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1、概率论第七章参数估计区间估计现在学习的是第1页，共50页也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里 是一个很小的正数.现在学习的是第2页，共50页一.置信区间与置信度 区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。定义：设总体含一待估参数对于样本找出两个统计量使得：称区间为的置信区间，为该区间的置信度是一个随机区间；给出该区间含真值 的可靠度。可能性。表示该区间不包含真值的区间现在学习的是第3页，共50页通常通
2、常,采用采用95%的置信度的置信度,有有时也取也取99%或或 90%.即置信度即置信度为这时重复重复抽抽样 100次次,则在得到的在得到的100个区个区间中包含中包含真真值的有的有95个左右个左右,不包含不包含真真值的有的有5个左右。个左右。例如例如 若若具体的具体的计算方法算方法 由由样本本寻找一个找一个样本函数本函数，其中只含有一个未知参数，其中只含有一个未知参数 对于于给定的置信水平定的置信水平，找，找 a,b 使得使得现在学习的是第4页，共50页 由由解出等价的解出等价的不等式不等式是是的置信度的置信度为的置信区的置信区间。对于于给定的置信水平定的置信水平，找，找 a,b 使得使得现在
3、学习的是第5页，共50页二二、正、正态总体均体均值与方差的区与方差的区间估估计设为总体体的一个的一个样本本设已知方差已知方差且且是是的的一个无偏点估一个无偏点估计，置信度置信度下，来确定下，来确定的置信区的置信区间 已知方差已知方差，估，估计均均值又又现在学习的是第6页，共50页对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得：由此可找出无穷多组通常我们取对称使：且区间由上 点的定义式,现在学习的是第7页，共50页推得，随机区间：查正态分布表找出得：现在学习的是第8页，共50页所以所以的置信水平的置信水平为1-的置信区的置信区间为简记为例例 若取若取查表得表得值算得算得样本均本均值的的观察察值则得
4、到一个置信度得到一个置信度为0.95的的的的置信区置信区间，若由一个，若由一个样本本现在学习的是第9页，共50页注：注：的置信水平的置信水平1的置信区的置信区间不唯一。不唯一。上例中上例中同同样给定定,可以取可以取标准正准正态分分布上布上分位点分位点-Z0.04和和Z0.01，则也有也有则的置信度的置信度为0.950.95的置信区的置信区间为但但对称称时的区的区间长度度最短。最短。194页现在学习的是第10页，共50页例1：已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,115,115,105,110 cm;假设标准差置信度为9
5、5%;试求总体均值的置信区间解：已知由样本值算得：查正态分布表得由此得置信区间：现在学习的是第11页，共50页例2：从一批零件中随机抽取16个,测得长度（单位:厘米)为 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度求总体均值的置信水平为 0.90 的置信区间。解：查表得所以的置信水平为0.90的置信区间为即:现在学习的是第12页，共50页例3：设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95 的置信区间的长度不大于 0.49?解:设需要抽取容量为 的样本,其样
6、本均值为查表得于是的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度要使只要即取现在学习的是第13页，共50页 方差未知，估计均值所以的置信水平为1-的置信区间为简记为现在学习的是第14页，共50页例4：用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115cm;设温度 在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。解：设是温度的真值，是测量值已知由样本值算得：得区间：查表现在学习的是第15页，共50页例5：对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验,测 得最大飞行速度(单位:米/秒)为420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,41
7、2.3,431.5最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度 422.2,417.2,425.6413.5,441.3,423.0,428.2,根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。解:以表示该飞机的最大飞行速度,则 现在学习的是第16页，共50页查表得由于总体方差未知,因此的置信水平为0.95的置信区间为:即:由现在学习的是第17页，共50页3）方差的区间估计设为总体的一个样本是的无偏估计并且样本函数：由于分布无对称性即：现在学习的是第18页，共50页由分布表的构造置信区间：即现在学习的是第19页，共50页标准差的一个置信水平为的置信区间注意：注意：在密度函数不
8、对称时，如习惯上仍取和对称类似的分位点，但其置信区间的长度并不最短。现在学习的是第20页，共50页例6：在某班级中,随机抽取25名同学测量其身高,算得平均身高为170cm,标准差为12cm.假设所测 身高近似服从正态分布,求该班学生平均身高 和身高标准差的0.95置信区间。解：设身高由题设得(1)的0.95置信区间为现在学习的是第21页，共50页(2)即:的0.95置信区间为即:的0.95置信区间为所以现在学习的是第22页，共50页设某机床加工的零件长度16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.
9、06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间例7：今抽查解:已知查得查得由此得置信区间:现在学习的是第23页，共50页三三、两个正、两个正态总体均体均值与方差的区与方差的区间估估计设为总体的一个样本的置信区间为总体的一个样本,X与Y相互独立。均为已知,且是的一个无偏估计，因为X与Y 相互独立,所以现在学习的是第24页，共50页所以的置信水平为1-的置信区间为现在学习的是第25页，共50页未知所以的置信水平为1-的置信区间为现在学习的是第26页，共50页的置信区间所以的置信水平为1-的置信区间为现在学习的是
10、第27页，共50页本章知本章知识小小结1.重点：矩估重点：矩估计、最大似然估、最大似然估计、无偏性、有、无偏性、有 效性、效性、单个正个正态总体参数的区体参数的区间估估计2.难点：最大似然估点：最大似然估计现在学习的是第28页，共50页作作业 210页 14、15、18 19、20现在学习的是第29页，共50页四.分布参数的区间估计若总体 X 的分布律其中为未知参数，则设为总体的一个大样本由中心极限定理（近似）（近似）现在学习的是第30页，共50页整理从中解得的范围现在学习的是第31页，共50页上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备
11、、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.五、五、单侧置信区置信区间现在学习的是第32页，共50页于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设 是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,Xn确定的统计量则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间.称为单侧置信下限.现在学习的是第33页，共50页又若统计量 满足则称区间 是 的置信水平为 的单侧置信区间.称为单侧置信上限.现在学习的是第34页，共50页设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限.例8 从一批灯泡中随机
12、抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差 未知，解：的点估计取为样本均值 选取统计量为现在学习的是第35页，共50页 对给定的置信水平 ，确定分位数使即于是得到 的置信水平为 的单侧置信区间为 现在学习的是第36页，共50页 将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为 的单侧置信下限为即现在学习的是第37页，共50页例9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下10.5 11.0 11.2 12.5 12.8假设制造单位产品所需工时试求平均工时的置信水
13、平为0.95的单侧置信上限.解 由于,其中未知,因此现在学习的是第38页，共50页对于给定的,由分布的分位点的定义,存在,使得而,所以现在学习的是第39页，共50页即 故的单侧置信区间为单侧置信上限为现在学习的是第40页，共50页,经计算得,由 得可得单侧置信上限因此,加工这种产品的平均工时不超过12.55小时的可靠程度是95%.现在学习的是第41页，共50页现在学习的是第42页，共50页现在学习的是第43页，共50页现在学习的是第44页，共50页现在学习的是第45页，共50页现在学习的是第46页，共50页现在学习的是第47页，共50页现在学习的是第48页，共50页现在学习的是第49页，共50页现在学习的是第50页，共50页