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1、第第45傅立叶变换的性傅立叶变换的性质质ysh讲稿讲稿信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例:F(j)=?解解:f(t)=f1(t)g2(t)f1(t)=12()g2(t)2Sa()F(j)=2()-2Sa()-信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 二奇偶性二奇偶性1、一般一般f(t)是实函数是实函数4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质则则R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质2、特别地、特别地f(t)为
2、实偶函数，为实偶函数，有有3、特别地、特别地f(t)为实奇函数，为实奇函数，有有则则若若f(t)=f(-t),则则X()=0,F(j)=R()若若f(t)=-f(-t),则则R()=0,F(j)=jX()信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 三、对称性三、对称性若若f(t)F(j)则：则：证明：由证明：由(1)即即F(jt)2f()F(jt)2f()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质对对(1)t，t则则（2）信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例：例：F(j)=?解：解：4.5 4
3、.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例：例：F(j)=?解：解：当当=1,4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 四、尺度变换四、尺度变换若若f(t)F(j)则则4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质证明:当当a 0,当当a 0,a为非零实常数为非零实常数.信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质当当a=-1,f(-t)F(-j)f(-t)F(-j)=F
4、*(j)称为时间倒置定理。称为时间倒置定理。信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 尺度变换意义(1)0a1时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍倍。(3)a=-1(3)a=-1 时域反转，频域也反转。时域反转，频域也反转。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例1:解解:由对称性由对称性,由尺度变换，当由尺度变换，当a=-1,则则,f(t)=F(j)=?4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 五、时移特性五、时移特性若若f(t)F(j)则则证明证明:F F f(tt0)t0为实常数为实
5、常数4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质时移性质说明，如果信号在时间域中延迟了时间时移性质说明，如果信号在时间域中延迟了时间t t0 0，其振幅频谱保持不变，相位频谱移动其振幅频谱保持不变，相位频谱移动-tt0 0。同理可得，同理可得，信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例1 若若f(t)F(j),则则f(atb)?f(tb)e-jbF(j)f(atb)或或解解:f(at)f(atb)=4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例2F(j)=?解解:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)g2(t
6、-5)F(j)=+4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例3：求图求图(a)所示三脉冲信号的频谱。所示三脉冲信号的频谱。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质解：单矩形脉冲解：单矩形脉冲 的频谱为的频谱为信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 若有若有N N个波形相同的脉冲个波形相同的脉冲(N(N为奇数，中间一个位于原为奇数，中间一个位于原点点)，其间隔为，其间隔为T T，则其频谱函数为，则其频谱函数为 脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。
7、脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。为单个脉冲的频谱函数。为单个脉冲的频谱函数。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 六、频移特性六、频移特性(调制特性调制特性)若若f(t)F(j),则则证明证明:=Fj(-0)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质同理同理F F ej0tf(t)0为实常数为实常数信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例2：已知：已知f(t)F(j)，求信号求信号ej4tf(3-2t)的傅立叶变换的傅立叶变换解解:f(t+3)F(j)ej3由频移特性，由频移特性，4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的
8、性质例例1:f(t)=ej3tF(j)=?解解:12()ej3t12(-3)信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 调制原理调制原理 调制调制将信号频谱搬移到任何所需的较高频率将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。范围的过程。待传输的信号，称为调制信号待传输的信号，称为调制信号 运载运载 的高频振荡信号称为载波。的高频振荡信号称为载波。为经调制后的高频信号称为已调波。为经调制后的高频信号称为已调波。调制特性调制特性 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 可可见见，当当用用低低频频信信号号f(t)f(t)去去调调制制角角频频率率为为0
9、 0的的高高频频余余弦弦(或或正正弦弦)信信号号时时，在在频频域域上上相相当当于于把把f f(t t)的的频频谱谱F F(j(j)平平移移到到0 0处处，形形状状保保持持不不变变，只只是是幅幅度度减减小小一一半半；在在时时域域上上相相当当于于形形成成了了一一个个幅幅度度随随f f(t t)变变化化而变化的振荡信号。这个特性被称为而变化的振荡信号。这个特性被称为调制特性调制特性。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例：已知调幅信号例：已知调幅信号 解：解：4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Y信号与线性系统第4章 连续系统的频域分
10、析 yY4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 七、卷积定理七、卷积定理时域卷积：时域卷积：若若f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)则则f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)频域卷积：频域卷积：若若f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质时域卷积定理的证明时域卷积定理的证明信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 频域卷积定理的证明频域卷积定理的证明4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质
11、信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例解解:已知已知4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分若若f(t)F(j)则则证明证明:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 f(-1)(t)=(t)*f(t)时域积分性质多用于时域积分性质多用于的情况。的情况。f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)nF(j)信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 f(t)=1/t2?例例1:解解:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例2若若f(t)F
12、1(j)则则f(t)F1(j)+f(-)+f()()证明证明则则总结总结:若若f(n)(t)Fn(j)，andf(-)+f()=0则则f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 例例3已知已知f(t)F(j)解解:f”(t)=(t+2)2(t)+(t2)F2(j)=F F f”(t)=ej22+ej2=2cos(2)2F(j)=注意注意:d(t)/dt=(t)1(t)1/(j)信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分若若f(t)F(j)则则(jt)f(t)F(1)(j)1、频域微分、频域微分证明：证明：(jt)nf(
13、t)F(n)(j)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 式中，式中，2、频域积分、频域积分若若，则有若f(t)F(j)则4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 由频域微分特性由频域微分特性,例例1：求斜升信号：求斜升信号f(t)=t(t)的频谱函数的频谱函数。解解:4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质思考思考:求求f(t)=|t|的频谱函数的频谱函数。信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 十、相关定理十、相关定理若若f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)，f(t)F(j)则
14、则FR12()=F1(j)F2*(j)FR21()=F1*(j)F2(j)FR()=|F(j)|2相关定理：描述相关函数的傅立叶变换。相关定理：描述相关函数的傅立叶变换。回顾实函数回顾实函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数的互相关函数相关定理证明相关定理证明R12(t)=f1(t)*f2(t)R21(t)=f1(t)*f2(t)定义定义相关函数与卷积积分的关系相关函数与卷积积分的关系4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 相关定理证明相关定理证明利用相关函数与卷积积分的关系利用相关函数与卷积积分的关系R12()=f1()*f2()FR12()=Ff1()*f2()=Ff1()Ff2()由于由于Ff2()=F2(j)=F2*(j)故故 FR12()=F1(j)F2*(j)同理：同理：FR21()=F1*(j)F2(j)FR()=|F(j)|2f(t)的的自相关函数的频谱等于原信号自相关函数的频谱等于原信号f(t)幅度谱的平方。幅度谱的平方。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与线性系统第4章 连续系统的频域分析 P204:4.18(2)(4);4.20偶数偶数;4.21偶数偶数4.23（2）作业作业