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1、勾股定理应用整理的整理第1页，本讲稿共49页a2 +b2 =c2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方acb勾股弦 勾股定理a2 =c2 -b2b2 =c2 -a2第2页，本讲稿共49页ACB90cm120cm?练一练(数学就在我们身边)第3页，本讲稿共49页持竿进城（课本持竿进城（课本P25例例1）摆梯子（例摆梯子（例2）第4页，本讲稿共49页九章算术九章算术专设专设勾股勾股章章来研究勾股问题，共来研究勾股问题，共2424个问题按性质可分个问题按性质可分为三组，其中第一组的为三组，其中第一组的1414个问题可以直接利个问题可以直接利用勾股定理来解决用勾股定理来解决很多是具有历史地位很多是具
2、有历史地位的的世界著名算题世界著名算题“引葭赴岸引葭赴岸”第5页，本讲稿共49页“引葭赴岸引葭赴岸”是九章算术中的一道题是九章算术中的一道题:“今有池方一今有池方一今有池方一今有池方一丈，葭生其丈，葭生其丈，葭生其丈，葭生其中央中央中央中央，出水一尺，出水一尺，出水一尺，出水一尺,引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与引葭赴岸，适与 岸齐。岸齐。岸齐。岸齐。问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何问水深、葭长各几何？”探索(古题鉴赏)有一个有一个有一个有一个边长为边长为边长为边长为10101010尺的正方形尺的正方形尺的正方形尺的正方形池塘，池塘，池塘，池塘，在水池在水池在水
3、池在水池正中央正中央正中央正中央有一根新生的芦苇，有一根新生的芦苇，有一根新生的芦苇，有一根新生的芦苇，它它它它高出水面高出水面高出水面高出水面1 1 1 1尺尺尺尺，如果把这根芦苇，如果把这根芦苇，如果把这根芦苇，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的它的它的它的顶端恰好到达岸边顶端恰好到达岸边顶端恰好到达岸边顶端恰好到达岸边。请问这个。请问这个。请问这个。请问这个水池的水池的水池的水池的深度和这根芦苇的长度深度和这根芦苇的长度深度和这根芦苇的长度深度和这根芦苇的长度各是各是各是各是多少？多少
4、？多少？多少？题意是：第6页，本讲稿共49页 BC为芦苇长，为芦苇长，AB为水深，为水深，AC为池中心点距岸边的距离。为池中心点距岸边的距离。解解：如图：如图5xX+1设设AB x尺，则尺，则BC（X1）尺，尺，根据勾股定理得：根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2 即：即：(x+1)2-x2=52 解得：解得：x12 所以芦苇长为所以芦苇长为12113（尺）（尺）答答:水深为水深为12尺尺,芦苇长为芦苇长为13尺。尺。第7页，本讲稿共49页平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；平静湖面清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位
5、两尺远；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？能算诸君请解题，湖水如何知深浅？x+0.5x+0.5B BC CA AH H0.50.52 2?x x盛开的水莲盛开的水莲印度数学家什迦逻（印度数学家什迦逻（11411141年年-1225-1225年）曾提出过年）曾提出过“荷花问题荷花问题”：第8页，本讲稿共49页九章算术九章算术中的折竹问题：中的折竹问题：“今有竹高一今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”题意是：有一根竹子原高题意是：有一根竹子原高1 1丈（丈（1 1丈丈=10=10尺），中部有尺），中部有一处折断，竹梢
6、触地面处一处折断，竹梢触地面处离竹根离竹根6 6尺，试问折断处离尺，试问折断处离地面多高？地面多高？ABC设：折断处离地面高折断处离地面高x x尺尺6x10-x第9页，本讲稿共49页下图是学校的旗杆下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子旗杆上的绳子垂到了地面垂到了地面,并多出了一段并多出了一段.有一把卷尺你能想办法测量出旗有一把卷尺你能想办法测量出旗杆的高度吗杆的高度吗?请你与同伴交流设计方案请你与同伴交流设计方案?旗杆有多高旗杆有多高第10页，本讲稿共49页小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 1米，米，当他们把绳子的下端拉开当他们把绳子的下端拉开5 5米后，发现下端米
7、后，发现下端刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和刚好接触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？绳子的长度计算出来吗？ABC5xx+1x+1第11页，本讲稿共49页如图，有两根直杆隔河相对，一杆高如图，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，另一杆高20m，两杆相距，两杆相距50m，现两杆上各有一只鱼鹰，它们，现两杆上各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼（即同时看到两杆之间的河面上浮起一条小鱼（即E点），点），于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，结果两只鱼鹰同于是以同样的速度同时飞过来夺鱼，结果两只鱼鹰同时到达，问：两杆底部距鱼处的距离各是多少？时到达，问：两杆
8、底部距鱼处的距离各是多少？ADCEB第12页，本讲稿共49页一种盛饮料的一种盛饮料的圆柱形杯圆柱形杯（如图），测得（如图），测得内内部底面直径部底面直径为为5 5，高为，高为1212，吸管放进吸管放进杯里，杯口外面露出杯里，杯口外面露出5 5，问吸管要做多长问吸管要做多长？5125？1吸管长（1）吸管的长度）吸管的长度第13页，本讲稿共49页如如图图，将将一一根根2525长长的的细细木木棒棒放放入入长长、宽宽、高高分分别别为为8 8、6 6和和1010的的长长方方体体无无盖盖盒盒子子中中，则则细细木木棒棒露露在在盒盒外外面面的的最最短短长长度度是是 8610？10？第14页，本讲稿共49页如图
9、是一个棱长为如图是一个棱长为10cm10cm的正方体盒子，小明准的正方体盒子，小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？问最长能放入多长的铅笔？ABEDC HFG第15页，本讲稿共49页 如图是一个如图是一个40cm30cm120cm40cm30cm120cm的长方的长方体空盒子。小明准备放入一些铅笔（要使体空盒子。小明准备放入一些铅笔（要使铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长铅笔完全放入盒中），问最长能放入多长的铅笔？的铅笔？DF3040120ACEBGH第16页，本讲稿共49页ABAB如图，一圆柱高如图，一圆柱高8cm8c
10、m，地面半径，地面半径2cm2cm，一只蚂蚁从，一只蚂蚁从点点A A爬到点爬到点B B处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路程是处吃食，问蚂蚁要爬行的最短路程是多少？多少？（2）箱壁上的最短距离）箱壁上的最短距离第17页，本讲稿共49页在图中，如果在正方体箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？A.B.第18页，本讲稿共49页在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到G处，至少要爬多远？CDA.G.4030120FBEH第19页，本讲稿共49页 如图：如图：A城气象台测得台风中心在城气象台测得台风中心在A城正西方向城正西方向320 km的的B处，以每小时处，以每小时40
11、km的速度向北偏东的速度向北偏东60的的BF方向移方向移动，距离台风中心动，距离台风中心200 km的范围内是受到台风影响的的范围内是受到台风影响的区域。区域。（1）A城是否会受到这次台风的影响？为什么？城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若）若A城受到这次台风影响，那么城受到这次台风影响，那么A城受到这次台城受到这次台风影响有多长时间？风影响有多长时间？北北东东BAF与方位相关与方位相关第20页，本讲稿共49页练练习习：如如图图，有有两两棵棵树树，一一棵棵高高8m8m，另另一一棵棵高高2m2m，两两树树相相距距8m8m，一一只只小小鸟鸟从从一一棵棵树树的的树树梢梢飞飞到到另另一一棵棵树
12、树的树梢，至少要飞的树梢，至少要飞_m_m 8m2m8mABC第21页，本讲稿共49页如右图，每个小正方形的边长为1，求四边形ABCD的面积。不规则图形的面积不规则图形的面积第22页，本讲稿共49页在数轴上表示 的点？在数轴上表示二次根数在数轴上表示二次根数第23页，本讲稿共49页在数轴上表示 的点？第24页，本讲稿共49页(4)(3)(2)(1)小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方，中间小正方形的面积为形的面积为1，直角三角形的两条直角边为，直角三角形的两条直角边为a,
13、b，求，求ab=?ab=6赵爽弦图赵爽弦图第25页，本讲稿共49页(4)(3)(2)(1)变式一变式一：小明用电脑把四个全等的直角三角形拼：小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为成了一个大正方形，已知大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为中间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边，直角三角形的两条直角边为为a,b，求，求(a+b)2=?(a+b)2=25第26页，本讲稿共49页(4)(3)(2)(1)变式二变式二、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼、小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形，已知大正方形的面积为成了一个大正方形，已知大正方形的
14、面积为13，中，中间小正方形的面积为间小正方形的面积为1，直角三角形的两条直角边为，直角三角形的两条直角边为a,b，求直角三角形的周长等于多少？，求直角三角形的周长等于多少？第27页，本讲稿共49页用方程思想解决图形折用方程思想解决图形折叠问题叠问题第28页，本讲稿共49页 方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。第29页，本讲稿共49页（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边（应用）小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸
15、边，竹竿和，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。文字语言图形语言解：如图：设解：如图：设AB=xm,则则AC=x+0.5，在直角三角形在直角三角形ABC中：中：x2+1.52=(x+0.5)2解得：解得：x=2答：河水深答：河水深2米。米。符号语言已知：求：第30页，本讲稿共49页折叠三角形第31页，本讲稿共49页例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长 ACDBE第8题图x6x8-x46第32页，本讲稿共49页例2、如图，小颍同学折叠一个
16、直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE第33页，本讲稿共49页例3：三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积ABCDADCDCAD1E第34页，本讲稿共49页折叠四边形第35页，本讲稿共49页例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X第36页，本讲稿共49页例2：折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落
17、在BD的E处，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。DAGBCE第37页，本讲稿共49页例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的长。ABCDEFA1G提示：先证明正三角形AA1B第38页，本讲稿共49页第39页，本讲稿共49页第40页，本讲稿共49页例2：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。ABCDFE第41页，本讲稿共49页例4：边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若 沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1
18、C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。OCBAB1D123E第42页，本讲稿共49页如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=10，AB=8,求DE的长。xx10-x8(10-x)2=x2+82x=1.8第43页，本讲稿共49页变式：将矩形ABCD折叠，使点D落BC边上点D处，折痕为AE，AD=8，AD=4,求EC的长。x8-x8-x1064(8-x)2=x2+42x=3第44页，本讲稿共49页走进生活（走进生活（1）小明家住在小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。层的高楼，一天，他与妈妈去买竹
19、竿。买最长买最长的吧！的吧！快点回家，快点回家，好用它凉衣好用它凉衣服。服。糟糕，太长糟糕，太长了，放不进了，放不进去。去。如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、米、1.5米、米、2.2米，那么，能放入米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？是多少米吗？第45页，本讲稿共49页1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB3米米第46页，本讲稿共49页走进生活（走进生活（2）如图，
20、要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：水泵站建立在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中标出水泵站P的位置。第47页，本讲稿共49页变式：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A,B两个村庄送水，已知A、B到河边的距离分别为AC=3kmM,并且CD=10Km.问：如果要求水泵站到A、B两村的距离相等，则水泵站应该建在什么位置？10-xx(10-x)2+32=x2+72x=3第48页，本讲稿共49页小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间的距离是50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标。问这条鱼出现在两树之间的何处？走进生活（走进生活（3）第49页，本讲稿共49页