函数、极限与连续习题及答案.pdf

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1、函数、极限与连续习题及答案函数、极限与连续习题及答案第一章第一章函数、极限与连续函数、极限与连续(A)(A)1 1区间区间a,表示不等式表示不等式()A Aa x B Ba x C Ca xD Da x2 2若若t t31，则，则t31()A At31B Bt6 2C Ct9 2D Dt9 3t6 3t3 23 3设函数设函数fx ln3x 15 2x arcsin x的定义域是的定义域是()51 51A A,B B1,C C,1D D1,123 234 4下列函数下列函数fx与与gx相等的是相等的是()A Afx x2，gxx4B Bfx x，gxC Cfxx2x 1x 1，gxx 1x21

2、D Dfx，gx x 1x 1x 15 5下列函数中为奇函数的是下列函数中为奇函数的是()2x 2xsin xxsin xD Dy x2cos x xsin xA Ay 2B By xeC C2x26 6若函数若函数fx x，2 x 2，则，则fx 1的值域为的值域为()A A0,2B B0,3C C0,2D D0,37 7设函数设函数fx ex(x 0)，那么，那么fx1 fx2为为()x1A Afx1 fx2B Bfx1 x2C Cfx1x2D Df x28 8 已知已知fx在区间在区间,上单调递减，上单调递减，则则fx2 4的单调递减区间是的单调递减区间是()A A,B B,0C C0,

3、D D不存在不存在9 9函数函数y fx与其反函数与其反函数y f1x的图形对称于直线的图形对称于直线()A Ay 0B Bx 0C Cy xD Dy x2 21010函数函数y 10 x1 2的反函数是的反函数是()A Ay lgx1B By logx2C Cy log2D Dy 1lgx 2x 2xx是有理数x是无理数ax,1111设函数设函数fx0,0 a 1，则，则()A A当当x 时，时，fx是无穷大是无穷大B B当当x 时，时，fx是无穷小是无穷小C C当当x 时，时，fx是无穷大是无穷大D D当当x 时，时，fx是无穷小是无穷小1212设设fx在在R上有定义，函数上有定义，函数f

4、x在点在点x0左、右极限都存在且相等是函左、右极限都存在且相等是函数数fx在点在点x0连续的连续的()A A充分条件充分条件B B充分且必要条件充分且必要条件C C必要条件必要条件D D非充分也非必要条件非充分也非必要条件x2 a,x 11313若函数若函数fx在在R上连续，则上连续，则a的值为的值为()cosx,x 1A A0 0B B1 1C C-1-1D D-2-21414若函数若函数fx在某点在某点x0极限存在，则极限存在，则()A Afx在在x0的函数值必存在且等于极限值的函数值必存在且等于极限值B Bfx在在x0函数值必存在，但不一定等于极限值函数值必存在，但不一定等于极限值C C

5、fx在在x0的函数值可以不存在的函数值可以不存在D D如果如果fx0存在的话，必等于极限值存在的话，必等于极限值12341515数列数列0，是，是()3456A A以以 0 0 为极限为极限B B以以 1 1 为极限为极限n 2为极限为极限D D不存在在极限不存在在极限n11616lim xsin()xxC C以以A AB B不存在不存在C C1 1D D0 011717lim1xx2x()3 3A Ae2B BC C0 0D D1818无穷小量是无穷小量是()12A A比零稍大一点的一个数比零稍大一点的一个数B B一个很小很小的数一个很小很小的数C C以零为极限的一个变量以零为极限的一个变量

6、D D数零数零 2x,1919 设设fx2,x 1,1 x 00 x 1则则fx的定义域为的定义域为，f0=，1 x 3f1=。2020 已知函数已知函数y fx的定义域是的定义域是0,1，则则fx2的定义域是的定义域是。2121 若若fx1，则则ffx，fffx。1 x2222函数函数y ex1的反函数为的反函数为。2323函数函数y 5sinx的最小正周期的最小正周期T。12424设设f x 1 x2，则，则fx。x2525limxn 3 nn 1。111n242。2626limn1111n39312727limxln x。x020302x 3 3x 22828limx5x 150。x 1

7、x,2929函数函数 fxx 1,1 x 2的不连续点为的不连续点为。3 x,x 2x。n3n13131函数函数fx2的连续区间是的连续区间是。x 13030lim3nsin4 4ax b,3232设设fx2a bx x,x 0 x 0a b 0，fx处处连续的充要条件是处处连续的充要条件是b。1,x 03333若若fx，gx sin x，复复合合函函数数fgx的的 连连续续区区 间间1,x 0是是。x2a，ax b3434 若若lim则则a，b均为常数，均为常数，b。0，xx 13535下列函数中哪些是偶函数，下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？哪既非

8、奇函数又非偶函数？1 x2(1)(1)y x1 x，(2)(2)y 3x x，(3)(3)y，(4)(4)y xx 1x 121 x2223ax ax(5)(5)y sin x cos x 1，(6)(6)y 23636若若ft 2t2255t，证明，证明ft2tt1f 。t3737求下列函数的反函数求下列函数的反函数2xx 1(1)(1)y x，(2)(2)y 1 2sin2 1x 13838写出图写出图 1-11-1 和图和图 1-21-2 所示函数的解析表达式所示函数的解析表达式yy2 21 11 1xx-1-1图图1-11-1图图 1-21-2sin x,x 03939设设 fxx，求

9、，求lim fx。x01 x2,0 x 12 22 n2n，求，求lim xn。4040设设xn2n3n5 54141若若fx1fx x fx，求，求。limx0 xx2111224242利用极限存在准则证明：利用极限存在准则证明：limn2 1。nn nn n 24343求下列函数的间断点，并判别间断点的类型求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)(1)y x1 x2x1 x，(2)(2)y，(3)(3)y，(4)(4)y xx2 x2x,0 x 114444设设fx,x 1，问：，问：21,1 x 2(1)(1)lim fx存在吗？存在吗？x1(2)(2)fx在在x 1处连续吗？若不连

10、续，处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。则补充定义，使其在该点连续。x21,0 x 14545设设fx，x 3,x 1(1)(1)求出求出fx的定义域并作出图形。的定义域并作出图形。(2)(2)当当x 1，1 1，2 2 时，时，fx连续吗？连续吗？2(3)(3)写出写出fx的连续区间。的连续区间。2,x 0,x 20 x 2，求出，求出fx的间断点，并指出是哪一的间断点，并指出是哪一4646设设fx4 x2,x 24,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。4747根据连续函数的性

11、质，验证方程根据连续函数的性质，验证方程x53x 1至少有一个根介于至少有一个根介于 1 1 和和 2 2 之之间。间。4848验证方程验证方程x2x1至少有一个小于至少有一个小于 1 1 的根。的根。(B)(B)1 1在函数在函数fx的可去间断点的可去间断点x0处，下面结论正确的是处，下面结论正确的是()6 6A A函数函数fx在在x0左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个不存在B B函数函数fx在在x0左、右极限存在，但不相等左、右极限存在，但不相等C C函数函数fx在在x0左、右极限存在相等左、右极限存在相等D D函数函数fx在在x0左、右极限都不存在左、右极限都不存在132 2

12、设函数设函数fxx sin x,0,x 0，则点，则点 0 0 是函数是函数fx的的()x 0A A第一类不连续点第一类不连续点B B第二类不连续点第二类不连续点C C可去不连续点可去不连续点D D连续点连续点3 3若若lim fx 0，则，则()x0A A当当gx为任意函数时，有为任意函数时，有lim fxgx 0成立成立xx0B B仅当仅当lim gx 0时，才有时，才有lim fxgx 0成立成立xx0 xx0C C当当gx为有界时，能使为有界时，能使lim fxgx 0成立成立xx0D D仅当仅当gx为常数时，才能使为常数时，才能使lim fxgx 0成立成立xx04 4设设lim f

13、x及及lim gx都不存在，则都不存在，则()xx0 xx0A Alimfx gx及及limfx gx一定不存在一定不存在xx0 xx0B Blimfx gx及及limfx gx一定都存在一定都存在xx0 xx0C Climfx gx及及limfx gx中恰有一个存在，而另一个不存在中恰有一个存在，而另一个不存在xx0 xx0D Dlimfx gx及及limfx gx有可能存在有可能存在xx0 xx0 x2sin5 5limx0sin x1x的值为的值为()A A1 1B BC C不存在不存在D D0 06 6limsin21 xx1x 1 x 22()112A AB BC C0 0D D33

14、37 77 7按给定的按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是的变化趋势，下列函数为无穷小量的是()1A A(x)B B1 1(x )xx4 x 1x2xC C12x(x 0)D Dx(x 0)sin x8 8当当x 0时，下列与时，下列与x同阶同阶(不等价不等价)的无穷小量是的无穷小量是()A Asinx xB Bln1 xC Cx2sin xD Dex11 x219 9设函数设函数gx12x，fgx，则，则f 为为()2x2A A3030B B1515C C3 3D D1 11010 设函数设函数fx 2x2 4(0 x 2)的值域为的值域为E，gx为为F，则有，则有()A AE FB

15、 BE FC CE FD DEF 1111在下列函数中，在下列函数中，fx与与gx表示同一函数的是表示同一函数的是()x2A Afx1，gx1 xB Bfx x，gxx02的值域的值域2x 2x 1C Cfxx2，gx xD Dfx3x3，gx x1212与函数与函数fx 2x的图象完全相同的函数是的图象完全相同的函数是()A Alne2xB Bsinarcsin2xC Celn 2xD Darcsinsin2x1313若若x 1，下列各式正确的是，下列各式正确的是()A A11B Bx21C Cx31D Dx 1x1414若数列若数列xn有极限有极限a，则在，则在a的的领域之外，数列中的点领

16、域之外，数列中的点()A A必不存在必不存在B B至多只有限多个至多只有限多个C C必定有无穷多个必定有无穷多个D D可以有有限个，也可以有无限多个可以有有限个，也可以有无限多个1515任意给定任意给定M 0，总存在，总存在X 0，当，当x X时，时，fx M，则，则()A Alim fx B Blim fx xx8 8C Clim fx D Dlim fx xx1616如果如果limfx与与limfx存在，则存在，则()xx0 xx0A Alim fx存在且存在且lim fx fx0 xx0 xx0B Blim fx存在，但不一定有存在，但不一定有lim fx fx0 xx0 xx0C Cl

17、im fx不一定存在不一定存在xx0D Dlim fx一定不存在一定不存在xx01717无穷多个无穷小量之和，则无穷多个无穷小量之和，则()A A必是无穷小量必是无穷小量B B必是无穷大量必是无穷大量C C必是有界量必是有界量D D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量1818y arccoslnx21，则它的连续区间为，则它的连续区间为()A Ax 1B Bx 2C Ce 1,2 1919设设fx lim 2,e 1D De 1,2 2,e 13nx，则它的连续区间是，则它的连续区间是()n1 nx1A A,B Bx(n为正整数为正整数)处处n1C C,

18、00,D Dx 0及及x 处处nex,x 02020设设fx要使要使fx在在x 0处连续，则处连续，则a()a x,x 0A A2 2B B1 1C C0 0D D-1-1x1sin,x 02121设设fxx，若若fx在在,上是连续函数，则上是连续函数，则3x 0a,a()1A A0 0B B1 1C CD D3 333x 1,x 1x 1的的()2222点点x 1是函数是函数 fx1,3 x,x 19 9A A连续点连续点B B第一类非可去间断点第一类非可去间断点C C可去间断点可去间断点D D第二类间断点第二类间断点2323方程方程x4 x 1 0至少有一根的区间是至少有一根的区间是()1

19、1A A0,B B,1C C2,3D D1,2222424下列各式中的极限存在的是下列各式中的极限存在的是()2x25x1A Alimsin xB BlimeC ClimD Dlimx3x21x0 x02x1x1x2525limxsin xx0()A A1 1B B0 0C C-1-1D D不存在不存在2n 12626lim222。nnnn112727若若f x x223，则，则fx。xx2828函数函数y lnx21的单调下降区间为的单调下降区间为。a2n2bn 5 2，则，则a，b。2929已知已知limn3n 2 x 23030limxx 1ax e2，则，则a。1x3131函数函数fx

20、 e的不连续点是的不连续点是，是第，是第类不连续点。类不连续点。13232函数函数fx sin的不连续点是的不连续点是，是第，是第不连续点。不连续点。x3333当当x 0时，时，31 x 1。3434 已知已知fx1 x，为使为使fx在在x 0连续，连续，则应补充定义则应补充定义f0。3535若函数若函数fx1与函数与函数gx是是。xx1x的图形完全相同，则的图形完全相同，则x的取值范围的取值范围10103636设设fx x x3，若若fx 0，则则x；若若fx 0，则则x；若；若fx 0；则；则x。2x,x 0 5x,x 03737设设fx，gx，则，则fgx。x,x 03x,x 03838

21、设设0 u 1，函数函数fu有意义，有意义，则函数则函数flnx的定义域的定义域。3939设数列设数列xn1n1的的前前n项和为项和为Sn，那么，那么lim1S1 S2 Snxn。4040 如果如果x 0时，时，要无穷小要无穷小1cosx与与asin21xxa应等于应等于。等价，等价，24141要使要使limax b 0，则，则b应满足应满足。4242limxx0 x21 x。1 x2,x 14343函数函数fx 1 x，当，当A 时，函数时，函数fx连续。连续。A,x 1x2 ax b 2，则，则a，b。4444已知已知lim2x2x x 212x,x 04545fxe，lim fx；若；若

22、fx无间断点，无间断点，x0 a,x 0则则a。4646函数函数fx xsin4747lim1在点在点x 0处可可连续开拓，只须令处可可连续开拓，只须令f0。x1cosx。x0 x2cosxx34848limx。xe4949lim1cos2x。2x0 x5050设设Gx lnx，证明：当，证明：当x 0，y 0，下列等式成立：，下列等式成立：x(1)(1)GxGy Gxy，(2)(2)GxGy Gy。11111,x 15151设设fx0,x 1，gx ex，求，求fgx和和gfx。1,x 15252若若x lg y z 1 x，证明：，证明：yz1 yz。1 x5353根据数列极限的定义证明：

23、根据数列极限的定义证明：(1)(1)lim3n 13，(2)(2)limn 1n 0，nx2n 12n(3)(3)lim0999 1，(4)(4)lim nn个n2 n1n5454根据函数极限的定义证明根据函数极限的定义证明1 2x221，(1)(1)limxsin 0，(2)(2)limxx033x2x(3)(3)limarctgx 0，(4)(4)limx 2 0 xx2x5555求下列极限求下列极限x21xn1(1)(1)lim2(2)(2)limm(n，m为正整数为正整数)，x03x x 2x1x1(3)(3)lim1x1xx(4)(4)limxx cosxx 7(5)(5)81193

24、4x 7 5x 81lim(6)(6)lim3100 x11 xx1 x2x 3(7)(7)lim1cos2xcosx(8)(8)limx0 xsin xx2x 2sin2x sin2aarcsin x(9)(9)lim(10)(10)limxax0 x ax1 x(11)(11)lim1 2x(12)(12)limx01 xx01x1x(13)(13)lim1tgxx0cos x1(14)(14)lim1(k为正整数为正整数)xxkx5656当当x 0时，求下列无穷小量关于时，求下列无穷小量关于x的阶的阶1212(1)(1)x3 x6，(2)(2)x2 3sin x，(3)(3)1 x 1

25、x，(4)(4)tgx sin x5757试证方程试证方程x asinxb，其中，其中a 0，b 0，至少有一个正根，并且不，至少有一个正根，并且不超过超过ab。5858设设fx在闭区间在闭区间0,2a上连续，且上连续，且f0 f2a，则在，则在0,a上至少存在上至少存在一个一个x，使，使fx fx a。5959设设fx在在a,b上连续，且上连续，且fa a，fb b，试证：在，试证：在a,b内至少内至少有一点有一点，使得：，使得：f。6060设数列设数列xn有界，又有界，又lim yn 0，证明，证明limxnyn 0。nn132333n36161设设xn4444，求，求lim xn。nnn

26、nn3x,1 x 16262设设fx2,x 1，求，求lim fx及及lim fx。x0 x13x2,1 x 2ex ex6363求求limx。xe ex6464求求lim2sin x sin 2x。x0 x36565求下列极限求下列极限et1sin2x(1)(1)lim(2)(2)limt2tx2cos x4(3)(3)limx15x 4 xsin x sina(4)(4)limxax 1x a(5)(5)limxx2 x x2 x(6)(6)lim 1 3tg2xx0cos xex1 2x 3(7)(7)lim(8)(8)limx0 x2x 1xx16666求求limx。x0ln1 x13

27、13(C)(C)1 1若若存存在在 0，对对任任意意 0，适适合合不不等等式式xa 的的一一切切x，有有fx L，则，则()A Afx在在a不存在极限不存在极限B Bfx在在a,a 严格单调严格单调C Cfx在在a,a 无界无界D D对任意对任意xa,a，fx L2 2若若存存在在 0，对对任任意意 0，适适合合不不等等式式xa 的的一一切切x，有有fx L，则，则()A Alim fx LB Bfx在在R上无界上无界xaC Cfx在在R上有界上有界D Dfx在在R上单调上单调3 3函数函数fx limxn1 x 2xn2nn(x 0)，则此函数，则此函数()A A 没有间断点没有间断点B B

28、有一个第一类间断点有一个第一类间断点C C有两个以上第一类间断点有两个以上第一类间断点D D有两个以上间断点，但类型不确定有两个以上间断点，但类型不确定kx 7的定义域为的定义域为R，则，则k的取值范围是的取值范围是()2kx 4kx 33333A A0 k B Bk 0或或k C C0 k D Dk 44444 4若函数若函数y 5 5两个无穷小量两个无穷小量与与之积之积仍是无穷小量，且与仍是无穷小量，且与或或相比相比()A A是高阶无穷小是高阶无穷小B B是同阶无穷小是同阶无穷小C C可能是高阶，也可能是同阶无穷小可能是高阶，也可能是同阶无穷小D D与阶数较高的那阶同阶与阶数较高的那阶同阶

29、6 6试决定当试决定当x 0时，下列哪一个无穷小是对于时，下列哪一个无穷小是对于x的三阶无穷小的三阶无穷小()A A3x2xB Ba x3a(a 0是常数是常数)C Cx3 0.0001x2D D3tan x7 7指出下列函数中当指出下列函数中当x 0时时()为无穷大为无穷大A A2xsin xC CexD Dex1B B1 sec x114141 x 1 x,8 8fxxk,A A0 0B B2 2C C9 9使函数使函数y x 0 x 0，如果如果fx在在x 0处连续，处连续，那么那么k()1D D1 12x 1x 1为无穷小量的为无穷小量的x的变化趋势是的变化趋势是()3x 1A Ax

30、0B Bx 1C Cx 1D Dx 1010设设fx1，若，若fx fy fz，则，则z=。x x,x 01111若若x而而fx 2x，则，则fx。x,x 01ex,x 01212若若fx3x,0 x 1在在x 1处连续，则处连续，则a。e2ax eax1,1 x x3 ax2 x 41313 设设lim有有限极限值有有限极限值L，则则a，L。x1x 11414limxax a x ax ax22(a 0)=)=。1515证明证明limsin x不存在。不存在。1616求求limn1 xn(0 x 1)。n1717求求lim3 9xx1xx。1818 设设gx在在x 0处连续，处连续，且且g0

31、 0，以及以及fx gx，试证：试证：fx在在x 0处连续。处连续。1919利用极限存在准则证明：数列利用极限存在准则证明：数列2，22，222，的极，的极限存在。限存在。1c2020设设fx适合适合afx bf (a、b、c均为常数均为常数)且且a b，试证：，试证：xxf x fx。15152121设函数设函数f在在,内有定义，内有定义，fx 0，fx y fx fy，试求，试求f1985。2222设设x、x、fx都为单调增加函数，且对一切实数都为单调增加函数，且对一切实数x均有：均有：x fx x，求证，求证x ffx x。2323证明证明fx sin2当当x 0时左右极限不存在。时左右

32、极限不存在。x1 1 1 2424设设xn 121212，证明：当，证明：当n 时时xn的极限存在。的极限存在。23n2525若若fx在在a,b上连续，上连续，a x1 x2 xn b，则在，则在x1,xn上必有上必有，使使ffx1 fx2 fxn。nx2626 证明，证明，若若fx在在,内连续，内连续，且且lim fx存在，存在，则则fx必在必在,内有界。内有界。2727limnnn1n1992，求，求、的值。的值。2828 证明方程证明方程a3a1a2 0，在在1,2，2,3内有唯一的根，内有唯一的根，x 1x 2x 3其中其中a1，a2，a3均为大于均为大于 0 0 的常数，且的常数，且

33、123。第一章第一章函数、极限与连续函数、极限与连续(A)(A)1 1区间区间a,表示不等式表示不等式(B B)A Aa x B Ba x C Ca xD Da x2 2若若t t31，则，则t31(D D)A At31B Bt6 2C Ct9 2D Dt9 3t6 3t3 23 3设函数设函数fx ln3x 15 2x arcsin x的定义域是的定义域是(C C)51 51A A,B B1,C C,1D D1,123 2316164 4下列函数下列函数fx与与gx相等的是相等的是(A A)A Afx x2，gxx4B Bfx x，gxC Cfxx2x 1x 1，gxx 1x21D Dfx，

34、gx x 1x 1x 15 5下列函数中为奇函数的是下列函数中为奇函数的是(A)(A)2x 2xsin xxsin xD Dy x2cos x xsin xA Ay 2B By xeC C2x26 6若函数若函数fx x，2 x 2，则，则fx 1的值域为的值域为(B)(B)A A0,2B B0,3C C0,2D D0,37 7设函数设函数fx ex(x 0)，那么，那么fx1 fx2为为(B)(B)x1A Afx1 fx2B Bfx1 x2C Cfx1x2D Df x28 8 已知已知fx在区间在区间,上单调递减，上单调递减，则则fx2 4的单调递减区间是的单调递减区间是(C)(C)A A,

35、B B,0C C0,D D不存在不存在9 9函数函数y fx与其反函数与其反函数y f1x的图形对称于直线的图形对称于直线(C)(C)A Ay 0B Bx 0C Cy xD Dy x1010函数函数y 10 x1 2的反函数是的反函数是(D D)A Ay lgx1B By logx2C Cy log2D Dy 1lgx 2x 2xx是有理数x是无理数ax,1111设函数设函数fx0,0 a 1，则，则(B B)A A当当x 时，时，fx是无穷大是无穷大B B当当x 时，时，fx是无穷小是无穷小C C当当x 时，时，fx是无穷大是无穷大D D当当x 时，时，fx是无穷小是无穷小1212设设fx在

36、在R上有定义，函数上有定义，函数fx在点在点x0左、右极限都存在且相等是函左、右极限都存在且相等是函数数fx在点在点x0连续的连续的(C)(C)1717A A充分条件充分条件B B充分且必要条件充分且必要条件C C必要条件必要条件D D非充分也非必要条件非充分也非必要条件x2 a,x 11313若函数若函数fx在在R上连续，则上连续，则a的值为的值为(D)(D)cosx,x 1A A0 0B B1 1C C-1-1D D-2-21414若函数若函数fx在某点在某点x0极限存在，则极限存在，则(C)(C)A Afx在在x0的函数值必存在且等于极限值的函数值必存在且等于极限值B Bfx在在x0函数

37、值必存在，但不一定等于极限值函数值必存在，但不一定等于极限值C Cfx在在x0的函数值可以不存在的函数值可以不存在D D如果如果fx0存在的话，必等于极限值存在的话，必等于极限值12341515数列数列0，是，是(B)(B)3456A A以以 0 0 为极限为极限B B以以 1 1 为极限为极限n 2为极限为极限D D不存在在极限不存在在极限n11616lim xsin(C)(C)xxC C以以A AB B不存在不存在C C1 1D D0 011717lim1xx2x(A)(A)12A Ae2B BC C0 0D D1818无穷小量是无穷小量是(C)(C)A A比零稍大一点的一个数比零稍大一点

38、的一个数B B一个很小很小的数一个很小很小的数C C以零为极限的一个变量以零为极限的一个变量D D数零数零 2x,1919设设fx2,x 1,1 x 00 x 1则则fx的定义域为的定义域为1,3，f0=2 2，1 x 3f1=0 0。2020已知函数已知函数y fx的定义域是的定义域是0,1，则，则fx2的定义域是的定义域是1,1。18182121若若fxx 11，则，则ffx，fffxx。x1 x2222函数函数y ex1的反函数为的反函数为y ln x 1。2323函数函数y 5sinx的最小正周期的最小正周期T 2 2。11 12424设设f x 1 x2，则，则fx12。xxx252

39、5limxn 3 nn 1 3。2111n2424。2626limn11131n39312727limxln x 0 0。x020302x 3 3x 22828limx5x 150220330。550 x 1x,2929函数函数 fxx 1,1 x 2的不连续点为的不连续点为1 1。3 x,x 2xx。n3n13131函数函数fx2的连续区间是的连续区间是,1、1,1、1,。x 13030lim3nsinax b,3232设设fx2a bx x,x 0 x 0a b 0，fx处处连续的充要条件是处处连续的充要条件是b 0 0。1,x 03333若若fx，gx sin x，复复合合函函数数fgx

40、的的连连续续区区间是间是1,x 0k,k 1，k 0,1,2。x2ax b3434若若lim 0，a，b均为常数，均为常数，则则a 1 1，b 2 2。xx 13535下列函数中哪些是偶函数，下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？哪既非奇函数又非偶函数？1919(1)(1)y x21 x2偶函数偶函数(2)(2)y 3x2 x3非奇函数又非偶函数非奇函数又非偶函数1 x2(3)(3)y 偶函数偶函数21 x(4)(4)y xx 1x 1奇函数奇函数(5)(5)y sin x cos x 1非奇函数又非偶函数非奇函数又非偶函数ax ax(6)(6)y 偶函数

41、偶函数23636若若ft 2t2255t，证明，证明ft2tt1f 。t111证：证：f 22 2t25t 5ttt ft3737求下列函数的反函数求下列函数的反函数2x(1)(1)y x2 1x解：解：y1 ln1 x(2)(2)y 1 2sinx 1x 1x 12y x 11arcsin21arcsin3838写出图写出图 1-11-1 和图和图 1-21-2 所示函数的解析表达式所示函数的解析表达式2020yy2 21 11 1xx-1-1图图1-11-1图图 1-21-22,x 0 x 1,x 0解：解：(1)(1)y(2)(2)y 1,x 0 x 1,x 0sin x,x 03939

42、设设 fxx，求，求lim fx。x01 x2,0 x 解：解：limfx limx0 x0 x0 x0sin x1x2limfx lim1 x1故故lim fx1。x012 22 n2n，求，求lim xn。4040设设xn2n3n nn 12n 11 2 nnn6 lim解：解：lim22n3n3nn2221112n 1 2n21n limn1 limnn6624141若若fx1fx x fx，求，求。lim2x0 xx21211解：解：limx x2x1x2x0 x2 x2 2xx 2x limx0 x lim 2x xx2x x2x0 23x111224242利用极限存在准则证明：利用

43、极限存在准则证明：limn2 1。nn n 2n nn211n21 n222证：证：2 2n nn n n nn n2n21，lim21，由夹逼定理知，由夹逼定理知且且lim2nn nnn 111limn222 1nn nn n 24343求下列函数的间断点，并判别间断点的类型求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)(1)y x1 x2，(2)(2)y x1 xy，(3)(3)，(4)(4)y x2x2 x解：解：(1)(1)当当x 1为第二类间断点；为第二类间断点；(2)(2)x 2均为第二类间断点；均为第二类间断点；(3)(3)x 0，为第一类断点；，为第一类断点；(4)(4)x 0,

44、1,2,，均为第一类间断点。，均为第一类间断点。x,0 x 114444设设fx,x 1，问：，问：21,1 x 2(1)(1)lim fx存在吗？存在吗？x1fx1，lim fx存在，存在，解：解：事实上事实上limfx1，lim故故lim fx1。1x1x1x1x1(2)(2)fx在在x 1处连续吗？若不连续，处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。则补充定义，使其在该点连续。2222x,0 x 1解：不连续，解：不连续，x 1为可去间断点，定义：为可去间断点，定义：f*x1,x 1，则，则1,1 x 2f*x在在x 1处连续。处连续

45、。x21,0 x 14545设设fx，x 3,x 1(1)(1)求出求出fx的定义域并作出图形。的定义域并作出图形。解：定义域为解：定义域为0,(2)(2)当当x yx0 01 11，1 1，2 2 时，时，fx连续吗？连续吗？21解：解：x，x 2时，时，fx连续，而连续，而x 1时，时，fx不连续。不连续。2(3)(3)写出写出fx的连续区间。的连续区间。解：解：fx的连续区间的连续区间0,1、1,。2,x 0,x 20 x 2，求出，求出fx的间断点，并指出是哪一的间断点，并指出是哪一4646设设fx4 x2,x 24,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。类间断点，若可去，则补

46、充定义，使其在该点连续。解：解：(1)(1)由由lim fx 4，f0 2，故，故x 0为可去间断点，改变为可去间断点，改变fx在在x 0 x0的定义为的定义为f0 4，即可使，即可使fx在在x 0连续。连续。(2)(2)由由limfx 4，limfx 0，故，故x 2为第一类间断点。为第一类间断点。x2x2(3)(3)类似地易得类似地易得x 2为第一类间断点。为第一类间断点。4747根据连续函数的性质，验证方程根据连续函数的性质，验证方程x53x 1至少有一个根介于至少有一个根介于 1 1 和和 2 2 之之间。间。验证：设验证：设fx x53x 1，易知，易知fx在在1,2上连续，且上连续

47、，且f1 3 0，f2 25 61 25 0，故，故1,2，使，使f 0。4848验证方程验证方程x2x1至少有一个小于至少有一个小于 1 1 的根。的根。2323验验证证：设设fx x2x1，易易知知fx在在0,1上上连连续续，且且f0 1 0，f11 0，故，故1,2，使，使f 0。(B)(B)1 1在函数在函数fx的可去间断点的可去间断点x0处，下面结论正确的是处，下面结论正确的是(C)C)A A函数函数fx在在x0左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个不存在B B函数函数fx在在x0左、右极限存在，但不相等左、右极限存在，但不相等C C函数函数fx在在x0左、右极限存在相等左、

48、右极限存在相等D D函数函数fx在在x0左、右极限都不存在左、右极限都不存在132 2设函数设函数fxx sin x,0,x 0，则点，则点 0 0 是函数是函数fx的的(D D)x 0A A第一类不连续点第一类不连续点B B第二类不连续点第二类不连续点C C可去不连续点可去不连续点D D连续点连续点3 3若若lim fx 0，则，则(C C)x0A A当当gx为任意函数时，有为任意函数时，有lim fxgx 0成立成立xx0B B仅当仅当lim gx 0时，才有时，才有lim fxgx 0成立成立xx0 xx0C C当当gx为有界时，能使为有界时，能使lim fxgx 0成立成立xx0D D

49、仅当仅当gx为常数时，才能使为常数时，才能使lim fxgx 0成立成立xx04 4设设lim fx及及lim gx都不存在，则都不存在，则(D D)xx0 xx0A Alimfx gx及及limfx gx一定不存在一定不存在xx0 xx0B Blimfx gx及及limfx gx一定都存在一定都存在xx0 xx0C Climfx gx及及limfx gx中恰有一个存在，而另一个不存在中恰有一个存在，而另一个不存在xx0 xx0D Dlimfx gx及及limfx gx有可能存在有可能存在xx0 xx02424x2sin5 5limx0sin x1x的值为的值为(D D)A A1 1B BC

50、C不存在不存在D D0 06 6limsin21 xx1x 1 x 22(A A)112A AB BC C0 0D D3337 7按给定的按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是的变化趋势，下列函数为无穷小量的是(C C)1A A(x)B B1 1(x )xx4 x 1x2xC C12x(x 0)D Dx(x 0)sin x8 8当当x 0时，下列与时，下列与x同阶同阶(不等价不等价)的无穷小量是的无穷小量是(B(B)A Asinx xB Bln1 xC Cx2sin xD Dex11 x21f9 9设函数设函数gx12x，fgx，则，则为为(B B)x22A A3030B B1515C