x，b=3，6，若a与b反向，则ab=（ ）ABCD2如图所示的ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（ ）ABCD3已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）A25B7C5D74如图，在5×5的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足a=xb+yc，则x+y=（ ）A0B1C55D75已知复数z满足（i为虚数单位），则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知复数，则为（ ）ABCD7已知复数，则的虚部为（ ）AB4C3D
9、8若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）A2B3CD9复数，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限A一B二C三D四二、填空题10已知向量|，若，且，则x+y的最大值为_11在ABC中，AC=2，点D在边BC上若ABAD=1，则ABAC的值为_一、选择题1【答案】D【解析】，即，得故选D【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题2【答案】A【解析】因为a与b反向，所以，又，所以，故选A【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题3【答案】A【解析】因为a=(1，1)，b=(-1，3)，所以a-b=1+，1-3，当(a-b)c时，则有21+1-3=0，
10、解得=3，故选A【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量a=x1，y1，b=x2，y2，则当ab时，x1x2+y1y2=04【答案】B【解析】因为ABBC+AB2=0，所以accos(-B)+c2=0，所以accosB=c2，所以，所以b2+c2=a2，所以三角形是直角三角形，故选B【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理5【答案】A【解析】F1(-c，0)，F2(c，0)，圆方程为x2+y2=c2，由，由a2+b2=c2，x>0，y<0，解得，即P(a，-b)，设，由2F1Q=QP，(a-x0，-b-y0)=
11、2(x0+c，y0)，得，因为Q在双曲线上，(1-2e)2=10，解得（舍去），故选A【点评】解题关键是找到关于a，b，c的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得P点坐标，由向量线性关系得Q点坐标，代入双曲线方程可得6【答案】B【解析】，故选B【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题7【答案】D【解析】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限，故选D【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题8【答案】B【解析】为纯虚数，则，则，故选B【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题9【答案】A【解析】的复数对应的点的轨迹是圆，圆心为，半径为，
12、表示点到定点的距离，故选A【点评】本题考查复数的几何意义，表示复平面上对应点到原点的距离，表示对应的点间的距离，而，则复数对应的点在以对应点为圆心，为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得10【答案】A【解析】，故选A【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题11【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；由可得，因为，所以，即，B正确；因为，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误，故选BC【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易二、填空题12【答案】【解析】a-2b=-3，3-2t，a-2
13、ba，-3×-1+33-2t=0，解得t=2，即b=1，2，又a与b的夹角的范围是0，则a与b的夹角为，故答案为【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力一、填空题1【答案】【解析】，因为a-b=1，所以，所以，所以，所以，令，则，当且仅当t=3，即时，等号成立所以的最大值为，故答案为【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时
14、，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方一、选择题1【答案】A【解析】若a与b共线，则3x=-12，解得x=-4，a=-2，-4，故选A【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题2【答案】B【解析】依题意，故选B【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题3【答案】D【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量，的夹角为，所以，故2m+3n=7，故选D【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题4【答案】D【解析】将向量a，b，c放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，则
15、a=1，3，b=1，-1，c=-2，4，a=xb+yc，1，3=x1，-1+y-2，4，即，解得，x+y=7，故选D【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键5【答案】C【解析】因为，所以，所以，在复平面内对应的点为，在第三象限，故选C【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题6【答案】C【解析】由题意，复数，可得，则，故选C【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题7【答案】C【解析】因为，所以，所以的虚部为，故选C【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题8【答案】D【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的
16、点到的距离，据此作出如下示意图：所以，故选D【点评】常见的复数与轨迹的结论：（1）：表示以为圆心，半径为的圆；（2）且：表示以为端点的线段；（3）且：表示以为焦点的椭圆；（4）且：表示以为焦点的双曲线9【答案】A【解析】，对应的点为，在第一象限，故选A【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题二、填空题10【答案】【解析】|a|=|b|，且，a与b的夹角为，设，则，又，化简得x2+xy+y2=1，当且仅当时，等号成立，故答案为【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题11【答案】-3【解析】设BD=BC0<<1，故AD-AB=AC-AB，即AD=AC+1-AB，故ABAD=ACAB+1-AB2=ACAB+91-，ACAD=AC2+1-ACAB=4+1-ACAB，所以，两式相加可得，此式代入（1）式可得或（舍去），代入（1）式可得ACAB=-3，故答案为-3【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题