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1、第1页，本讲稿共56页本章主要内容本章主要内容2.1 EXCEL的迭代用法2.2 逐步逼近法解方程2.3 Newton-Raphson法解方程2.4 单变量求解解方程2.5 求微分方程数值解注：每一种方法讲完，会找同学上台操作。第2页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法1.EXCEL迭代：A2=F(A1)或 B1=F(A1)F(A1)为含引用单元格A1的公式，地址为相对引用。向下或向右拖曳填充柄时，EXCEL将自动更新每一步。即：A3=F(A2),A4=F(A3),C1=F(B1),D1=F(C1),一般是向下拖曳。第3页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2
2、.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法2.循环引用 公式引用自己所在的单元格：A1=F(A1)无论是直接引用还是间接引用。只要打开的工作簿中有一个包含循环引用，Excel 都将无法自动计算所有打开的工作簿。第4页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法2.循环引用 但有些化工计算需要用到循环引用，计算此类公式时，EXCEL必须使用前一次迭代的结果计算循环引用中的每个单元格。使用循环引用的过程如下：a)打开“工具”菜单，选择其中的“选项”指令。第5页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法2.循环引用b)在“选项”对话框中，选择“重新
3、计算”标签。c)选“迭代计算”，在此设置循环引用时最多引用次数。EXCEL默认的最多迭代次数是100次，最大误差0.001。第6页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法3.循环引用举例：计算弱酸氢离子浓度 弱酸解离平衡：由此得：Ka是酸解离常数，C是总酸浓度。第7页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法3.计算弱酸氢离子浓度 上式为一元二次方程，有现成求解公式，用“循环引用”也可以方便获解。例：已知有一0.2000mol/L的二氯乙酸（HAD)溶液，其中HAD的解离常数为0.050。用循环引用求其氢离子浓度。第8页，本讲稿共5
4、6页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法3.计算弱酸氢离子浓度 具体求解：1）打开“工具”“选项”“重新计算”，选中“迭代计算”，在“最大误差”栏内填入1E-12。2）A1、B1、C1单元格分别写入：HAD、Ka、5.0E-2第9页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL的迭代用法的迭代用法3.计算弱酸氢离子浓度 具体求解：3）A2、B2、C2单元格分别写入：HAD(始值）、HAD（终值）、H+.4)A3输入数值：0.2000，B3输入公式：A3-C3，C3输入公式：SQRT($C$1*(A3-C3)。第10页，本讲稿共56页2.1 EXCEL2.1 EXCEL
5、的迭代用法的迭代用法3.计算弱酸氢离子浓度第11页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程1.1.原理原理 对于一元方程F（x）=0，可以在工作表上用减小x取值间隔的办法逐步逼近准确解。其原理是缩小使函数yF（x）变号的x区间，从而找到一个x值，使得yF（x）0达到一个精度。第12页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：举例：碳酸钙在纯水中的溶解度 CaCO3是难溶盐，在纯水中有如下平衡：同时由物料平衡和电荷平衡关系得：第13页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：举例：碳酸钙在纯水中的溶解
6、度 钙离子的浓度即为CaCO3的溶解度，用x表示并将两个K值代入，得：将x按递增序列逐渐变化，求得相应的y值。当y值变号时，表明它通过0。然后在y变号的x区间内，减少x的增值量，重复上述过程，直至达到要求精度的x值。第14页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：举例：碳酸钙在纯水中的溶解度 x的起始值可以是任意的，最终都能得到方程的解。但应该将方程作一初步分析，对x值的范围有一个大致的了解，可以较快的确定方程的解。比如对此例：因此x必然大于 。所以可用其作为x的起始值，x的增量定为 。第15页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方
7、程2.2.举例：举例：ExcelExcel操作步骤操作步骤1)A1单元格键入x，B1单元格键入y。在A2和A3单元格分别填入5E-5和6E-5。2)在B2单元格输入公式：随后用自动填充功能得到B3的值。再选中A2:B3这四个单元格，拖填充柄直至y变号。第16页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：举例：ExcelExcel操作步骤操作步骤3)重复上述过程，x起始值设为1.01E-4,增值量减为1E-6。在A10 和A11分别输入 1.01E-4和1.02E-4。拖B8单元格至B11。选中A10:B11，拖动至y变号。以此重复进行，可得到任意精度的解。第1
8、7页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：迭代法快速求解举例：迭代法快速求解 将F(x)0可以改写成：xf(x)设定初始值x0，将其代入上式，得到改进值x1：x1f(x0)如此重复，可逐渐逼近真实解x。第18页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：迭代法快速求解举例：迭代法快速求解Excel具体步骤：1）将D1和E1单元格分别标为x和x，代表迭代求得的解及连续两次迭代获得方程根之差值。2）D2单元格输入SQRT(2.9E-9)，在D3输入SQRT(7.8E-7*SQRT(D2)+2.9E-9),在E3单元格输入=D
9、3-D2。第19页，本讲稿共56页2.2 2.2 逐步逼近法解方程逐步逼近法解方程2.2.举例：迭代法快速求解举例：迭代法快速求解3）选中D3:E3，用自动填充功能下拉填充柄，得不同迭代次数下x值及其精度。第20页，本讲稿共56页2.3 Newton-Raphson2.3 Newton-Raphson法法1.1.原理：原理：逐步逼近法有时速度较慢，Newton-Raphson法快得多。N-R法是一种迭代过程，迭代形式为：Si是第i步迭代函数yi的斜率（一阶导数）第21页，本讲稿共56页2.3 Newton-Raphson2.3 Newton-Raphson法法1.1.原理：原理：基本思想：先在
10、函数可能为0的x值范围内确定一初始值x1，函数曲线在x1的斜率S1=y1/(x1-x2)，因此由函数y在x1的斜率得到改进了的根x2：x2x1-y1/S1 如此重复，直至xi+1-xi等于0，或小于某一值。第22页，本讲稿共56页2.3 Newton-Raphson2.3 Newton-Raphson法法1.1.原理：原理：如图：第23页，本讲稿共56页2.3 Newton-Raphson2.3 Newton-Raphson法法2.Excel 2.Excel 步骤：以步骤：以y y=x x3 3-3-3x x2 2-6-6x x+8+8为例为例1)在A1，B1，C1分别输入：x，y，S。2)在
11、A2输入x的初始值5，在B2输入公式：A23-3*A22-6*A2+8，在C2输入导数公式：=3*A22-6*A2-6。3)在A3输入公式：=A2-B2/C2，得到改进了的解。第24页，本讲稿共56页2.3 Newton-Raphson2.3 Newton-Raphson法法2.Excel 2.Excel 步骤：以步骤：以y y=x x3 3-3-3x x2 2-6-6x x+8+8为例为例4)选中B2:C2，下拉填充柄到B3:C3。5）选中A3:C3，下拉填充柄直至x值几乎不变，即得x的真实解4。注：若方程有多个解，则N-R法的解有赖于初始值选择。因此需要先对函数图象有一大致了解，才能获得需
12、要的解。（现场演示10,1E5,-10,-1E5,1E12）第25页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法1.1.原理原理 Excel“工具”菜单中的“单变量求解”是用 Newton-Raphson迭代法求近似解的程序。“单变量求解”通过改变一选定单元格（可变单元格,x）的值，使得另一单元格（目标单元格，y）的值达到预定值。对于解方程，目标单元格为方程所在，目标值为0，可变单元格为使方程等于0的自变量值（即x）。第26页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法1.1.原理原理 第27页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法2.2.举例：求举例
13、：求CaCOCaCO3 3溶解度溶解度1)A1,B1内分别输入x，y。2)A2输入单元格1作为初始值，B2输入公式:=A22-7.8E-7*SQRT(A2)-2.9E-9。3)打开“工具”“单变量求解”对话框，光标停在“目标单元格”内，再单击B2单元格。“目标值”输入0，光标停在“可变单元格”内，单击A2单元格。点击“确定”。第28页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法 第29页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法3 3）最大误差设置）最大误差设置 从上例可以看出，所得解x0.0222并不精确，需要重新设定最大误差：打开“工具”“选项”“重新计算”。在该
14、对话框的“最大误差”里填入想要的设置，如1.00E-12。第30页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法3 3）最大误差设置）最大误差设置 第31页，本讲稿共56页2.4 2.4 单变量求解法单变量求解法3 3）最大误差设置）最大误差设置 分别将最大误差设置为1.00E-5,1.00E-9,1.00E-12,1.00E-15,1.00E-99，用上述单变量求解方法求得相应的x和y值。第32页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 化学反应动力学方程一般用一阶微分方程表示，其通式为：a,b是自变量的定义域，f(x,y)为已知函数。第33
15、页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 若一函数y=F(x)代入微分方程，使得式(1)成立，即:则该函数就是微分方程的解。第34页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 解微分方程用到积分，得到的解析式是含一个任意常数C的通解。若有初始条件（初值）：y0F(x0)则通解的常数C可以确定，得到特解。第35页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 例如对于一级反应：A B，其速率方程为：At是反应物A在时间t时的浓度，其通解为：第36页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微
16、分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 若已知t0时A的浓度为A0，则在初始条件下的特解为：第37页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 并非所有微分方程都有解析解。事实上除了一些简单的基元反应，大多数反应动力学难以得到解析解或解析式很复杂，甚至不存在解析解。此时必须求助于数值解。另一方面反应动力学关心的问题是在t时刻反应体系内各物质的浓度At,Bt,，有足够精度的近似解即可。第38页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解1.1.原理原理 数值解在化工“三传一反”的模型化中都广泛应用。数值解有普适性，可用于复杂的微分方
17、程体系及任何初始条件。第39页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解2.2.EulerEuler法法 常微分方程数值解采用离散方法，即找出一种有效的数值计算方法，计算自变量的离散点：x0，x1，x2，xn以及对应的y近似值y0，y1，y2，yn。最简单的是Euler法，通常取等间距的x值：x1-x0=x2-x1=xn-xn-1=h h称为步长。第40页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解2.2.EulerEuler法法 以初始条件(x0,y0)代入微分方程式(1)，得到初始点P0(x0,y0)的斜率：以差商近似微商：第41页，本讲稿共56页
18、2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解2.2.EulerEuler法法 因此有：即x向前移动h，在x1处得到y1。同样可以由x1,y1代入式(1)得到y2。依此类推，可得到所有x0，x1，x2，xn对应的y近似值y0，y1，y2，yn。这些数值点连成一个折线函数，用以代替原来的曲线函数。第42页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解2.2.EulerEuler法法第43页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解2.2.EulerEuler法法 Euler法简单易懂，几何意义明确，但误差太大。由图可知，由于误差的累加，随着x向前推进，折
19、线越来越偏离原来的曲线。第44页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解3.3.EulerEuler法示例法示例例：例：对一级反应动力学方程 设定：初始浓度A0=0.2000mol/L，反应速率常数k=0.01s-1。由上式可推得其求浓度近似值的递推公式为：第45页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解3.3.EulerEuler法示例法示例具体解法如下：1）A列输入时间，间隔为20s，直到140s。2）B列用Euler法计算在时间t时的浓度At。在B5单元格输入初始浓度0.2000mol/L。B6输入递推公式:=B5-B5*$D$1*$D$2
20、。3）选定B6单元格，向下拖拽到B12。由于B5单元格为相对引用，每下一格，浓度值更新一次，得到各个时刻由Euler法计算的浓度。第46页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解3.3.EulerEuler法示例法示例4）C列是根据 计算的解析浓度值。在C5单元格输入公式：=$B$5*EXP(-$D$1*A5)。然后自动填充得其余值。5）D列为Euler法计算值与解析值的相对误差:=100(解析值-Euler值)/解析值。第47页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解3.3.EulerEuler法示例法示例6)减小步长h，可改进精度。如步长分别
21、为5和1时，在140s的误差分别降为3.56和0.70。第48页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解4.4.Runge-KuttaRunge-Kutta法法 Euler法产生较大误差的原因是f(x,y)为曲线，用Teller公式展开：Euler公式只取了线性项(斜率），忽略了高次项。第49页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解4.4.Runge-KuttaRunge-Kutta法法 R-K法则包括了Teller展开式的高次项，其中最常用的是四阶R-K公式。在递推公式里x取值为：xi,xi+h/2,xi+h。则微分方程通式的四阶R-K公式为
22、：第50页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解4.4.Runge-KuttaRunge-Kutta法法微分方程通式的四阶R-K公式为：第51页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解5.5.Runge-KuttaRunge-Kutta法示例法示例 例子同Euler法一样。由于微分方程仅涉及因变量y，R-K法四项表达式简化为：第52页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解5.5.Runge-KuttaRunge-Kutta法示例法示例具体步骤：1）在F5单元格输入初始浓度0.2000mol/L。2）根据T1-T4的计算
23、公式，在B6输入：=-$D$1*$D$2*F5 在C6输入：=-$D$1*$D$2*(F5+B6/2)在D6输入：=-$D$1*$D$2*(F5+C6/2)在E6输入：=-$D$1*$D$2*(F5+D6)第53页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解5.5.Runge-KuttaRunge-Kutta法示例法示例具体步骤：3）根据递推公式，在F6输入：=F5+(B6+2*C6+2*D6+E6)/64）选定区域B6:F6，拖拽填充柄到第12行。5）通过与解析解的相对误差可以发现，R-K法相当精确，完全可以满足一般反应动力学研究的需要。第54页，本讲稿共56页2.5 2.5 求微分方程数值解求微分方程数值解5.5.Runge-KuttaRunge-Kutta法示例法示例第55页，本讲稿共56页下周日上机练习下周日上机练习 拷贝本次课的课件，根据课件示例，上机练习这些解方程的方法。第56页，本讲稿共56页