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1、第十二章第十二章 第一节第一节 相似相似三角形的判定及有关三角形的判定及有关性质性质1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理会证明和应用直角三角形射影定理.1平行线等分线段定理平行线等分线段定理2平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理3相似三角形的判定相似三角形的判定4直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定5相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理6直角三角形的射影定理和逆定理直角三角形的射影定理和逆定理1如图所示，已知如图所示，已知a b c，直线，直线m，n分别与直线分别与直线a、b、c交于点交
2、于点A、B、C和和A、B、C.如果如果ABBC1，AB，求求BC.解：解：a b c，又又 ABBC1，BC.2在在 ABC中，中，BAC的外角平分线的外角平分线AD交交BC的延长线于点的延长线于点 D，求证：，求证：.证明：证明：过过C作作CF AB交交AD于于F，如图所示，则如图所示，则，又又AFC FAE FAC得：得：ACCF，.3如图，已知如图，已知D在在AB上，且上，且DE BC交交AC于于E，F在在AD上，且上，且AD2AFAB，求证：，求证：AEFACD.AEFACD.证明：证明：DE BC，.AD2AFAB，EF CD，AEFACD.有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线
3、段有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解.解题中要注意观察图形特点解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线巧添辅助线,对解题可起到事对解题可起到事半功倍的效果半功倍的效果.如图，在梯形如图，在梯形ABCD中，中，AD BC，ADC90，E是是AB边的中点，连结边的中点，连结ED、EC，求证：，求证：EDEC.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记过过E点作点作EF BC交交DC于于F点点 在梯形在梯形ABCD中，中，AD BC，AD EF BC.E是是AB的中点，的中点，F是是DC的中点的中点ADC90
4、，DFE90.EF DC，EF是是DC的垂直平分线的垂直平分线 EDEC.三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序是：先找两对一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例对应成比例.已知：如图已知：如图 ABC中，中，ABAC，BAC90，D、E、F分别在分别在AB、AC、BC上，上，AEAC，BD
5、AB，且，且CF BC.求证：求证：(1)EF BC；(2)ADE EBC.思路点拨思路点拨（1）欲证）欲证BACEFC，可先证，可先证.（2）欲证）欲证ADE=EBC，可先证，可先证ADEFBE.课堂笔记课堂笔记设设ABAC3a，则则AEBDa，CFa.(1)，又又 C为公共角，为公共角，故故 BACEFC，由由 BAC90得得 EFC90，EF BC.(2)由由(1)得得EFa，故，故，又又，.DAE BFE90，ADEFBE，ADE EBC.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是斜边上的高，两者缺一不可斜边上的高，两者缺一不可.如图，在如
6、图，在 ABC中，中，D、F分别分别在在AC、BC上，且上，且AB AC，AF BC，BDDCFC1，求，求AC.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记在在 ABC中，设中，设AC为为x，AB AC，AF BC，FC1，根据射影定理得：根据射影定理得：AC2FCBC，即，即BCx2.再由射影定理得：再由射影定理得：AF2BFFC(BCFC)FC，AF.在在 ABC中，过点中，过点D作作DE BC于于E，BDDC1，BEEC，又又 AF BC，DE AF，DE.在在Rt DEC中，中，DE2EC2DC2，即即()2()212，即即1，x，即，即AC.以解答题的形式考查平行线分线段成比例定以解答题的形式
7、考查平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理在解决平面几何中的理、相似三角形、射影定理在解决平面几何中的应用是高考对本节内容的常规考法应用是高考对本节内容的常规考法.09年江苏高年江苏高考将上述定理与圆相结合命题考将上述定理与圆相结合命题,是一个新的考查是一个新的考查方向方向.考题印证考题印证(2009江苏高考江苏高考)(10分分)如图，如图，在四边形在四边形ABCD中，中，ABCBAD.求证：求证：AB CD.【证明证明】ABCBAD，ACB BDA，(3分分)A、B、C、D四点共圆，四点共圆，CAB CDB.(5分分)又又ABCBAD，CAB DBA，(8分分)DBA CDB，AB CD.(10分分)自主体验自主体验如图，如图，E是圆是圆O内两弦内两弦AB和和CD的交点，直线的交点，直线EF CB，交，交AD的的延长线于点延长线于点F，FC与圆交于点与圆交于点G.求证：求证：(1)DFEEFA；(2)EFGEFC.证明：证明：(1)EF CB，DEF DCB.DCB和和 DAB都是弧都是弧DB上的圆周角，上的圆周角，DAB DCB DEF.DFE EFA，DFEEFA.(2)由由(1)知：知：DFEEFA，即，即EF2FAFD.由割线定理得由割线定理得FAFDFGFC.EF2FGFC，即即.又又EFG EFC，EFGEFC.