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1、电磁场矢量分析第三次课第1页，本讲稿共77页2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第2页，本讲稿共77页31.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢
2、量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。第3页，本讲稿共77页4矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy第4页，本讲稿共77页5（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的
3、对角线邻边的平行四边形的对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律第5页，本讲稿共77页6（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角第6页，本讲稿共77页7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为
4、写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则第7页，本讲稿共77页8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第8页，本讲稿共77页9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。定。1.21.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，
5、称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第9页，本讲稿共77页101、直角坐标系、直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx第10页，本讲稿共77
6、页112、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第11页，本讲稿共77页123、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量第12页，本讲稿共77页134、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系oqrz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标
7、系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 f第13页，本讲稿共77页*上述关系可以写成矩阵形式上述关系可以写成矩阵形式*单位矢量映射关系常用于混合坐标下矢量运算时的单位矢量映射关系常用于混合坐标下矢量运算时的 统一坐标统一坐标*本课时作业本课时作业:证明位置矢量证明位置矢量14圆柱坐标下的矢量 在直角坐标中如何表达?第14页，本讲稿共77页*每日题例每日题例;习题习题1.6,1.71.6,1.7*剃度运算的物理意义和基本性质剃度运算的物理意义和基本性质,相关题
8、例说明相关题例说明*哈密顿算符的表达哈密顿算符的表达*通量通量,散度运算的物理意义散度运算的物理意义*三大坐标系的散度公式推导三大坐标系的散度公式推导*高斯定理高斯定理 ,相关恒等式相关恒等式15第二次课要点;第15页，本讲稿共77页161.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场
9、，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第16页，本讲稿共77页171.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲
10、面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第17页，本讲稿共77页181.1.标量场的梯度标量场的梯度标量场关心的是物理量的分布变化规律.增量其中第18页，本讲稿共77页191.1.标量场梯度的物理意义标量场梯度的物理意义等位面上等位面间,增量du相
11、等,路径dl以法线方向最短,变化率最大梯度代表着场点处标量变化率最大的方向和最大变化率任意方向上的变化率称为方向导数,为梯度在其指定方向en上的投影:第19页，本讲稿共77页202.方向导数方向导数意义意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向性导数既与点：方向性导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率
12、最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：第20页，本讲稿共77页21梯度的表达式梯度的表达式(统一于线元的表达下统一于线元的表达下)：圆柱面坐标系圆柱面坐标系 球面坐标系球面坐标系直角面坐标系直角面坐标系 3、标量场的梯度、标量场的梯度（或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向第21页，本讲稿共77页22标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表
13、示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第22页，本讲稿共77页23 题题例例 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z)=x2y2z 描描述述了了空空间间标标量量场场。试求：试求：(1)该该函函数数 在在点点P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的的单单位矢量；位矢量
14、；(2)求求该该函函数数 沿沿单单位位矢矢量量 el=ex cos60 ey cos45 ez cos60 方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯度值作以比较，得出相应结论。梯度值作以比较，得出相应结论。解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为第23页，本讲稿共77页24表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2)由由方方向向导导数数与与梯梯度度之之间间的的关关系系式式可可知知，沿沿el方方向向的的方方向向导导数为数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数
15、在该点取值为第24页，本讲稿共77页25而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。第25页，本讲稿共77页关于距离R的梯度运算距离距离为标量为标量,(x,y,z),(x,y,z)为场点为场点,(x,y,z),(x,y,z)为场源所在的源点为场源所在的源点存在存在26第26页，本讲稿共77页上述重要结论的证明见例上述重要结论的证明见例1.3.11.3.1。27第27页，本讲稿共77页矢量场关心的问题围绕一张场图展开：28场源场量媒质位函数边界条件能量结构、参
16、数第28页，本讲稿共77页借助于流速场，首先解决场量分布已知，场源如何借助于流速场，首先解决场量分布已知，场源如何定位？定义什么运算来定位场源？其次要明确矢定位？定义什么运算来定位场源？其次要明确矢量的场源有那些具体形式，如何分类？通量，散量的场源有那些具体形式，如何分类？通量，散度，环流，旋度都是相关的概念。亥姆霍斯回答度，环流，旋度都是相关的概念。亥姆霍斯回答了场源的类型。了场源的类型。29第29页，本讲稿共77页301.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1、矢量线、矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程
17、：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线oM 第30页，本讲稿共77页312、矢量场的通量、矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念：其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对
18、闭合曲面的通量是：面积元矢量面积元矢量第31页，本讲稿共77页32通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢量有净的矢量线进入线进入进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第32页，本讲稿共77页矢量闭合面通量的物理意义是寻找场域闭合面内标矢量闭合面通量的物理意义是寻找场域闭合面内标性场源的
19、宏观总量性场源的宏观总量,对标性场源的定位是不精确的对标性场源的定位是不精确的,需要在点源意义下进行定位需要在点源意义下进行定位33第33页，本讲稿共77页343、矢量场的散度、矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之
20、比的极限。体积之比的极限。散度代表着标性场源的点密度散度代表着标性场源的点密度第34页，本讲稿共77页35柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式(推导论证推导论证)：散度的有关公式散度的有关公式：第35页，本讲稿共77页36直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzDxDyDP 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则 M(x,
21、y,z)第36页，本讲稿共77页37根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为借助于直角坐标系推导,整理成矢性表达,利用场性质不因坐标而变的性质推广到其他坐标系是非常重要的手段第37页，本讲稿共77页38园柱面坐系散度公园柱面坐系散度公式的推导验算式的推导验算结合习题结合习题1.171.17第38页，本讲稿共77页39球面坐标系散度推导球面坐标系散度推导第39页，本讲稿共77页404、散度定理、散度
22、定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 (物理意义是标性场源宏观总量平衡物理意义是标性场源宏观总量平衡)散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。第40页，本讲稿共77页散度定理的几个应用:*验算散度的表达推导是否正确验算散度的表达推导是否正确,如果散度如果散度
23、(标性点源标性点源)的体积分的体积分(宏观总量宏观总量),),与矢量闭合面的积分与矢量闭合面的积分(宏观总宏观总量量)相等相等,证明散度推导出来的表达式是真确的证明散度推导出来的表达式是真确的习题习题1.181.18求（求（1 1）矢量）矢量 的散度；的散度；（2 2）求）求 对中心在原点的一个单位立方体的积分；对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3 3）求）求 对此立方体表面的积分，验证散度定理。对此立方体表面的积分，验证散度定理。41第41页，本讲稿共77页*散度定理用于积分转换散度定理用于积分转换,一个方向计算复杂换另一一个方向计算复杂换另一个方向可能较。如：个方向可能较。如：换成散度
24、的体积分去完成较快，避免了混合坐标的换成散度的体积分去完成较快，避免了混合坐标的下矢量的面积分计算下矢量的面积分计算.42第42页，本讲稿共77页*用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和积分形用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和积分形式的相互转换式的相互转换*本课时内容小结本课时内容小结43第43页，本讲稿共77页每日练习每日练习:习题习题1.17,1.17,验证散度定理判断圆柱坐标的散验证散度定理判断圆柱坐标的散度表达度表达 是否正是否正确确已知已知已知已知:44第44页，本讲稿共77页面积分方向面积分方向面积分方向面积分方向45第45页，本讲稿共77页体积份方向体积份方向体积份方向体积份
25、方向:因此圆柱坐标的散度表达是正确的因此圆柱坐标的散度表达是正确的46第46页，本讲稿共77页47利用高斯散度定理证明如下结论:其中:高斯散度定理先证积分方向,在转化微分方向第47页，本讲稿共77页48因此有第48页，本讲稿共77页*本课时要点本课时要点:*了解环流、旋度运算的物理意义，借助直角坐标系了解环流、旋度运算的物理意义，借助直角坐标系完成推导，推广到其他坐标系，结合斯托克斯定完成推导，推广到其他坐标系，结合斯托克斯定理加于验算。理加于验算。*了解主要的矢量恒等式了解主要的矢量恒等式*了解了解 双重微分运算的展开形式双重微分运算的展开形式*了解了解亥姆霍兹定理的内容，场的分类，位函数引
26、用亥姆霍兹定理的内容，场的分类，位函数引用亥姆霍兹定理的内容，场的分类，位函数引用亥姆霍兹定理的内容，场的分类，位函数引用的条件的条件的条件的条件*归纳本章要点归纳本章要点归纳本章要点归纳本章要点*讨论部分重点习题讨论部分重点习题讨论部分重点习题讨论部分重点习题49第49页，本讲稿共77页501.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的矢量源，它所激发
27、的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。（通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。（对于旋对于旋涡源，矢量闭合面的积分恒等于零，需要定义其他的运算涡源，矢量闭合面的积分恒等于零，需要定义其他的运算）第50页，本讲稿共77页51 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：流成正比，即：上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。第51页，本讲稿共77页52q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路
28、的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。环流的概念（旋涡源只能用矢量的线积分来寻找定位）环流的概念（旋涡源只能用矢量的线积分来寻找定位）矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即环流的物理意义：指定路径上的旋涡源宏观总量，标性的环流的物理意义：指定路径
29、上的旋涡源宏观总量，标性的结果结果第52页，本讲稿共77页53q如果矢量场在指定闭合回路的环流为零，可能场域无源，也如果矢量场在指定闭合回路的环流为零，可能场域无源，也可能正负旋涡源抵消，也可能是路径与旋涡源垂直。可能正负旋涡源抵消，也可能是路径与旋涡源垂直。q因此环流运算对旋涡源的定位是不精确的，需要在点源意义因此环流运算对旋涡源的定位是不精确的，需要在点源意义下表达。下表达。定义 为旋度旋度运算结果为矢量，代表旋涡点源的强度和方向完成旋度运算只需要计算旋涡源在坐标三个面上的投影第53页，本讲稿共77页54 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面
30、的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密度第54页，本讲稿共77页55而而 推导推导 的示意
31、图如图所示的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、的表达式的表达式第55页，本讲稿共77页56于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第56页，本讲稿共77页57旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系圆柱面坐
32、标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系第57页，本讲稿共77页58旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零物理意义：旋涡点源永远无法用矢量的闭合面积分来发现第58页，本讲稿共77页593、Stokes定理（定理（物理意义：旋涡点源宏观总量平衡物理意义：旋涡点源宏观总量平衡）Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋
33、度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第59页，本讲稿共77页603、Stokes定理（定理（物理意义：旋涡点源宏观总量平衡物理意义：旋涡点源宏观总量平衡）*Stokes定理可以用于验证旋度的表达是否正确定理可以用于验证旋度的表达是否正确Stokes可以用于积分转换，一种运算有时换成另一个方向去完成可以用于积分转换，一种运算有时换成另一个方向去完成 可能较简明可能较简明Stokes定理也常用于公式整合、推导定理也常用于公式整合、推导*题例
34、讨论习题：题例讨论习题：1.21、1.22 及习题及习题1.31第60页，本讲稿共77页614、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 第61页，本讲稿共77页621、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲
35、面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第62页，本讲稿共77页632、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场(性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场第63页，本讲稿
36、共77页64（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场第64页，本讲稿共77页65（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分第65页，本讲稿共77页66基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理
37、标量第二格林定理。格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利利用用格格林林定定理理可可以以将将区区域域中中场场的的求求解解问问题题转转变变为为边边界界上上场的求解问题。场的求解问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。第66页，本讲稿共77页67亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢
38、量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 式中：式中：亥姆霍兹定理说明：在无界空间区亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第67页，本讲稿共77页68有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上
39、矢量场的切向分量和法向分量有关。第68页，本讲稿共77页亥姆霍兹定理本质亥姆霍兹定理本质:场源明确了场源明确了,则场的性质就明确。任何矢量场都只有散则场的性质就明确。任何矢量场都只有散度和旋度两种源（无界条件下，微分运算连续时），因此，矢量场有散度，度和旋度两种源（无界条件下，微分运算连续时），因此，矢量场有散度，旋度和边界条件所决定，由此产生场的分类和位函数的引入，带来一些分旋度和边界条件所决定，由此产生场的分类和位函数的引入，带来一些分析计算观点的转换析计算观点的转换69第69页，本讲稿共77页701.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标标量
40、拉普拉斯运算量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐直角坐标标系系计算公式计算公式（说明来历）（说明来历）圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第70页，本讲稿共77页71 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对对于非直角分量，于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：第71页，本讲稿共77页722.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式。满足下列等式。根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根
41、据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 en 方向上方向上的偏导数。的偏导数。以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,第72页，本讲稿共77页73本章小结：概念，恒等式，计算关系，难点，考点说明.概念:单位矢量,投影,夹角,方向导数,位置矢量,变矢,单位矢量映射等.运算:矢量的加,减,标乘,矢乘,散度,旋度,梯度三种微分运算,矢量的线积分,面积分恒等式:第73页，本讲稿共77页74注意位置矢量的有关结论:考点:直角坐标系下的标乘,矢乘,散度,旋度,梯度以及组合运算,双重微分运算,本章处理问题的一些观点难点:坐标系的单位矢量映射关系.矢量的线积分,面积分运算(尤其在混合坐标系下)注意本章处理问题的一些观点和手段第74页，本讲稿共77页75第一章作业:*证明位置矢量证明位置矢量*圆柱坐标下的矢量 在直角坐标中如何表达?第75页，本讲稿共77页76*球面坐标系散度推导球面坐标系散度推导第76页，本讲稿共77页*1.求矢量求矢量 的的2.2.求求 标量标量 的的 *简述简述:亥姆霍兹定理内容和意义亥姆霍兹定理内容和意义亥姆霍兹定理内容和意义亥姆霍兹定理内容和意义?77第77页，本讲稿共77页