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1、离散数学代数结构第1页，本讲稿共130页2022/10/15数学的基本结构数学的基本结构序结构：数的大小，次序拓扑结构：平面几何，立体几何（欧氏空间）代数结构：群第2页，本讲稿共130页2022/10/15Chapter 4Algebra System第3页，本讲稿共130页2022/10/154.1 代数系统的引入 (1)一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合 S；（2）有一些建立在 S 上的运算；（3）这些运算在集合 S 上是封闭的。第4页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (1)4.2.1 4.2.1 运算的概念运算的概念定义定义 假设 A 是一个集合，A
2、A 到 A 的映射称为 A 上的二元运算。一般地，An 到 A 的映射称为 A 上的 n 元运算。第5页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (2)4.2.2 4.2.2 运算的性质运算的性质（1 1）封闭性）封闭性 如果如果 SA，对任意的对任意的 a,bS，有有a*bS，则称则称 S 对运算对运算*是封闭的是封闭的。假设*,+都是集合 A 上的运算第6页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (3)4.2.2 4.2.2 运算的性质运算的性质（2 2）交换律）交换律 如果对任意的如果对任意的 a,bA，都有，都有 a*b=b*a，则称运算则称运算*是可交换的。是可
3、交换的。（3 3）结合律）结合律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有，都有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算，则称运算*是可结合的。是可结合的。第7页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (4)（4 4）分配律）分配律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)则称则称*对对 +运算满足左分配；运算满足左分配；如果对任意的如果对任意的a,b,c A，都有，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)则称则称*对对 +运算满足右分配。运算满足右分配。如果运算如果运算*对对 +既满足左分配又满足右分配，既满足左分配又满足右分配
4、，则称运算则称运算*对对 +满足分配律。满足分配律。第8页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (5)（5 5）消去律）消去律 如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 a*b=a*c，必有，必有 b=c，则称运算，则称运算*满足左消去律；满足左消去律；如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 b*a=c*a，必有，必有 b=c，则称运算，则称运算*满足右消去律；满足右消去律；如果运算如果运算*既满足左消去律又满足右消去律，既满足左消去律又满足右消去律，则称运算则称运算*满足消去律。满足消去律。第9页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (6)（6 6）
5、吸收律）吸收律 如果对任意的如果对任意的 a,bA，都有，都有a*(a+b)=a，则称运算，则称运算*关于运算关于运算 +满足吸收律。满足吸收律。（7 7）等幂律）等幂律 如果对任意的如果对任意的 aA，都有，都有 a*a=a，则称运算则称运算*满足等幂律。满足等幂律。第10页，本讲稿共130页2022/10/154.2 运算 (7)第11页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (1)4.3.1 4.3.1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义 假假设设 A A 是是一一个个非非空空集集合合，f1,f2,fn 是是 A 上上的的运运算算（运运算算的的元元素素可可以以是是不不相
6、相同同的的），则则称称 A 在在运运算算 f1,f2,fn 下下构构成成一一个个代代数数系系统统，记记为为：第12页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (2)4.3.1 4.3.1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义 假假设设 是是一一个个代代数数系系统统，SA，如如果果 S 对对*是是封封闭闭的的，则则称称 为为 的子代数系统。的子代数系统。第13页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (3)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元（幺元）单位元（幺元）假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 eLA,
7、对于任意对于任意元素元素 xA，都有，都有 eL*x=x,则称则称 eL为为 A 中关于运算中关于运算*的左的左单位元单位元;如果如果 erA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*er=x,则则称称 er 为为 A 中关于运算中关于运算*的右单位元的右单位元;如果如果 A 中一个元素中一个元素 e 既是左单位元又是右单位元，既是左单位元又是右单位元，则称则称 e 为为 A 中关于运算中关于运算*的单位元。的单位元。第14页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (4)第15页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (5)4.3.2 4.3.2 代数系
8、统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元（幺元）单位元（幺元）定理定理 假假设设 是是代代数数系系统统，并并且且 A 关关于于运运算算*有有左左单单位位元元 eL和和右右单单位位元元 er，则则 eL=er=e 并并且单位元唯一。且单位元唯一。第16页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (6)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元）零元 假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 LA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 L*x=L,则称则称 L为为 A 中关于运算中关于运算*的左零元的左零元;如果如果 rA
9、,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*r=r,则称则称 r 为为 A 中关于运算中关于运算*的右零元的右零元;如果如果 A 中一个元素中一个元素 既是左零元又是右零元，则称既是左零元又是右零元，则称 为为 A 中关中关于运算于运算*的零元。的零元。第17页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (7)第18页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (8)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元）零元 定理定理 假假设设 是是代代数数系系统统，并并且且 A 关关于于运运算算*有有左左零零元元 L 和和右右零零元元
10、r，则则 L=r=并并且且零零元元唯唯一。一。第19页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (9)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元）逆元 假假设设 是是一一个个代代数数系系统统，e 是是 的的单单位位元元。对对于于元元素素 aA，如如果果存存在在 bA，使使得得 b*a=e，则则称称 a 为为左左可可逆逆的的，b 为为 a 的的左左逆逆元元；如如果果存存在在 cA，使使得得 a*c=e，则则称称元元素素 a 是是右右可可逆逆的的，c 为为 a 的的右右逆逆元元。如如果果存存在在 a A，使使得得 a*a=a*a=e，则则称称 a
11、是是可可逆逆的的，a 为为 a 的的逆逆元元。a 的逆元记为：的逆元记为：a-1。第20页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (10)第21页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (11)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元）逆元 定理定理 设设 是是一一个个代代数数系系统统，且且 A 中中存存在在单单位位元元 e，每每个个元元素素都都存存在在左左逆逆元元。如如果果运运算算*是是可可结结合合的的，那那么么，任任何何一一个个元元素素的的左左逆逆元元也也一一定定是是该该元元素素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。的右逆元，
12、且每个元素的逆元唯一。第22页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (12)4.3.2 4.3.2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（4 4）幂等元）幂等元 定义：定义：在代数系统在代数系统中，如果元素中，如果元素 a 满足满足a*a=a，那么称，那么称 a 是是 A 中的幂等元。中的幂等元。第23页，本讲稿共130页2022/10/154.3 代数系统 (12)第24页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (1)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义定义 设设 和和 是是代代数数系系统统，f:AB,如如果果 f 保保持持运运算算，即即对对
13、x,yA,有有f(x*y)=f(x)f(y)。称称 f 为为代代数数系系统统 到到 的的同同态态映射，简称同态。也称之为两代数系统同态。映射，简称同态。也称之为两代数系统同态。第25页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (2)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义定义 设设 和和 是是代代数数系系统统，f 是是 A 到到 B 的的同同态态。如如果果 f 是是单单射射的的，称称 f 为为单单同同态态；如如果果 f 是是满满射射的的，称称 f 为为满满同同态态；如如果果 f 是是双双射射的的，称称 f 为为同同构构映映射射，简称为简称为同构同构。第26页，本讲稿共130
14、页2022/10/154.4 同态与同构 (3)4.4.1 4.4.1 基本概念基本概念定义 设设 是是代代数数系系统统，若若存存在在函函数数f:AA,并并且且对对 x,yA,有有 f(x*y)=f(x)*f(y)。称称 f 为为 的的自自同同态态；如如果果 f 是是双双射射的的，则则称称 f 为为 的自同构。的自同构。第27页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (4)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质（1）如如果果两两函函数数是是同同态态、同同构构的的，则则复复合合函函数数也也是是同同态态、同构的。同构的。定理 假假设设 f 是是 到到 的的同同态
15、态，g是是 到到 的的同同态态，则则gf是是 到到 的的同同态态；如如果果 f 和和 g 是是单单同同态态、满满同同态态、同同构构时时，则则gf也也是单同态、满同态和同构。是单同态、满同态和同构。第28页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (5)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质（2）满同态保持结合律满同态保持结合律 定理 假假设设 f 是是 到到 的的满满同同态态。如如果果*运运算算满满足足结结合合律律，则则 运运算算也也满满足足结结合合律律，即即满满同同态保持结合律。态保持结合律。（3）满同态保持交换律满同态保持交换律 第29页，本讲稿共130页
16、2022/10/154.4 同态与同构 (6)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假假设设 f 是是 到到 的的满满同同态态。e 是是 的单位元，则的单位元，则 f(e)是是的单位元。的单位元。（4）满同态保持单位元满同态保持单位元 第30页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (7)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假假设设 f 是是到到的的满满同同态态。eA和和 eB 分分别别是是和和的的单单位位元元，如如果果 A 中中元元素素 x 和和 x 互逆，则互逆，则 B 中元素中元素 f(x)和和 f(x)也互逆。也互逆。
17、（5）满同态保持逆元满同态保持逆元 第31页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (8)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假假设设 f 是是 到到 的的满满同同态态。是是 的零元，则的零元，则 f()是是的零元。的零元。（6）满同态保持零元满同态保持零元 第32页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (9)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假假设设 f 是是到到的的满满同同态态。并并且且xA是是的的幂幂等等元元，则则 f(x)B 是是的的幂等元。幂等元。（7）满同态保持幂等元满同态保持幂等元 第33
18、页，本讲稿共130页2022/10/154.4 同态与同构 (10)4.4.2 4.4.2 同态、同构的性质同态、同构的性质定理 假假设设 f 是是 到到 的的同同构构映映射射。则则 f-1是是 到到 的同构映射。的同构映射。（8）同构映射运算性质双向保持同构映射运算性质双向保持 第34页，本讲稿共130页2022/10/154.5 同余关系与商代数 选讲4.5.1 4.5.1 同余关系同余关系定义 假假设设 是是一一个个代代数数系系统统，E 是是 A 上上的的等等价价关关系系。如如果果对对x1,x2,y1,y2A，当当x1Ex2,y1Ey2时时，必必有有(x1*y1)E(x2*y2)，则则称
19、称 E 是是 A 上上的的同同余关系。余关系。第35页，本讲稿共130页2022/10/154.6 直积 (1)定义：定义：设设 和和 为两个代数系统，为两个代数系统，称为两代数系统的直积。其中称为两代数系统的直积。其中 AB 是是 A 和和 B 的笛卡尔乘积，的笛卡尔乘积，定义如下：对任定义如下：对任意的意的,AB，=。第36页，本讲稿共130页2022/10/154.6 直积 (2)定理：定理：假设假设 和和 为两个代数系为两个代数系统，且分别有单位元统，且分别有单位元 eA,eB，在两代数系统的，在两代数系统的直积直积中存在子代数系统中存在子代数系统 S,T，使得，使得 ，。第37页，本
20、讲稿共130页2022/10/15Chapter 5Group theory第38页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (1)5.1.1 5.1.1 半群的定义半群的定义 定义：定义：设设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果*运算满足结合律，则称运算满足结合律，则称 是一个半群。是一个半群。第39页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (2)例例：假假设设S=a,b,c，在在S上上定定义义运运算算，如如运运算表给出。证明算表给出。证明是半群。是半群。第40页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (3)5.1.1 5.1.1 半群的定义半群的定义
21、 定义：定义：假设假设 是一个半群，是一个半群，aS，n 是是正整数，则正整数，则 an 表示表示 n 个个 a 的计算结果，即的计算结果，即 an=a*a*a。对任意的正整数对任意的正整数 m,n，am*an=am+n，(am)n=amn。第41页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (4)5.1.2 交换半群 定义：如果半群如果半群 中的中的*运算满足交换运算满足交换律，则称律，则称 为交换半群。为交换半群。在交换半群在交换半群 中，若中，若a,bS，n 是是任意正整数，则任意正整数，则(a*b)n=an*bn 第42页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (5
22、)5.1.3 5.1.3 独异点（含幺半群）独异点（含幺半群）定义：假设假设 是一个半群，如果是一个半群，如果 中中有单位元，则称有单位元，则称 是独异点，或含幺半是独异点，或含幺半群。群。第43页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (6)5.1.3 5.1.3 独异点（含幺半群）独异点（含幺半群）定理：定理：假设假设 是独异点，如果是独异点，如果a,bS，并且并且 a,b 有逆元有逆元 a-1,b-1存在，则：存在，则：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。第44页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (7)5.1.4 5.1.4 子半
23、群子半群 定义：假设假设 是一个半群，若是一个半群，若 TS，且在且在*运算下也构成半群，则称运算下也构成半群，则称 是是 的子半群。的子半群。第45页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (8)假设假设A=a,b，是一个含幺半群是一个含幺半群。若若B=a则则P(B)P(A)并且并且构成半群，是构成半群，是的子的子半群。半群。第46页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (9)5.1.4 5.1.4 子半群子半群 定义：定义：设设 是含幺半群，若是含幺半群，若 是它是它的子半群，并且的子半群，并且 的单位元的单位元 e 也是也是 单位元，则称单位元，则称 是是 的子
24、的子含幺半群。含幺半群。第47页，本讲稿共130页2022/10/155.1 半群 (10)例例：设设 是是 可可 交交 换换 的的 含含 幺幺 半半 群群，T=a|aS，且且a*a=a，则则是是的的子子含幺半群。含幺半群。第48页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (1)5.2.1 5.2.1 群的基本概念群的基本概念 定义：设设 是一代数系统，如果满足以下几点：是一代数系统，如果满足以下几点：(1)运算是可结合的；运算是可结合的；(2)存在单位元存在单位元 e；(3)对任意元素对任意元素 a 都存在逆元都存在逆元 a-1；则称则称 是一个群。是一个群。第49页，
25、本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (2)例：例：假设R=0,60,120,180,240,300表示平面几何上图形绕形心顺时针旋转的角度集合。*是定义在R上的运算。定义如下：对任意的a,bR，a*b表示图形顺时针旋转a角度，再顺时针旋转b角度得到的总旋转度数。并规定旋转360度等于原来的状态，即该运算是模360的。整个运算可以用运算表表示。第50页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (3)第51页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (4)5.2.1 5.2.1 群的基本概念群的基本概念 一个群如果运算满足交换律
26、，一个群如果运算满足交换律，则称该群为交换群，或则称该群为交换群，或Abel群。群。第52页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (5)5.2.2 5.2.2 群的性质群的性质(1)(1)任何群都没有零元。任何群都没有零元。(2)(2)设设 是群，则是群，则 G 中消去律成立。中消去律成立。(3)(3)设设 是群，单位元是是群，单位元是 G 中的唯一等中的唯一等幂元。幂元。第53页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (6)5.2.2 5.2.2 群的性质群的性质(4)设设,是群，是群，f是是 G 到到 H 的同态，的同态，若若 e 为为的单
27、位元，则的单位元，则 f(e)是是 的单的单位元，并且对任意位元，并且对任意 aG，有，有 f(a-1)=f(a)-1。(5)设设是群，是群，是任意代数系统，若存在是任意代数系统，若存在 G 到到 H 的满同态映射，则的满同态映射，则必是群。必是群。第54页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (7)5.2.3 5.2.3 半群与群半群与群(1)(1)假设假设是半群，并且是半群，并且 中有一左单位元中有一左单位元 e，使得对任意，使得对任意 的的 aG，有，有 e*a=a；中任意元素中任意元素 a 都有都有“左逆元左逆元”a-1，使得使得 a-1*a=e。则则 是群。
28、是群。第55页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (8)5.2.3 5.2.3 半群与群半群与群(2)假设假设 是半群，对任意的是半群，对任意的 a,bG，方程，方程 a*x=b，y*a=b 都在都在 G 中有解。中有解。则则 是群。是群。(3)有限半群，如果消去律成立，则必为群。有限半群，如果消去律成立，则必为群。第56页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (9)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 定理：设设 是是一一个个 n 阶阶有有限限群群，它它的的运运算算表表中中的的每每一一行行（每每一一列列）都都是是 G 中中元元
29、素素的一个全排列。的一个全排列。第57页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (10)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 第58页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (11)5.2.4 5.2.4 有限群的性质有限群的性质 第59页，本讲稿共130页2022/10/155.2 群的概念及其性质 (12)例例：假假 设设是是 一一 个个 二二 阶阶 群群，则则是一个是一个Klein群。群。第60页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (1)5.3.1 子群 定义：设设 是一个群，非空集合是一个群，非空集合
30、 HG。如果如果 H 在在 G 的运算下也构成群，则称的运算下也构成群，则称 是是 的子群。的子群。第61页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期第62页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (2)5.3.1 子群 定理：定理：设设 是是 的子群，则的子群，则 (1)的单位元的单位元 eH 一定是一定是 的的 单位元，即单位元，即 eH=eG。(2)对对 aH，a 在在 H 中的逆元中的逆元 a，一定是，一定是 a 在在 G 中的逆元。中的逆元。第63页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (3)5.3.2 由子集构成子群的
31、条件(1)设设 H 是群是群 中中 G 的非空子的非空子 集，则集，则 H构成构成 子群的充要条子群的充要条 件是：件是：对对 a,bH，有，有 a*bH；对对 aH，有有a-1H。第64页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (4)5.3.2 由子集构成子群的条件(2)推论 假设假设 是群，是群，H 是是 G 的非空子的非空子集，则集，则 是是 子群的充要条件子群的充要条件是：是：对对 a,bH，有，有 a*b-1H。第65页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (5)5.3.2 由子集构成子群的条件(3)(3)假设假设 是一个群，是一个群，H
32、 是是 G 的非空有限子集，则的非空有限子集，则 是是 子群的充要条件是：子群的充要条件是：对对 a,bH，有有 a*bH。第66页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (6)5.3.3 元素的周期（1）群中元素的幂运算 假设假设 是一个群，是一个群，aG。则则 a0=e；ai+1=ai*a；a-i=(a-1)i (i 0)；am*an=am+n；(am)n=amn（m,n为整数）。为整数）。第67页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (7)5.3.3 元素的周期（2）元素的周期 定定义义：设设是是一一个个群群，aG。若若存存在在正正整整数数
33、n，使使得得an=e，则则将将满满足足该该条条件件的的最最小小正正整整数数 n 称称为为元元素素 a 的的周周期期或或阶阶。若若这这样样的的 n 不不存存在在，则则称称元元素素 a 的的周周期期无无限限。元元素素 a 的的周周期期记记为为：|a|。第68页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期例例3：是一个群，其是一个群，其中中Z4=0,1,2,3，其运算表如右图。其运算表如右图。0=0|0|=114=0|1|=422=0|2|=2 34=0|3|=4第69页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (8)5.3.3 元素的周期（3）元素周期的性质设设
34、是一个群，是一个群，aG。a 的的周周期期等等于于 a 生生成成的的循循环环子子群群(a)的的阶阶。即即|a|=|(a)|；若若 a 的的周周期期为为 n，则则 am=e 的的充充分分必必要要条件是条件是 n|m。第70页，本讲稿共130页2022/10/155.3 子群与元素周期 (9)5.3.3 元素的周期（3）元素周期的性质推论：推论：设设 是是一一个个群群，aG。若若 a的的周期为周期为 n，则，则 (a)=a0,a1,.,an-1。第71页，本讲稿共130页2022/10/155.4 循环群 (1)5.4.1 定义 设设 是是一一个个群群，若若在在 G 中中存存在在一一个个元元素素
35、a，使使得得 G 中中任任意意元元素素都都由由 a 的的幂幂组组成成，即即 G=(a)=ai|iZ，则则称称该该群为循环群，元素群为循环群，元素 a 称为循环群的生成元。称为循环群的生成元。第72页，本讲稿共130页2022/10/155.4 循环群 (2)5.4.2 循环群的性质（1）设 是一个循环群。若若 是是 n 阶有限群，则阶有限群，则 ；若若 是无限群，则是无限群，则 。第73页，本讲稿共130页2022/10/155.4 循环群 (3)5.4.2 循环群的性质（2）循环群的子群必为循环群（3）设 是 n 阶循环群，m 是正整 数，并且 m|n，则 G 中存在唯一一个 m 阶子群。第
36、74页，本讲稿共130页2022/10/155.4 循环群 (3)设有一个由a生成的循环群 ,则我们有若a的周期无限,则 与 同构。若a的周期为m,则 与 同构。第75页，本讲稿共130页2022/10/155.5 置换群 (1)5.5.1 置换及其运算 （1）有限集有限集 S 到其自身的双射称为到其自身的双射称为 S 上上 的一个置换。当的一个置换。当|S|=n 时，时，S 上的上的 置换称为置换称为 n 次置换。次置换。第76页，本讲稿共130页2022/10/155.5 置换群 (2)5.5.1 置换及其运算 （2）定义：设 S 上有如下置换 称该置换为循环置换，记称该置换为循环置换，记
37、为(a1,a2,ai)，i为循环长度。当为循环长度。当i=2 时称为对换。单位置换，即时称为对换。单位置换，即恒等映射也视为循环置换，记为恒等映射也视为循环置换，记为（1）或或（n）。第77页，本讲稿共130页2022/10/155.5 置换群 (3)5.5.2 置换群 （1）定义：一个阶为一个阶为n的有限集合的有限集合S上所上所有的置换所组成的集合有的置换所组成的集合Sn及其复合运算及其复合运算构成构成群群,称称 为为 n 次对称群次对称群(Symmetric group of degree n)，而，而 的任意子群称为的任意子群称为 n 次次置换群。置换群。n 次对称群的阶？次对称群的阶？
38、|Sn|=？第78页，本讲稿共130页2022/10/155.5 置换群 (4)5.5.2 置换群 例1：假设假设 S=1,2,3，写出，写出 S 的的 3 次对称群和所次对称群和所有的有的 3 次置换群。次置换群。解：解：S3=f1,f2,f3,f4,f5,f6，并且并且 f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)第79页，本讲稿共130页2022/10/15第80页，本讲稿共130页2022/10/15f1是单位元，（是单位元，（f1）=f1f2，f3，f4，的阶是，的阶是2，（f2）=f2，=f1，f2（f3）=f3，=
39、f1，f3（f4）=f4，=f1，f4 f5，f6 的阶是的阶是3,（f5）=f5，,=f1，f5,f6（f6）=f6，,=f1，f5,f6 f1,f1，f2,f1，f3,f1，f4f1，f5,f6是子群，即是子群，即3次置换群次置换群第81页，本讲稿共130页2022/10/15例：有那些对称群是可交换群（例：有那些对称群是可交换群（ABEL群）？群）？第82页，本讲稿共130页2022/10/155.5 置换群 (6)5.5.2 置换群 （2）性质：（Cayley 凯利定理）任意任意 n 阶群必同构于一个阶群必同构于一个 n 次置换群。次置换群。例例2：给定一个正四边形，给定一个正四边形，
40、如图所示。四个顶点的集如图所示。四个顶点的集合为合为 S=1,2,3,4。第83页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (1)5.6.1 左同余关系（左陪集关系）定义：设设是是一一个个群群，是是其其子子群群。利利用用 H 在在 G 上上定定义义关系：关系：RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H则则称称 RH 为为 G 上上的的模模 H 左左同同余余关关系系（左左陪陪集集关关系系）；RH为为 G 上的模上的模 H 右同余关系（右陪集关系）。右同余关系（右陪集关系）。第84页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (2)5.6.1 左同余关系（左陪
41、集关系）定理：设设 是是 的的一一个个子子群群，则则 G 中模中模 H 左同余关系是等价关系。左同余关系是等价关系。第85页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (3)5.6.2 左陪集 定义：设设 是是 的的一一个个子子群群，则则 aG 为为代代表表元元的的模模 H 同同余余关关系系的的等等价价类类a=a*h|hH，称称为为 H 在在 G 内内由由 a 确确定的左陪集。简记为：定的左陪集。简记为：aH=a。第86页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (4)5.6.2 左陪集 定理：设设 是是 的一个子群，则：的一个子群，则：(1)eH=H；(2)对a,bH，aH
42、=bH b-1*aH(3)对aG，aH=H aH第87页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (5)5.6.2 左陪集 例：例：G=e,a,b,c,d,e,f。1、写出子群（a）2、证明（a）*c=c*（a）3、找出所有两个元素的子群4、求（d）的有陪集第88页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (5)5.6.2 左陪集 例：设例：设是一个群，是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,试写试写出出中每个子群及相应的左陪集。中每个子群及相应的左陪集。第89页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (6)5.6.3 左商集和右商集 定义：设设 是是 的一个子
43、群，由的一个子群，由 H 所确所确定的定的 G 上所有元素的左陪集构成的集合称为上所有元素的左陪集构成的集合称为 G对对 H 的左商集，记为的左商集，记为:SL=aH|aG;所有右所有右陪集构成的集合称为陪集构成的集合称为 G 对对 H 的右商集，记为的右商集，记为:SR=Ha|aG。第90页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集设设 是群是群 的子群。的子群。（1）利用）利用 H 定义定义 G 上的关系上的关系 RH=|a,bG,b-1*aH RH=|a,bG,a*b-1H 则称则称 RH 和和 RH分别为分别为 G 上的模上的模 H 左同余关系（左陪集关系）和左同余关系（左陪集
44、关系）和右同余关系（右陪集关系）。右同余关系（右陪集关系）。（2）H 在在 G 内由内由 a 确定的左、右陪集简记为：确定的左、右陪集简记为：aH=a=a*h|hH=ah|h H Ha=a=h*a|hH=ha|h H （3）左、右商集）左、右商集SL=aH|aG、SR=Ha|aG第91页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (7)5.6.3 左商集和右商集 定理：设设 是任意群是任意群 的子群，的子群，则则 G 关于关于 H 的左、右商集必等势。的左、右商集必等势。定义映射定义映射 f:SLSR,对对aG，f(aH)=Ha-1第92页，本讲稿共130页2022/10/15例：设例
45、：设是一个群，是一个群，Z6=0,1,2,3,4,5,运算表如下：运算表如下：群群的子群的子群5.6 陪集第93页，本讲稿共130页2022/10/15,H1=0,SL=0H1,1H1,2H1,3H1,4H1,5H1 SR=H10,H11,H12,H13,H14,H15,H2=0,3,SL=0H2,1H2,2H2 SR=H20,H21,H22 所以所以SL与与SR等势等势5.6 陪集第94页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (8)5.6.3 左商集和右商集 定义：设设 是群是群 的子群，的子群，SL的基数称为的基数称为 H 在在G 内的指数。记为：内的指数。记为：G:H=|S
46、L|。第95页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (9)5.6.3 左商集和右商集 定理：设设 是群是群 的子群，的子群，H 的的任意左陪集（右陪集）与任意左陪集（右陪集）与 H 等势。势。第96页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (10)5.6.4 Lagrange 定理定理定理：假设假设 是有限群，是有限群，是是 的子群，则的子群，则 H 的阶必整除的阶必整除 G 的阶，并且的阶，并且|G|=G:H|H|。n阶群的阶群的子群的子群的阶一定是阶一定是 n的因子的因子。第97页，本讲稿共130页2022/10/155.6 陪集 (11)5.6.4 Lagran
47、ge 定理定理（1）任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。（2）素数阶的群必为循环群素数阶的群必为循环群。（3）假设假设是是 n 阶有限群，则对阶有限群，则对 aG,|a|n（形象表示？）。（4）假设假设是是 n 阶有限群，则对阶有限群，则对 aG,an=e。第98页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (1)5.7.1 正规子群的定义 设设 是群是群 的子群，如的子群，如果对果对 aG 有有 aH=Ha，则称，则称 是是 的正规子群（不变子群）。的正规子群（不变子群）。第99页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (2)例
48、：假设例：假设 S=1,2,3,S3=f1,f2,.,f6 第100页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (3),是三次置换群，是三次对称群的子群，是否为正规子群？第101页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (3)H1=f1,aS3 是否都有是否都有 aH1=H1af1f1,f2=f1,f2=f2f1,f2,f1,f2f1=f1,f2=f1,f2f2f3f1,f2=f3,f5=f5f1,f2,f1,f2f3=f3,f6=f1,f2f6f4f1,f2=f4,f6=f6f1,f2,f1,f2f4=f4,f5=f1,f2f5第102页，本讲稿共130页202
49、2/10/155.7 正规子群 (4)5.7.2 判定正规子群的条件定理：定理：设设 是群是群的一个子群，则以下条的一个子群，则以下条件满足：件满足：(1)对对aG,aH=Ha (2)对对aG,hH,必存在必存在hH,使使 h*a=a*h (3)对对aG,hH,a*h*a-1H，或者或者 a-1*h*a H。第103页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (3)5.7.2 判定正规子群的条件定理：定理：群群 的子群的子群 是正规子是正规子群的充要条件是：群的充要条件是：对对 aG，hH 有有 a*h*a-1H，或者或者 a-1*h*a H。第104页，本讲稿共130页2022
50、/10/155.7 正规子群 (3)5.7.3 商群定义：定义：子群子群 是群是群 的的正规子群正规子群在在G/H上定义新的运算上定义新的运算 ：对对 a,bG，有有 aH bH=(a*b)H，称为G对H的商群。第105页，本讲稿共130页2022/10/155.7 正规子群 (4)5.7.3 商群例：例：N6,+6,H=0,2,4，H为为N6的正规子的正规子群，故有群，故有商群商群 N6/H=0H,1H,*(0H=H;1H=1,3,5),其运算如下其运算如下:(0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H;(0H)*(1H)=(1H)*(0H)=1H;(0H)-1=0-1H=0H;