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1、电路(第七章)一阶电路和二阶电路第1页，本讲稿共61页与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，通过设微与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，通过设微分方程中的导数项等于分方程中的导数项等于0，可以求得；或在直流稳态条件，可以求得；或在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容看成开路再加以求解。即求下，把电感看成短路，电容看成开路再加以求解。即求变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC(0+)=A+US=0 A=US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解第2页，本讲稿共61页-
2、USuCuC“USti0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）+第3页，本讲稿共61页 （2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；大，充电大，充电 慢，慢，小充电就快。小充电就快。（3 3）响应与外加激励成线性关系；）响应与外加激励成线性关系；（4 4）能量关系）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-
3、US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。第4页，本讲稿共61页例例t=0时时,开关开关K K闭合，已知闭合，已知 uC（0）=0，求（求（1 1）电）电容电压和电流，（容电压和电流，（2 2）uC80V时的充电时间时的充电时间t。解解50010F+-100VK+uCi(1)这是一个这是一个RC电路零状电路零状态响应问题，有：态响应问题，有：（2 2）设经过）设经过t1秒，秒，uC80V第5页，本讲稿共61页2.2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应iLK(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，电路方程为电路方程为：tuLUStiL00第6页，本讲稿共
4、61页求解一阶电路零状态响应的步骤：求解一阶电路零状态响应的步骤：1.1.由由2.2.断开动态元件求一端口的等效电阻断开动态元件求一端口的等效电阻R，得得时间常数时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R R为从动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻为从动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻。计算。计算R的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同。的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同。3.3.把把时的稳态电路求出稳态响应时的稳态电路求出稳态响应或或4.4.再利用再利用KCLKCL和和KVLKVL或元件的或元件的VCRVCR方程求出其它各支路的电压和方程求出其它各支路的电压和电流。电流。或或
5、和和 代入解的形式中进行求解：代入解的形式中进行求解：第7页，本讲稿共61页例例1t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的变化规律的变化规律。解解这是一个这是一个RL电路零状态响电路零状态响应问题，先化简电路，有：应问题，先化简电路，有：iLK+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReqt0第8页，本讲稿共61页例例2t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t0t0后后iL、uL的及电流源的端的及电流源的端电压电压。解解这是一个这是一个RL电路零状态响应电路零状态响应问题，利用戴维宁定理化简问题，利用戴维宁定理化简电路，有：电路，有：iLK+uL2H102A
6、105+ut0iL+uL2HUSReq+第9页，本讲稿共61页7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCR解答为解答为 uC(t)=uC+uCuC(0)=U0以以RC电路为例，非齐次方程电路为例，非齐次方程=RC1.1.全响应全响应全响应全响应稳态解 uC =US暂态解uC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由起始值定由起始值定A第10页，本讲稿共61页2.2.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量
7、(暂态解)uC-USU0暂态解uCUS稳态解U0uc全解tuc0全响应全响应=强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰物理概念清晰第11页，本讲稿共61页iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0)=U0iK(t=0)US+uRC+uCR=uC(0)=0+uC(0)=U0C+uCiK(t=0)+uRR全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应零状态响应零输入响应(2).(2).着眼于因果关系着眼于因果关系便于叠加计算便于叠加计算第12页，本讲稿共61页零状态响应零输入响应tuc0US零状态
8、响应全响应零输入响应U0第13页，本讲稿共61页例例1t=0时时,开关开关K打开，求打开，求t0t0后的后的iL、uL解解这是一个这是一个RL电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：iLK(t=0)+24V0.6H4+uL8零输入响应：零状态响应：全响应：第14页，本讲稿共61页或求出稳态分量：或求出稳态分量：全响应：代入初值有：62AA=4例例2t=0时时,开关开关K闭合，求闭合，求t0t0后的后的iC、uC及电流源两端及电流源两端的电压。的电压。解解这是一个这是一个RC电路全响应问电路全响应问题，有：题，有：+10V1A1+uC1+u1稳态分量：全响应：A=10第15页，本讲稿共61页+2
9、4V1A1+uC1+u1第16页，本讲稿共61页3.3.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令令 t=0+其解答一般形式为：其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用用0+等效电路求解等效电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解第17页，本讲稿共61页1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)。解解tuc2(V)0.6670第18页，本讲稿共61页例例2t=0时时,开关闭合，求开关闭合，求t0后的后的iL、i1、i2解解三要素为：
10、三要素为：iL+20V0.5H55+10Vi2i1应用三要素公式第19页，本讲稿共61页例例3已知：已知：t=0时开关由时开关由1212，求换路后的，求换路后的uC(t)。2A410.1F+uC+4i12i18V+12解解三要素为：三要素为：4+4i12i1u+第20页，本讲稿共61页例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t=0 时合时合k1,t=0.2s时合时合k2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。0 t 0.2s解解第21页，本讲稿共61页(0 t 0.2s)(t 0.2s)it(s)0.25(A)1.262第
11、22页，本讲稿共61页例例4.脉冲序列分析脉冲序列分析1.1.RC电路在单个脉冲作用的响应电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0tTuc(t)uR(t)t0第24页，本讲稿共61页t0(a)T,uc为输出为输出t0输出近似为输入的积分输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT第25页，本讲稿共61页2.2.脉冲序列分析脉冲序列分析t0(a)T U1U2ucuRRCusuRuci第27页，本讲稿共61页第七章第七章 一阶电路和二阶电路的一阶电路和二阶电路的时域分析时域分析2.2.一阶、二阶电路的零输入响应、零状态响应和全一阶、二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求
12、解；响应求解；l 重点重点 4.4.一阶、二阶电路的阶跃响应和冲激响应。一阶、二阶电路的阶跃响应和冲激响应。3.3.稳态分量、暂态分量求解；稳态分量、暂态分量求解；1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定；第28页，本讲稿共61页含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：特点：1.动态电路动态电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变历一个变化过程才能
13、达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。化过程称为电路的过渡过程。例例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路电阻电路第29页，本讲稿共61页K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i=0 ,uC=0i=0 ,uC=UsK+uCUsRCi(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi(t)初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1USuct0?i有一过渡期电容电路电容电路第30页，本讲稿共61页K未动作前，电路处于稳定状态未动作前，电路处于稳定状态i=0 ,uL=
14、0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路新的稳定状态，电感视为短路初始状态初始状态过渡状态过渡状态新稳态新稳态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+uLUsRLi(t=0)+uLUsRLi(t)电感电路电感电路第31页，本讲稿共61页过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生电路在换路时能量发生变化，而变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开电路参
15、数变化2.动态电路的方程动态电路的方程+uCUsRCi(t 0)应用应用KVL和元件的和元件的VCA得：得：第32页，本讲稿共61页+uLUsRLi(t 0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路+uLUSRLi(t 0)CuC二阶电路第33页，本讲稿共61页一阶电路一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。一阶电路中只有一个动态元件。稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态稳态动态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励（1 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；）描述动态
16、电路的电路方程为微分方程；结论：结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；第34页，本讲稿共61页复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法 动态电路的分析方法动态电路的分析方法建立微分方程：建立微分方程：经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用第35页，本讲稿共61页(1)t=0与与t=0的概念的概念认为换路在认为换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3 3.电电 路路 的的 初初 始始 条条 件件初始条件为初始条件为 t=0时时u，i 及其各阶导数的
17、值及其各阶导数的值000tf(t)第36页，本讲稿共61页 图示为电容放电电路，电容原先带有电压图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。求开关闭合后电容电压随时间的变化。例例R+CiuC(t=0)解解特征根方程：特征根方程：得通解：得通解：代入初始条件得：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。定解答的必需条件。第37页，本讲稿共61页t=0+时刻时刻当当i()为有限值时为有限值时iucC+-q(0+)=q(0)uC(0+)=uC(0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容
18、电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)(2)电容的初始条件电容的初始条件0q=C uC电荷守恒结结论论第38页，本讲稿共61页当当u为有限值时为有限值时 L(0)=L(0)iL(0)=iL(0)iuL+-L (3)(3)电感的初始条件电感的初始条件t=0+时刻时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论第39页，本讲稿共61页L(0+)=L(0)iL(0+)=iL(0)qc(0+)=qc(0)uC(0+)=uC(0)（4
19、 4）换路定律）换路定律（1 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2 2）换路定律反映了能量不能跃变。）换路定律反映了能量不能跃变。第40页，本讲稿共61页5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定(2)由换路定律由换路定律 uC(0+)=uC(0
20、)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)iC(0-)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代第41页，本讲稿共61页 iL(0+)=iL(0)=2A例例 2t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求先求由换路定律由换路定律:电感用电流源替代10V14解解电感短路第42页，本讲稿共61页求初始值的步骤求初始值的步骤:
21、1.1.由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)和和 iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.a.换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向同原假定的电容时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。电压、电感电流方向）。第43页，本讲稿共61页iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=-RIS求求 i
22、C(0+),uL(0+)例例3K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解解0+电路uL+iCRISR IS+0电路RIS由由0 0电路得：电路得：由由0 0电路得：电路得：第44页，本讲稿共61页例例3iL+uL-LK2+-48V32C求求K闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解由由0 0电路得：电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由由0 0+电路得：电路得：iL2+-48V32+uC第45页，本讲稿共61页例例4求求K闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C解解（1 1）确定）确定0 0值值（2 2
23、）给出）给出0 0等效电路等效电路1A+200V-100+100V100100+uLiC第46页，本讲稿共61页7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。始储能所产生的电压和电流。1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0)=U0iK(t=0)+uRC+uCR特征根特征方程RCp+1=0则则 uR=Ri零输入响应零输入响应第47页，本讲稿共61页代入初始值代入初始值 uC(0+)=uC(0)=U0A=U0第48页，本讲稿共61页tU0uC0I0ti0令令 =RC ,称
24、称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续函数跃变 （2 2）其衰减快慢与）其衰减快慢与RC有关；有关；第49页，本讲稿共61页时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =R C 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（C一定）一定）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长U0tuc0 小 大C 大（大（R一定）一定）W=Cu2/2
25、 储能大储能大物理含义物理含义第50页，本讲稿共61页工程上认为工程上认为,经过经过 3 5,过渡过程结束。过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。t2t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于U0tuc0t1t2U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 次切距的长度次切距的长度第51页，本讲稿共61页（3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设u
26、C(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+C第52页，本讲稿共61页2.2.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+uLRR1t 0iL+uLR第53页，本讲稿共61页-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续函数跃变 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2 2）其衰减快慢与）其衰减快慢与L/R有关；有关；第54页，本讲稿共61页 =L
27、/R ,称为一阶称为一阶RL电路时间常数。电路时间常数。大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =L/R第55页，本讲稿共61页（3 3）能量关系）能量关系 电感电感不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕直到全部消耗完毕.设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+uLR第56页，本讲稿共61页小结小结1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的
28、响应响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路RL电路第57页，本讲稿共61页求解一阶电路零输入响应的步骤：求解一阶电路零输入响应的步骤：1.1.由由2.2.求求t0t0后电路的时间常数后电路的时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路
29、=L/R R为从动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻为从动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻。计算。计算R的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同。的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同。3.3.求求iL(0+)=iL(0)uC(0+)=uC(0)RC电路RL电路的电路确定电容电压的电路确定电容电压或电感电流或电感电流，再根据换路定律得出动态元件的初始值：，再根据换路定律得出动态元件的初始值：4.4.再利用再利用KCLKCL和和KVLKVL或元件的或元件的VCRVCR方程求出其它各支路的电压和方程求出其它各支路的电压和电流。电流。第58页，本讲稿共61页例例1 已知图示电路中的电容原本充有已知图示电
30、路中的电容原本充有24V电压，求电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解解这是一个求一阶这是一个求一阶RC零输零输入响应问题，有：入响应问题，有：i3K3+uC265Fi2i1+uC45Fi1t 0等效电路分流得：分流得：第59页，本讲稿共61页iL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=10000V 造成V损坏。例例2t=0时时,打开开关打开开关K，求，求uv。现象现象：电压表坏了：电压表坏了电压表量程：电压表量程：50V解解iLK(t=0)+uVL=4HR=10VRV10k10V第60页，本讲稿共61页例例3t=0时时,开关开关K由由12，求，求t0后的电感电压和电流后的电感电压和电流。解解iLK(t=0)+24V6H3446+uL212t 0iL+uLR第61页，本讲稿共61页