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1、关于空间两直线的位置关系PPT第1页，讲稿共43张，创作于星期二教学目的教学目的1.1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系号语言表示三种位置关系.2.2.理解公理四理解公理四,并能运用公理四证明线线平行并能运用公理四证明线线平行.3 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；4.4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些
2、较特殊的异面直线所成的角概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角第2页，讲稿共43张，创作于星期二复习引入：复习引入：1 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？2 2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？直线有什么位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行互相平行提出问题：空间中的两条直线呢？提出问题：空间中的两条直线呢？第3页，讲稿共43张，创作于星期二1.1.空间中两条直线的位置关
3、系空间中两条直线的位置关系观察：观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的左右两侧所在的直线,想一想想一想:它们相它们相交吗交吗?平行吗平行吗?共面吗共面吗?观察上方体的棱所在观察上方体的棱所在直线直线,回答类似的问题回答类似的问题.思考：思考：我们把具有上述特征的两条直我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？线取个怎样的名字才好呢？第4页，讲稿共43张，创作于星期二异面直线的定义异面直线的定义:我们把我们把不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的的两条直线叫两条直线叫做异面直线（做异面直线（skewskewlineslines
4、）。）。想一想想一想:怎样通过图形来表示异面直线怎样通过图形来表示异面直线?为了表示异面直线为了表示异面直线a a，b b不共面的特点，作图时，不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。通常用一个或两个平面衬托。如下图如下图:第5页，讲稿共43张，创作于星期二想一想想一想,做一做：做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的点，上的点，那么那么MNMN与与ABAB所在的直线是异面直线吗所在的直线是异面直线吗？第6页，讲稿共43张，创作于星期二2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还下图是一个正方体的展开图，如果将它还
5、原成正方体，那么原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条这四条线段所在直线是异面直线的有几对？线段所在直线是异面直线的有几对？想一想想一想,做一做：做一做：HGFEDCBA三对三对AB与与CDAB与与GHEF与与GH3.第7页，讲稿共43张，创作于星期二空间两条直线的位置关系有且只有三种空间两条直线的位置关系有且只有三种平平行行相相交交异面异面位置关位置关系系公共点个公共点个数数是否共是否共面面没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系第8页，讲稿共43张，创作于星期二2.2.空间两平行直线空间两平行直线提出问题：在同一平面
6、内，如果两条直线都与第提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？间中，是否有类似的规律？平行平行吗吗?中中,观观察察：如如图图2.1.2-5,长长方体方体与与那么那么DD AABB AA第9页，讲稿共43张，创作于星期二公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行具有传递性平行具有传递性，在平面、空间这，在平面、空间这个性质都适用。个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行的依据。判断空间两条
7、直线平行的依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中的三条直线分别为设空间中的三条直线分别为a,b,c,若若想一想想一想:空间中空间中,如果两条直线都与第三条直线垂如果两条直线都与第三条直线垂直直,是否也有类似的规律是否也有类似的规律?第10页，讲稿共43张，创作于星期二例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析：欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只只需证需证EHFG且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连
8、结连结BD,只只需证：需证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC第11页，讲稿共43张，创作于星期二例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD第12页，讲稿共43张，创作于星期二变式一：变式一：在例在例2中，如果再加上条件中
9、，如果再加上条件AC=BD，那么，那么四边形四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2的基础上我的基础上我们只需要证明平行四边们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。形的两条邻边相等。菱形菱形第13页，讲稿共43张，创作于星期二变式二：变式二：空间四面体空间四面体A-BCD中中,E,H分别是分别是AB,AD的中点的中点,F,G分别是分别是CB,CD上的点上的点,且且 ，求证求证:四边形四边形ABCD为梯形为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形分析：需要证明四边形ABCD有有一组对边平行，但不相等。一组对边平行，但不相等。第14页，讲稿共43张，创作于星期
10、二3.3.等角定理等角定理提出问题提出问题:在平面上在平面上,我们容易证明我们容易证明“如果一个角的两如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补或互补”。在空间中。在空间中,结论是否仍然成立呢结论是否仍然成立呢?观察思考：如图观察思考：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？如何？第15页，讲稿共43张，创作于星期二3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么空间中如果两个角的两边分别对应平
11、行，那么这两个角相等或互补。这两个角相等或互补。第16页，讲稿共43张，创作于星期二3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。么这两个角相等或互补。定理的推论定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行线分别平行,那么这两条直线所成的锐角那么这两条直线所成的锐角(或直或直角角)相等相等.第17页，讲稿共43张，创作于星期二4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角如图，已知两条异面直线如图，已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直
12、线aaaa，bbbb，我们把，我们把aa与与bb所成的锐角所成的锐角（或直角）叫做异面直线（或直角）叫做异面直线a a，b b所成的角（或夹角）。所成的角（或夹角）。为了简便，点为了简便，点O O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线线b b上，然后经过点上，然后经过点O O作直线作直线aaaa，aa和和b b所成的锐角（或所成的锐角（或直角）就是异面直线直角）就是异面直线a a与与b b所成的角。所成的角。想一想想一想:a:a与与bb所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置有关吗的位置有关吗?第18页，讲稿共43张，创作于星期二4.4.
13、异面直线所成的角异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，就如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作说两条直线互相垂直，记作abab。第19页，讲稿共43张，创作于星期二5.5.异面直线的判定定理异面直线的判定定理异面直线定理：异面直线定理：连结平面内一点与连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线不经过此点的直线是异面直线与与是异面直线是异面直线第20页，讲稿共43张，创作于星期二例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直
14、线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判定）由异面直线的判定方法可知，与直线方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，第21页，讲稿共43张，创作于星期二例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？
15、的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知，等于异面直线等于异面直线与与 的夹角的夹角,所以异面直线所以异面直线 与与 的夹角为的夹角为45450 0。(3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.第22页，讲稿共43张，创作于星期二【例3】空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个
16、三角形中求解第23页，讲稿共43张，创作于星期二解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EGAB，GFCD，且由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.第24页，讲稿共43张，创作于星期二由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.第25页，讲稿共43张，创作于星期二(1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平
17、移，中位线平移，补形平移(2)求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角.求异面直线的方法求异面直线的方法第26页，讲稿共43张，创作于星期二第27页，讲稿共43张，创作于星期二答案：C 第28页，讲稿共43张，创作于星期二【例4】长方形ABCDA1B1C1D1中，AB8，BC6，在线段BD，A1C1上各有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PMMQ，则M点的轨迹图形的面积为_创新题型创新题型第29页，讲稿共43张，创作于星期二答案：24 第30页，讲稿共43张，创作于星期二变式迁移4 在正方体ABCDA1B1C1
18、D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条第31页，讲稿共43张，创作于星期二解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的如下图：答案：D第32页，讲稿共43张，创作于星期二1刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图(特别是截面图
19、)的训练，可加深对公理的掌握与理解其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据规律总结规律总结第33页，讲稿共43张，创作于星期二2注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点3异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求第34页，讲稿共43张，创作于星期二4平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确如：“过直线
20、外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在空间就不正确而有些命题推广到空间还是正确的，如平行线的传递性及关于两角相等的定理等所以将空间图形问题类比平面图形问题是本章复习的重要方法，如(1)公理4是平面内平行传递性的推广；(2)等角定理是由平面图形推广到空间图形；(3)从直线与直线、直线与平面的位置关系，类比联想平面与平面的位置关系；(4)两个平面互相垂直与两条直线互相垂直概念的类比第35页，讲稿共43张，创作于星期二练一练练一练,巩固新知：巩固新知：P48P48页练习页练习1,21,2题。题。例例3:3:如图，如图，是平面是平面外的一点外的一点分别是分别是的重心
21、，的重心，求证：求证：。证明：连结证明：连结 分别交分别交 于于 ,连结连结 ,G,HG,H分别是分别是ABC,ACDABC,ACD的重心的重心,M,N,M,N分别是分别是BC,CDBC,CD的中点的中点,MN/BD,MN/BD,又又 GH/MN,GH/MN,由公理由公理4 4知知GH/BD.GH/BD.第36页，讲稿共43张，创作于星期二练习反馈：练习反馈：1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线）过直线外一点，有且只
22、有一条直线与已知直线平行平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（那么这两个角相等（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）第37页，讲稿共43张，创作于星期二练习反馈：练习反馈：2 2选择题选择题（1 1）“a a，b b是异面直线是异面直线”是指是指a ab b=,=,且且a a
23、不平行于不平行于b b；a a 平面平面a a，b b 平面平面b b且且a ab b=a a 平面平面a a，b b 平面平面a a不存在平面不存在平面a a，能使能使a aaa且且b baa成立成立上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（）（A A）（B B）（C C）（D D）（2 2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有异面直线有（）（A A）2 2对对 （B B）3 3对对（C C）6 6对对（D D）1212对对C CC C第38页，讲稿共43张，创作于星期二（3 3）两条直线）两条直线a a,b b分别和异面直线分别和异面直线
24、c c,d d都相交，则直都相交，则直线线a a，b b的位置关系是（的位置关系是（）（A A）一定是异面直线）一定是异面直线（B B）一定是相交直线）一定是相交直线（C C）可能是平行直线）可能是平行直线 （D D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可能是相交直线（4 4）一条直线和两条异面直线中的一条平行）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和则它和另一条的位置关系是另一条的位置关系是()()（A A）平行）平行（B B）相交）相交（C C）异面）异面（D D）相交或异面）相交或异面3 3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，
25、还可能异面答：不一定，还可能异面D DD D第39页，讲稿共43张，创作于星期二4.4.垂直于同一直线的两条直线垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面答：三种：相交，平行，异面5 5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（线使它们成为（1 1）平行直线；（）平行直线；（2 2）相交直线；）相交直线；（3 3）异面直线）异面直线第40页，讲稿共43张，创作于星期二6 6选择题选择题（1 1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是是（）（A A）异面）异面（
26、B B）平行）平行（C C）相交）相交（D D）以上都有可能）以上都有可能（2 2）异面直线）异面直线a a,b b满足满足aaaa,bbbb,a ab b=l,l,则则l l与与a,b的位置关系一定是（的位置关系一定是（）(A A)l l至多与至多与a a，b b中的一条相交中的一条相交;(B)lB)l至少与至少与a，b中的一条相交中的一条相交;(C)(C)l l与与a,ba,b都相交都相交;(D)l(D)l至少与至少与a，b中的一条平行中的一条平行.D DB B第41页，讲稿共43张，创作于星期二（3 3）两异面直线所成的角的范围是）两异面直线所成的角的范围是（）（A A）（）（0,900,90）（B B）0,90)0,90)（C C）（）（0,900,90（D D）0,900,907 7判断下列命题的真假，真的打判断下列命题的真假，真的打“”“”，假的打，假的打“”（1 1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行线平行（）（2 2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变角不变（）（3 3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）C C第42页，讲稿共43张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第43页，讲稿共43张，创作于星期二