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1、第五章第五章(第二版第二版)线性线性系统的频率分析法系统的频率分析法（1）频率特性）频率特性具有明确的物理意义具有明确的物理意义，研究稳态正弦响应研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律，的幅值和相角随频率的变化规律，它可以用实验的方法来确它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环频率特）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环频率特性的图形对系统进行分析，因而性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少具有形象直观和计算量少的
2、的特点。特点。（3）用频域法设计控制系统，可以）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳态和噪兼顾动态、稳态和噪声抑制三方面要求声抑制三方面要求。（4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的于传递函数不是有理数的含滞后环节系统含滞后环节系统和和部分非线性控制部分非线性控制系统系统的分析。的分析。频率分析法的特点频率分析法的特点23频率特性频率特性456一、频率特性的定义：系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t
3、)，系统的传递函数为G(s)。式中，为极点。7若：则：拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：8式中，分别为：而9式中：Rm、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移动了 。和 都是频率的函数。10定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；幅频特性和相频
4、特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。称为频率特性。11这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。还可将 写成复数形式，即 幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：12由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。频率特性与传递函数的关系为：结论：当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。13 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数14二、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性：直角坐标
5、 =，为系统的幅幅频频特性特性，为系统的相相频频特性特性15RC网络的幅频特性和相频特性16 幅相频率特性曲线，又称为幅相频率特性曲线，又称为Nyquist图图 2.2.幅相特性图：幅相特性图：极坐标表示极坐标表示变化时，向量变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图面上移动的轨迹称为极坐标图:奈奈奎斯特奎斯特(Nyquist)曲线曲线,又称奈氏图又称奈氏图 当输入信号的频率当输入信号的频率173.对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线对数幅频特性对数幅频特性：相频特
6、性相频特性:1819注意纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如110，550，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。20 频率特性频率特性 G(j)的表示方法的表示方法以以为例。为例。幅频幅频相频相频.频率特性频率特性.幅相幅相特性特性(Nyquist).对数频率对数频率特性特性(Bode).对数幅相对数幅相特性特性(Nichols)对
7、数幅频对数幅频对数相频对数相频表示方法总结表示方法总结215-2 5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的开环频率提出了一种根据闭环控制系统的开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的方法。特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的方法。任何一个复杂系统都是任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组成。由有限个典型环节组成。22开环传递函数分解成开环传递函数分解成典型环节串连形式典型环节串连形式设典型环节频率特性设典型环节频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环对数幅频特性系统开环对数幅频特性231 放大环节放大环节 K0传递函数传递函数幅频
8、特性和相频特性幅频特性和相频特性放大环节的幅相特性曲线放大环节的幅相特性曲线典型环节的幅相频率特性典型环节的幅相频率特性 Nyquist曲线曲线 频率特性频率特性242 积分环节积分环节传递函数传递函数幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性积分环节的幅相特性曲线积分环节的幅相特性曲线频率特性频率特性253 微分环节微分环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性微分环节的幅相特性曲线微分环节的幅相特性曲线264 惯性环节惯性环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性实频特性和虚频特性实频特性和虚频特性27惯性环节的幅相特性曲线惯性环节的幅
9、相特性曲线幅相曲线为圆心在点（幅相曲线为圆心在点（1/2,j0）上，半径为）上，半径为1/2的半园的半园285 一次微分环节一次微分环节传递函数传递函数频率特性频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性一次微分环节一次微分环节幅相特性曲线幅相特性曲线29（6）振荡环节）振荡环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：303132振荡环节的幅相特性曲线振荡环节的幅相特性曲线33（7）二次微分环节）二次微分环节传递函数：传递函数：频率特性：频率特性：34二阶微分环节的幅相特性曲线二阶微分环节的幅相特性曲线358延迟环节延迟环节传递函数传递函数幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性频率特性频率特性当
10、当 比较小时，则比较小时，则延迟环节的幅相特性曲线延迟环节的幅相特性曲线36（9）不稳定惯性环节）不稳定惯性环节传递函数传递函数频率特性频率特性惯性环节的幅相特性曲线惯性环节的幅相特性曲线37传递函数传递函数频率特性频率特性（10）不稳定振荡环节）不稳定振荡环节38振荡环节的幅相特性曲线振荡环节的幅相特性曲线39 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统（1）最小相位传递函数）最小相位传递函数（2）非最小相位传递函数）非最小相位传递函数 在右半在右半s平面内既无开环极点也无开环零点的传平面内既无开环极点也无开环零点的传递函数递函数在右半在右半s平面内有开环极点和（或）零点的传递
11、函数。平面内有开环极点和（或）零点的传递函数。最小相位系统最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统：具有最小相位传递函数的系统非最小相位系统非最小相位系统：具有非最小相位传递函数的系统：具有非最小相位传递函数的系统最小相位系统，其传递函数由单一的最小相位系统，其传递函数由单一的幅值特性或幅值特性或 相角特性相角特性唯一确定（唯一确定（分析简单分析简单）。）。非最小相位系统，其传递函数则是由非最小相位系统，其传递函数则是由 幅值特性和相角特性共同确定幅值特性和相角特性共同确定。40对数幅频对数幅频特性坐标特性坐标图图纵坐标均按线性分度纵坐标均按线性分度横坐标是角速率横坐标是角速率10倍频程，用倍
12、频程，用dec 表示表示按按分度分度Bode图的坐标形式图的坐标形式(对数幅频特性对数幅频特性)10-210-1100101-40-30-20-1001020L()dB2 3 4横坐标刻度先疏后密横坐标刻度先疏后密41Bode图的坐标形式图的坐标形式(相频特性相频特性)对数相频对数相频特性坐标特性坐标图图纵坐标均按线性分度纵坐标均按线性分度横坐标是角速率横坐标是角速率10倍频程，用倍频程，用dec 表示表示按按分度分度-1800-1350-900-45000450900（）010-210-1100101横坐标刻度先疏后密横坐标刻度先疏后密42-40-30-20-1001020L()dB-180
13、0-1350-900-4500045090010-210-1100101Bode图的坐标形式图的坐标形式(对数频率特性对数频率特性)完完整整图图二二合合一一435.3 5.3 典型环节的对数频率特性典型环节的对数频率特性纵坐标均按线性分度横坐标是角速率10倍频程，用dec 表示按分度Bode图的坐标形式44（1）比例环节）比例环节 对数幅频和相频特性对数幅频和相频特性比例环节对数频率特性曲线比例环节对数频率特性曲线0K1()LwK0dB,，该闭环系统稳定；而当K20时h 0dB，故该闭环系统不稳定。13155 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系系统闭环频率特性与阶跃响应的关系图示单位反馈系统的闭
14、环传递函数为图示单位反馈系统的闭环传递函数为 图540132图541 由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性133一、等一、等M圆图和等圆图和等N圆图圆图根据开环幅相曲线，应用等根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性圆图，可以作出闭环相频特性曲线。曲线。134令M为常数，得到等M圆图135因此 136令N为零，得到等N圆图137二、尼科尔斯图（二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表示为如果将开环频率特性表示为则则138作变换得由等M线和等 线组成的图，称为尼科尔斯图。如图545所示13
15、9图545 尼科尔斯图140三、利用闭环幅频特性分析和估算三、利用闭环幅频特性分析和估算 系统的性能系统的性能 在已知闭环在已知闭环系统稳定的条件系统稳定的条件下，可以只根据下，可以只根据系统闭环幅频特系统闭环幅频特性曲线，对系统性曲线，对系统的动态响应过程的动态响应过程进行定性分析和进行定性分析和定量估算。定量估算。图548 闭环幅频特性曲线1411、定性分析、定性分析零频的幅值零频的幅值 反映系统在阶跃信反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。号作用下是否存在静差。谐振峰值谐振峰值 反映系统的平稳性。反映系统的平稳性。带宽频率带宽频率 反映系统的快速性。反映系统的快速性。闭环幅频闭环幅频 在
16、在 处的斜率反映处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。系统抗高频干扰的能力。14256 开环频率特性与系统阶跃响应的关系开环频率特性与系统阶跃响应的关系图图551 系统开环对数幅频渐近特性曲线系统开环对数幅频渐近特性曲线143低频段通常是指低频段通常是指 的渐近曲线在的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。定。一、低频段一、低频段144二、中频段二、中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。和快速性。图553145三、高频段三、高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。146重点掌握重点掌握1、频率特性的定义及系统在正弦信、频率特性的定义及系统在正弦信号号 作用下的稳态输出。作用下的稳态输出。2、绘制频率特性图（、绘制频率特性图（Nyquist 图图和和Bode图）。图）。3、根据、根据Bode图求传递函数。图求传递函数。147本章知识点及主要线索本章知识点及主要线索部件闭环系统稳定性开环对数判据乃氏判据尼柯尔斯图三频段定性闭环幅频特性148