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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -拉格朗日中值定理在高考题中的妙用第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -拉格朗日中值定理 在高考题中的妙用1一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：如函数 f 满意如下条件：（i） ） f 在闭区间 a、 b 上连续；（ii） ） f 在开区间 (a、b) 内可导；就在 a、b 内至少存在一点，使得'fbfa.fba几何意义：在满意定理条件的曲线上yf (x)至少存在一点 p( 、 f ( ) ，该曲线在该点处的切线
2、平行于曲线两端的连线 AB （如图）二求割线斜率大小 - 几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知: 曲线上两点的割线斜率 、可以转化为曲线上切线的斜率 .即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行 .下面通过下题详细分析 .例 1：（2021 年福建省质检理 19 题）已知函数2a2f ( x)xa ln x.x（）求 f (x ) 的单调递增区间；（）设a1、 g ( x)f ' ( x)、 问为否存在实数 k ，使得函数g ( x)上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？如存第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - -
3、 - - - - - - - -在，求 k 的取值范畴；如不存在，说明理由.解（）略（）当a1 时，g(x)121 ，假设存在x2x实数 k ，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于 k ，即对任意x2x10 ，都有g (x2 )x2g (x1 ) x1k、 即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在x( x1 、 x2) ，有'g (x)g ( x2 )x2g (x1 ) x1k 、 转为求切线斜率的大小.'32即 g (x)41xxk 在 (0、)上恒成立 .（以下同参考答案）评析：该题如用初等方法解决， 构造函数同为本题 的 难 点 和 突 破 口 将g( x2 )
4、x2g( x1 ) x1k 、转 化 为g( x2 )kx2g( x1 )x1 、 转而考查函数h( x)g (x)kx ，同学不为很简单想到，但如利用拉格朗日中值定理，就只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，同学易接受二 利用拉格朗日中值定理证最值（ 1）证 fbfaba或 fbfa ba-即证 f '与 的大小关系例2：（2021年辽宁卷理 21题）第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -已知函数f ( x)12xax2( a1) lnx、 a1（）争论函数 f (x) 的单调性；
5、.（）证明：如a5 ，就对任意x1 、 x20、， x1x2 ，有f ( x1 )x1f (x2 )1 x2（）略；（）要证f ( x1)x1f (x2 )1 成立，即证 x2f 'aa11 .令 g2( a1)a1 ，就2a14 a1a1a5 .由于21a5 ，所以0 .从而 g0 在 R 恒成立 .也即2aa1.又x 、 x，x 、 x0、，故0 .就aa11 ，1212'即 faa11 ，也即f (x1 )x1f ( x2 )1 x2.评注：这道题（）小题用初等方法做考虑函数 gxfxx .为什么考虑函数 gxfxx 许多考生一下子不易想到 .而且 g'x的放缩也
6、不易想到 .（ 2）.证明 fxa 或 fxa 成立（其中x0 ， f (0)0 ）xx- 即证fxf (0)fxf (0)或aax0x0例3：（2007年高考全国卷 I 第20题）2设函数xfxee x .（）证明： fx 的导数f 'x2 ；第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（）证明：如对全部取值范畴为 (、2 .x0 ，都有 fxax，就 a 的（）略 .（）证明：（ i）当 xa ，都有 fxax0 时，对任意的(ii) 当 x0 时，问题即转化为 axxe e对全部 x
7、x0 恒成立 .令G xexe xfxf0，由拉格朗日中值定理知0、 x 内xx0至少存在一点（从而0 ），使得 f 'f xf0 ，即Gxf 'ee，由于f ''eee0e 00x， 故 f '0在 0、 x 上为增函数，让x0得Gx'minfe ef '02 ，所以 a 的取值范畴为 (、2 .评注：用的为初等数学的方法.即令 gxfxax ，再分 a2 和 a2两种情形争论 .其中， a2 又要去解方程 g 'x0 .但这有两个缺点：第一，为什么a 的取值范畴要以 2 为分界绽开 .其次，方程g'x0 求解较为麻烦
8、.但用拉格朗日中值定理求解就可以躲开争论，省去麻烦 .例4：（2021年全国卷 22题）设函数 fxsin x.2cosx（）求 fx 的单调区间；（）假如对任何都有 fxax ，求 a 的取值范畴 .证明（）略；x0 ，（）证明：当x0 时，明显对任何 a ，都有 fxax ；当 x0 时，f xfxf0xx0第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由拉格朗日中值定理，知存在0、 x，使得'fxfxf0f.由（）知 f 'x22cos x1，从而xx02cos x'&#
9、39;2sin x fx2cos x2cos xcos x21.令 f ''x0 得， x2k1、 2k2；令f ''x0 得， x2k、 2k1.所以在2k1、 2k2上， f 'x 的最大值xff2k2''max1 在2k3、 2k1上，f 'x 的最大值 f 'xf'max2k1从而函数.3f 'x 在 2k、 2k2上的最大值为 f 'x max1kN 3知，当 x0 时，f 'x的最大值为'f x max1所以， f '.3的最大值f'max1为了使 f &
10、#39;a 恒.3成立，应有 f 'maxa所以 a 的取值范畴为1 、.3评注：这道题的参考答案的解法为令g xaxfx、再去证明函数 gx 的最小值gx min0 .这与上述的思路为一样的 .但第一参考答案的解法中有个参数 a 、要对参数 a 进行分类争论;其次为了判断 gx 的单调性 、仍要求 g 'x0 和g 'x0 的解、这个求解涉及到反余弦 arccos3a 、较为复杂 .而用拉格朗日中值定理就可以躲开麻烦，省去争论.再次表达了高观点解题的优越性 .三利用拉格朗日中值定理证不等式近几年的数学高考中， 显现了不少含有拉格朗日中值定理的试题 常以不等式恒成立问题
11、为基本第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -切入点，具有肯定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较 好地甄别了同学的数学才能下面以近几年全国各地的数学高考试题为例， 说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势3（ 1）用于证明 fbfa与ba 的大小关系例5：(2006年四川卷理第 22题)已知函数22fxxxa ln x(x0)、 fx的导函数为f ' x，对任意两个不相等的正x 1 、 x 2 ，证明：（）当
12、a4 时，'fx 1'fx 2x 1x 2 .证明： 由f xx22'xa ln x 得，f ' ( x)2x22xa ，令 x'g xfx就由拉格朗日中值定理得：gx 1gx 2g( x 1x 2 )下面只要证明： 当 a4 时，任意0 、都有g '1 ，就有 g'x24ax 3x21 ，即证 a4 时，ax 24 恒成立 这等.x价于证明x24 的最小值大于 4 .由 x24x222334 ，当xxxx且仅当 x3 2 时取到最小值，又a4334 ，故 a4 时，24a1''x3x2恒成立 .所以由拉格朗日定理得：gx
13、 1gx 2g( x1x 2 )gx 1x 2x1x 2 .评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强 .因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到 .相比之下，用拉格朗日中值定第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -理证明，思路较为自然.流畅.表达了高观点解题的优越性，说明白学习高等数学的重要性.（ 2）证明 ga ， gab2， g b 三者大小的关系3例6：（2004年四川卷第 22题）已知函数 fx大值；ln(1x)x、 gxx lnx .（）求函数 fx 的最（）设 0ab
14、2a ，证明：g ag b2gab 2(ba)ln 2 .证明（）略； （）证明：依题意，有 g 'xln x1 ，g ag b2gab 2g bgab 2gab 2g a由拉格朗日中值定理得，存在a、 ab 、 2ab 、 b，使得2g bgab 2gab 2g ag'g '. ba 2lnln. ba 2ln. babbaln 4a . babaln 2ln.2a2a2评注：对于不等式中含有g a 、 g b 、 gab2ab 的形式，我们往往可以把gab 2g a 和g bgab 2，分别对gab 2g a 和g bgab 2两次运用拉格朗日中值定理.例7：(20
15、06年四川卷理第 22题)已知函数22fxxxa ln x(x0)、 fx的导函数为f ' x，对任第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -意两个不相等的正数x 1 、 x 2 ，证明：（）当 a0 时，fx1fx2x1x2f22证明：（）不妨设 x1x2 ，即证fx2x1x2f2x1x2f2fx1由拉格朗日中值定理知，存在x 、 x1x2、x1x2，就且、 x11221222fx2x1x2f2x2x1'，f2 .f2x1x22fx1x2x1'又f1 .2，f '
16、 (x)2x2ax 2xf ''x24a'1x3x2.当a0 时，f ''x0 .所以f ' ( x) 为一个单调递减函数，故ff '2从而fx2x1x2f2x1x2f2fx1成立，因此命题获证四：利用拉格朗日定理证明根的存在4证明方程根的存在性、所给根的范畴就为区间 a、 b 把所给方程设为函数f ( x)就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性、一般用反证法 .例 1设f ( x) 在 0、1 可导 、且 0f ( x)1、又对于 (0、1) 内全部的点有根.f '( x)1 证明方程f (x)x10 在(0、1) 内有唯独的
17、实分析 : 要证明方程有唯独的实根、分两步证明 、先证明有根 、再证明根为唯独的证明:先证方程有根、令 g( x)f (x)x1 、又由于 0f ( x)1、就g(0)f (0)10、 g (1)f (1)0 、得第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -到 g(0) ·g(1)< 0.所以、函数 g(x)在(0、1)内至少有一个实根 .再证唯独性；假设方程根、不妨设为 01 、f ( x)x10 在(0、1)内有两个实就有 f ()1、 f ()1、对函数f (x) )在 、上运用拉格朗日中值定理有f ()f ()f '()() .因此f '( )f ()f ()111这和已知条件f '(x)1 冲突.所以方程f ( x)x10 在(0、1)内有唯独的实根 .第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -