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1、立体几何中的向量方法求距离第1页，本讲稿共16页1.1.点到平面的距离点到平面的距离定义：定义：一点到它在一个平面内的正射影的距一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离。即这个点到平面垂离叫做点到平面的距离。即这个点到平面垂线段的长度。线段的长度。几何法：几何法：利用定义先作利用定义先作出点出点P P到平面的垂线段到平面的垂线段POPO，再归结到某三角形，再归结到某三角形中计算中计算POPO的长度或用等的长度或用等体积法。体积法。PO第2页，本讲稿共16页 点到平面的距离公式点到平面的距离公式PA如图，设如图，设P P是平面是平面外一点，点外一点，点P P到到的距离为的距离为d,d
2、,作作POPO于于O,AO,A是是内任一点内任一点,n是平面是平面的法向量，则的法向量，则Od第3页，本讲稿共16页例例1.1.已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，CGCG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFE解解：如图所示建立空间直角坐标系：如图所示建立空间直角坐标系,则则xyz第4页，本讲稿共16页SBCDA解：解：如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,则则C(1,1,0),C(1,1,0),xyz练习练习1 1：如图
3、如图SASA平面平面ABCD,DAB=ABC=90,SA=AB=BC=1，AD=2，求点，求点A到平面到平面SCD的距离。的距离。第5页，本讲稿共16页2.2.直线到平面的距离直线到平面的距离定义：定义：与平面平行的直线上任一点到平面的距离，与平面平行的直线上任一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。叫做这条直线到这个平面的距离。由以上定义可知由以上定义可知,直线与直线与平面的距离平面的距离,本质上是点到本质上是点到平面的的距离平面的的距离,所以，计算所以，计算公式还是：公式还是：PdAO第6页，本讲稿共16页如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系,则则B(2,2,0),B(2,2,0)
4、,练习练习2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2,M,N2,M,N分别是分别是BCBC和和CDCD的中点的中点,求直线求直线BDBD与平面与平面C C1 1MNMN的距离的距离.x xy yz z解解:BD/BD/平面平面C C1 1MN,MN,只需求点只需求点B B与与平面平面C C1 1MNMN的距离，的距离，第7页，本讲稿共16页3.3.两个平行平面的距离两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面
5、公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长度，两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，其实求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。就是求点到平面的距离。所以计算公式还是所以计算公式还是:dAOP第8页，本讲稿共16页如图如图,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长
6、为的棱长为2 2，E,F,M,NE,F,M,N分别分别为为A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1 的中点的中点.(1)(1)求求证：平面证：平面AEFAEF平面平面BDMN;(2)BDMN;(2)求平面求平面AEFAEF和平面和平面BDMNBDMN的距离的距离.xyzO例例2.第9页，本讲稿共16页4.4.异面直线的距离异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这
7、两条异面直线的公垂线段。部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线的两条异面直线的公垂线的长度，叫做两条异面直线的长度，叫做两条异面直线的距离距离第10页，本讲稿共16页 异面直线的距离公式异面直线的距离公式如图，设如图，设CDCD是异面直线是异面直线a,b的公垂的公垂线段线段,P,P是直线是直线a上任意一点上任意一点,A,A是直是直线线b上任意一点上任意一点,两条异面直线的两条异面直线的距离为距离为d,是与异面直线是与异面直线a,b都垂都垂直的向量直的向量，则，则dbAPCDa第11页，本讲稿共16页例例3.3.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C
8、C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，求异面直，求异面直线线DADA1 1与与ACAC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1x xy yz z解解：如图建立空间直角坐标系：如图建立空间直角坐标系,则则 第12页，本讲稿共16页ABCDMNxyz练习练习3.3.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AB=4,AD=3,AAAB=4,AD=3,AA1 1=2,M,N=2,M,N分别为分别为CD,BBCD,BB1 1的中点的中点,求异面直线求异面直线MNMN与与A A1 1B B的距离的距离.第13页，本讲稿共16页5.5.点与直线的距离点与直
9、线的距离定义：定义：从直线外一点从直线外一点P向直线向直线 引垂线，点引垂线，点P和和垂足垂足O之间的距离叫做点之间的距离叫做点P到直线到直线 的距离。的距离。dPAO设设A A是是 上不同于垂上不同于垂足足O O的一点，的一点，是是 的的方向向量，则方向向量，则点与线的距离的计算方点与线的距离的计算方法较多，下面介绍一种。法较多，下面介绍一种。第14页，本讲稿共16页例例4：三棱锥三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=3，PC=6，D是是PC的中点，的中点，G是是ABC的的重心，求重心，求G到直线到直线AD的距离。的距离。ABCxyzpGD解解:如图建立空间直角坐标系，由重如图建立空间直角坐标系，由重心坐标公式得心坐标公式得G（1,1,2），），第15页，本讲稿共16页小结：小结：1：空间距离包括点与点、点与线、点与面，：空间距离包括点与点、点与线、点与面，线与线（平行或异面）、线与面、面与面六线与线（平行或异面）、线与面、面与面六种形式。但可化归为点与点、点与线、点与种形式。但可化归为点与点、点与线、点与面、线与线（异面）四种形式。面、线与线（异面）四种形式。2：点与面、线与面、面与面、线与线（异面）：点与面、线与面、面与面、线与线（异面）有统一形式的计算公式有统一形式的计算公式 第16页，本讲稿共16页