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1、弹性力学第二章第一页，讲稿共三十七页哦前面讲授的主要内容：前面讲授的主要内容：1 1、平面问题的基本物理量平面问题的基本物理量2 2、平面问题的基本方程平面问题的基本方程3 3、平面问题的边界条件平面问题的边界条件4 4、平面问题的基本内容平面问题的基本内容复习复习5 5、平面问题的基本关系平面问题的基本关系第二页，讲稿共三十七页哦基本物理量基本物理量应应 力分力分量量应变分量应变分量位移分量位移分量基基本本物物理理量量已知物理量已知物理量未知物理量未知物理量注注：基本未知量都是：基本未知量都是位置坐标的函数！位置坐标的函数！体力分量体力分量面力分量面力分量位移约束位移约束第三页，讲稿共三十七
2、页哦或或物物理理方方程程平衡微分方程平衡微分方程几几 何何 方方 程程基本方程基本方程基本方程是共性基本方程是共性!第四页，讲稿共三十七页哦边边界界条条件件应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件注意：注意：面力和应力在不同边界面上的正负号规面力和应力在不同边界面上的正负号规 定不同。定不同。记住：记住：面力面力始终沿坐标正向为正，沿坐标负向始终沿坐标正向为正，沿坐标负向 为负；为负；应力应力正面正向为正，负面负向为正面正向为正，负面负向为 正，与之相反。正，与之相反。边界条件边界条件混合边界条件混合边界条件边界条件是个性边界条件是个性!第五页，讲稿共三十七页哦平衡微分方程平衡微分方程
3、几何方程几何方程物理方程物理方程基基本本方方程程归纳与总结归纳与总结应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件混合边界条件混合边界条件边边界界条条件件3个应力分量个应力分量3个应变分量个应变分量2个位移分量个位移分量基基本本物物理理量量已知物理量已知物理量未知物理量未知物理量体体 力力面面 力力约约 束束弹弹性性力力学学问问题题中中的的基基本本内内容容第六页，讲稿共三十七页哦面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理
4、方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题中的基本关系式弹性力学问题中的基本关系式第七页，讲稿共三十七页哦新课开始.第八页，讲稿共三十七页哦第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论 至至此此，已已经经建建立立了了求求解解弹弹性性力力学学平平面面问问题题的的基基本本方方程程和和边边界界条条件件。在在给给定定的的边边界界条条件件下下，需需要要求求解
5、解由由8 8个个基基本本未未知知量量组组成成的的偏偏微微分分方方程程组组。问问题题的的实实质质和和核核心心就就是是减减少少基基本本未未知知量量的的个个数数！通通常常采采用用类类似似于于代代数数方方程程中中的的消消元元法法进进行求解。行求解。第九页，讲稿共三十七页哦2-4 2-4 基本解法基本解法基基本本解解法法位移法位移法应力法应力法是是以以位位移移分分量量为为基基本本未未知知函函数数，从从基基本本方方程程和和边边界界条条件件中中消消去去应应力力和和应应变变分分量量，导导出出只只含含位位移移分分量量的的方方程程和和边边界界条条件件。并并由由此此解解出出位位移移分分量，再求出应变分量和应力分量。
6、量，再求出应变分量和应力分量。是是以以应应力力分分量量为为基基本本未未知知函函数数，从从基基本本方方程程和和边边界界条条件件中中消消去去位位移移和和应应变变分分量量，导导出出只只含含应应力力分分量量的的方方程程和和边边界界条条件件。并并由由此此解解出出应应力力分分量，再求出应变分量和位移分量。量，再求出应变分量和位移分量。第十页，讲稿共三十七页哦位位移移解解法法物理方程物理方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程按位按位移求移求解的解的基本基本微分微分方程方程弹弹性性方方程程以平面应力问题为例以平面应力问题为例第十一页，讲稿共三十七页哦用用位位移移表表示示的的边边界界条条件件位移边界条件位移边界条
7、件应力边界条件应力边界条件弹性方程弹性方程应力表示应力表示位移位移表示表示用位移表示应力用位移表示应力第十二页，讲稿共三十七页哦本节小结本节小结按按位位移移求求解解时时，位位移移分分量量 必必须须满满足足区区域域内的基本微分方程内的基本微分方程(a)和边界条件和边界条件(b)、(c)。式式(a)、(b)、(c c)是是求求解解位位移移分分量量 的的条条件件，也是校核也是校核 是否正确的全部条件。是否正确的全部条件。对对于于平平面面应应变变问问题题，只只要要将将式式(a)、(b)、(c)中的中的E、分别作替换：分别作替换：第十三页，讲稿共三十七页哦用位移法求解图中问题的位移和应力用位移法求解图中
8、问题的位移和应力上端为连杆支承、下端自由上端为连杆支承、下端自由的杆件问题。如图的杆件问题。如图(a)所示所示，只受重力作用只受重力作用 。如如果果两两端端均均为为连连杆杆支支承承的的杆杆件件问问题题。如如图图(b)所所示示，其其结结果果又又将将如何。如何。注意：注意：为简化分析，可假设位移分量：为简化分析，可假设位移分量：习题讲解习题讲解第十四页，讲稿共三十七页哦将位移分量将位移分量 代入按代入按位移求解的位移求解的基本微分方程：基本微分方程：注意到注意到 ，可得：，可得：图图(b)中的边界条件：中的边界条件：图图(a)中的边界条件：中的边界条件：基本微分方程基本微分方程边边 界界 条条 件
9、件求解微分方程，有：求解微分方程，有：(混合边界混合边界)(应力边界应力边界)(混合边界混合边界)(混合边界混合边界)第十五页，讲稿共三十七页哦位移和应力的表达式位移和应力的表达式位位移移分分量量图图(b)中的边界条件：中的边界条件：图图(a)中的边界条件：中的边界条件：边边 界界 条条 件件(混合边界混合边界)(应力边界应力边界)(混合边界混合边界)(混合边界混合边界)应应力力分分量量弹性方程弹性方程第十六页，讲稿共三十七页哦图图(a)中的解答中的解答位位移移分分量量应应力力分分量量待待定定系系数数图图(b)中的解答中的解答第十七页，讲稿共三十七页哦讨论与延拓讨论与延拓 对于左右两个边界面，
10、其应力边界条件为：对于左右两个边界面，其应力边界条件为：根据根据(a)、(b)中的应力分量：中的应力分量：显然，仅当泊松比显然，仅当泊松比 时，左右边界条件才能时，左右边界条件才能满足，此时求得的位移与应力分量才是精确解答。满足，此时求得的位移与应力分量才是精确解答。当泊松比当泊松比 时，上述所求的位移与应力分量时，上述所求的位移与应力分量都不是精确解答，需要重新假设位移分量，有关都不是精确解答，需要重新假设位移分量，有关这一讨论将在后面进行。这一讨论将在后面进行。第十八页，讲稿共三十七页哦二、应力解法二、应力解法 取取 为基本未知函数为基本未知函数 应变与位移分量用应力分量来表示应变与位移分
11、量用应力分量来表示 应应变变分分量量物理方程物理方程(平面应力问题平面应力问题)平平衡衡方方程程用应力表示用应力表示（需保留）（需保留）第十九页，讲稿共三十七页哦几几何何方方程程消除位移消除位移物物理理方方程程平平衡衡微微分分方方程程化化简简相相容容方方程程相容方程相容方程用应变表示：用应变表示：用应力表示：用应力表示：第二十页，讲稿共三十七页哦（1 1）区域区域内的平衡微分方程：内的平衡微分方程：（2 2）区域区域内的用应力表示的相容方程：内的用应力表示的相容方程：（3 3）边界）边界 上的应力边界条件：上的应力边界条件：（4 4）对于）对于多连体多连体，还须满足，还须满足位移的单值条件。位
12、移的单值条件。按应力求解按应力求解平面应力问题平面应力问题，应力，应力 必须满足必须满足:本节小结本节小结也也是是校校核核应应力力分分量量是是否否正正确确的的全全部部条条件件第二十一页，讲稿共三十七页哦【P33习题习题2-13(a)】检验应力分量x=y2q/b2，y=xy=0是否为图示平面问题的正确解答。习题讲解习题讲解【分析】验证一组应力分量验证一组应力分量是否为给定平面问题的正确是否为给定平面问题的正确解答，需要满足的条件：解答，需要满足的条件：区域内的平衡微分方程区域内的平衡微分方程区域内的相容方程区域内的相容方程全部应力边界上的边界条件全部应力边界上的边界条件对于多连体，还需满足位移单
13、值条件对于多连体，还需满足位移单值条件显然，本例题为单连体，位移单值条件不需要验证！显然，本例题为单连体，位移单值条件不需要验证！第二十二页，讲稿共三十七页哦 尽管应力分量满足平衡微分方程和全部的应力边界尽管应力分量满足平衡微分方程和全部的应力边界条件，但它们不满足相容方程。因此，这组应力分量不条件，但它们不满足相容方程。因此，这组应力分量不是所给平面问题的正确解答。是所给平面问题的正确解答。【解】验证如下：验证如下：平衡微分方程平衡微分方程应应力力分分量量满足满足相容方程相容方程边界条件边界条件不满足不满足满足满足【结论】第二十三页，讲稿共三十七页哦归纳与总结归纳与总结弹弹性性力力学学平平面
14、面问问题题的的基基本本理理论论基基本本物物理理量量已知物理量已知物理量未知物理量未知物理量平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程物理方程物理方程基基本本方方程程应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件混合边界条件混合边界条件边边界界条条件件体体 力、面力、约束力、面力、约束应力、应变、位移应力、应变、位移位移解法位移解法应力解法应力解法基基本本解解法法应力函数解法应力函数解法第二十四页，讲稿共三十七页哦面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何
15、协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题中的基本关系式弹性力学问题中的基本关系式第二十五页，讲稿共三十七页哦1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 是否可能 成为弹性体中的应变？（体力不计）3.若 是否 可能为弹性体中的应力？思考与作业第二十六页，讲稿共三十七页哦三
16、、常体力问题的应力函数法三、常体力问题的应力函数法(2)平衡微分方程：平衡微分方程：(1)相容方程：相容方程：在在常常体体力力情情况况下下，均均为为常常数数，按按应应力力求求解解弹性力学弹性力学两类平面问题两类平面问题时，在区域内应满足的条件：时，在区域内应满足的条件：在在常常体体力力时时，平平衡衡微微分分方方程程的的全全解解可可以以直直接接导导出出。根根据据微微分分方方程程理理论论，非非齐齐次次微微分分方方程程的的全全解解是是非非齐齐次次微微分分方方程程的的特特解解和齐次微分方程的和齐次微分方程的通解通解之和。之和。第二十七页，讲稿共三十七页哦平平衡衡微微分分方方程程的的全全解解非齐次的特解
17、非齐次的特解齐次微分方程齐次微分方程艾里（艾里（Airy）在）在1862年导出年导出:齐次的通解齐次的通解非齐次的全非齐次的全 解解齐次的通解齐次的通解非齐次的特解非齐次的特解称为艾里应力函数称为艾里应力函数第二十八页，讲稿共三十七页哦存在存在存在存在艾里公式的推导艾里公式的推导第二十九页，讲稿共三十七页哦或者或者平衡平衡微分微分方程方程的全的全解解相相容容方方程程应力表示应力表示应力函数表示应力函数表示第三十页，讲稿共三十七页哦本节小结本节小结（1 1）区域内相容方程：区域内相容方程：（2 2）全部边界全部边界 上的应力边界条件上的应力边界条件（3 3）对于多连体，还需满足位移单值条件对于多
18、连体，还需满足位移单值条件 在常体力下求解两类平面问题，可转变为在常体力下求解两类平面问题，可转变为按应力函数按应力函数 求解，求解，应满足应满足:求出应力函数求出应力函数 后，于是应力分量为：后，于是应力分量为：第三十一页，讲稿共三十七页哦归纳与总结归纳与总结平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题名名 称称一般情况一般情况常体力常体力用应变表示用应变表示用应力函数表示用应力函数表示(常体力情况常体力情况)用用应应力力表表示示相容方程（或变形协调条件）的物理意义：相容方程（或变形协调条件）的物理意义：u相容方程是连续体中位移连续性的必然结果；相容方程是连续体中位移连续性的必然结果；u
19、相容方程是应变对应的位移存在且连续的必要条件。相容方程是应变对应的位移存在且连续的必要条件。第三十二页，讲稿共三十七页哦归纳与总结归纳与总结弹弹性性力力学学平平面面问问题题的的基基本本理理论论平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程物理方程物理方程基基本本方方程程应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件混合边界条件混合边界条件边边界界条条件件基基本本物物理理量量已知物理量已知物理量未知物理量未知物理量体体 力、面力、约束力、面力、约束应力、应变、位移应力、应变、位移位移解法位移解法应力解法应力解法基基本本解解法法应力函数解法应力函数解法第三十三页，讲稿共三十七页哦面力面力体力体力给定的
20、给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题中的基本关系式弹性力学问题中的基本关系式第三十四页，讲稿共三十七页哦1 1、在在常常体体力力、单单连连体体和和全全部部
21、为为应应力力边边界界条条件件下下，对于不同材料，两类平面问题的应力分量对于不同材料，两类平面问题的应力分量 是是相相同同的的。试试问问应应变变和和位位移移分分量量是是否也相同？否也相同？思考与作业2 2、对于按、对于按位移位移 求解、按求解、按应力应力求求解解和和按按应应力力函函数数 求求解解的的方方法法，试试比比较较其其未未知知函函数数应应满满足足的的方方程程和和条条件件，求求解解的的难难易易程程度度及局限性。及局限性。第三十五页，讲稿共三十七页哦【P33习题2-10】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【P33习题2-11】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？思考与作业【P33习题2-12】检验平面问题中的应力函数 是否为正确解答的条件是什么？第三十六页，讲稿共三十七页哦【p34习题216】设有任意形状的等厚度薄板，体积力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证x=y=-q及xy=0能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。【证】由于不计体力，而且x、y 和xy均为常数，因此，力平衡方程自然满足。同时，相容方程 也能得到满足。习题讲解习题讲解第三十七页，讲稿共三十七页哦