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1、幂函数与方程第一页，讲稿共三十五页哦自然对数的奥秘自然对数的奥秘自然对数又称“双曲对数”。以超越数e e11/1!1/1!1/2!1/2!1/3!1/3!2.718282.71828为底的对数。用记号为底的对数。用记号“ln”表示。有自然对数表可查。第二页，讲稿共三十五页哦超越数超越数超越数超越数：不能满足任何整系数：不能满足任何整系数：不能满足任何整系数：不能满足任何整系数代数方程代数方程代数方程代数方程的实数的实数的实数的实数 超越数超越数最先得出3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出小数后七位准确值的是我国
2、的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算值，通过262边形计算到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算值到39位小数，这是利用古典方法计算值的最重要尝试。值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因
3、子表便得到了最有价值的充分的运用在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家布封做过一个“小针实验小针实验小针实验小针实验”：先在桌上铺一张带有平行横线的纸，相邻横线距离为2cm，再准备很多长为1cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近！，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。第三页，讲稿共三十五页哦第四页，讲稿共三十五页哦 e=:e=:2.718282.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 9
4、5749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 5
5、5170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 2
6、8869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 8
7、4875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 7
8、4501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 7
9、0263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 8
10、8459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 0
11、5958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139 e的小数点后两千位第五页，讲稿共三十五页哦两者的关系：指数函数与对数函数互为两者的关系：指数函数与对数函数互为反函数，其图
12、像关于直线反函数，其图像关于直线y=xy=x对称。对称。函数函数 y=(ay=(a0,0,且且a1)a1)叫做指数函数叫做指数函数,其其中中x x是自变量是自变量,函数的定义域是函数的定义域是R R.函数函数 y=(ay=(a0,0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数,其其中中x x是自变量是自变量,函数的定义域是（函数的定义域是（0,+0,+）.1.定义第六页，讲稿共三十五页哦反函数：反函数：一般地，如果一般地，如果一般地，如果一般地，如果x x与与与与y y关于某种对应关系关于某种对应关系关于某种对应关系关于某种对应关系f f（x x）相对应，）相对应，）相对应，）相对应，y=f y
13、=f（x x）。则）。则）。则）。则y=fy=f（x x）的反函数为）的反函数为）的反函数为）的反函数为y=f-1y=f-1（x x）。）。）。）。【反函数的性质反函数的性质反函数的性质反函数的性质】（1 1）互为反函数的两个函数的图象关于直线）互为反函数的两个函数的图象关于直线）互为反函数的两个函数的图象关于直线）互为反函数的两个函数的图象关于直线y yx x对称；对称；对称；对称；（2 2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；）函数存在反函数的充要条
14、件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3 3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4 4）一般的偶函数一定不存在反函数）一般的偶函数一定不存在反函数）一般的偶函数一定不存在反函数）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数但一种特殊的偶函数存在反函数但一种特殊的偶函数存在反函数但一种特殊的偶函数存在反函数,例例例例f f（x x）=a=a（x=0 x=0）它的反函数是）它的反函数是）它的反函数是）它的反函数是f f（x x）=0=0
15、（x=ax=a）这是一种极特殊的函数）这是一种极特殊的函数）这是一种极特殊的函数）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于，奇函数不一定存在反函数。关于，奇函数不一定存在反函数。关于，奇函数不一定存在反函数。关于y y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5 5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数）严格增（减
16、）的函数一定有严格增（减）的反函数）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理反函数存在定理反函数存在定理反函数存在定理】。（6 6）反函数是相互的）反函数是相互的）反函数是相互的）反函数是相互的（7 7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）(8)(8)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）第七页，讲稿共三十五页哦对数函
17、数的运算1 第八页，讲稿共三十五页哦yy 2xylog2x 1 2 3 4 5 6 7 88 7654321-3 -2 -1-1-2-3互为反函数的两个互为反函数的两个函数图像关于直线函数图像关于直线 yx 对称对称第九页，讲稿共三十五页哦4 图 象 性 质a10a1)x(0,1)y=10y=ax(0a1)定 义 域:值 域:必过 点：在 R 上是在 R 上是R(0,+)(0,1),即 x=0 时,y=1.增增函数减减函数当当x0时时,0y0时时,y1当当x0时时,0y1当当x1第十页，讲稿共三十五页哦 图 象 性 质a10a1对数函数x定 义 域:值 域:必过 点：在(0,+)上是在(0,+
18、)上是R(0,+)(1,0),即 x=1时,y=0.增增函数减减函数xyo(1,0)xyo（1,0)当当0 x1时，时，y1时，时，y0当当0 x1时，时，y1时，时，y0第十一页，讲稿共三十五页哦化、生化、生授课授课体现体现性性 质质 图图象象对数函数对数函数y=log a x(a0,a1)指数函数指数函数y=ax(a0,a1)(4)a1时时,x0,0y0,y1 0a1时时,x1;x0,0y1时时,0 x1,y1,y0 0a1时时,0 x0;x1,y1时时,在在R上是上是增函数增函数；0a1时时,在在(0,+)是是增函数增函数；0a1)y=ax(0a1)y=logax(0a1)xyo1返回第
19、十二页，讲稿共三十五页哦幂函数的概念幂函数的概念形如形如 （xRxR）的函数称为幂函数）的函数称为幂函数,变量变量x x的系数为的系数为1,1,指数指数是一个常数是一个常数,严格按这个标准严格按这个标准来判断来判断.例如：判别下列函数中有几个幂函数？例如：判别下列函数中有几个幂函数？y=;y=2 ;y=+x;y=-.y=;y=2 ;y=+x;y=-.解：解：的底数是变量的底数是变量,指数是常数指数是常数,因此因此是幂函数是幂函数;的变的变量系数为量系数为2,2,因此不是幂函数因此不是幂函数;的变量是和的形式的变量是和的形式,因此也不是幂函数因此也不是幂函数;的变量的变量x3x3的系数为的系数为
20、-1,-1,因此不是幂函数因此不是幂函数.第十三页，讲稿共三十五页哦1函数函数 性性质质y=xy=x2y=x3y=x-1定定义义域域值值域域奇偶性奇偶性单调单调性性特殊点特殊点图图象分布象分布第十四页，讲稿共三十五页哦幂函数集中营幂函数集中营1y=x 函数函数 性性质质 y=xy=x2y=x3y=x-1定定义义域域RRRx|x0 x|x0值值域域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶性奇奇奇奇奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调单调性性在第在第象限象限单调递单调递增增在第在第象限象限单调递单调递增增在第在第象限象限单调递单调递增增在第在第象限象限单调递单调递增增在第在第象限象限单调递单调递增增特殊点特
21、殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)图图象分布象分布第第、象限象限第第、象象限限第第、象象限限第第象限象限第第、象象限限第十五页，讲稿共三十五页哦幂函数y=的图像.1第十六页，讲稿共三十五页哦幂函数y=的性质.（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a0)（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。（3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。（5）显然幂函数无界限。（6）a=0,该函数为偶函数 x|x0。第十七页，讲稿共三十五页哦？你知道函数的凹凸性吗设f为定义在区间上的
22、函数，若对上的任意两点，和任意的实数（，），总有则f称为上的下凸函数（反之为上凸函数）.第十八页，讲稿共三十五页哦神秘的等幂和问题神秘的等幂和问题第十九页，讲稿共三十五页哦谜底揭开谜底揭开恒等式:第二十页，讲稿共三十五页哦二次函数与一元二次方程第二十一页，讲稿共三十五页哦反过来，也可利用二次函数的图象反过来，也可利用二次函数的图象 求一元二次方程的解。求一元二次方程的解。二次函数二次函数y=ax+bx+c y=0一元二次方程一元二次方程ax+bx+c=0两根为两根为x1=m；x2=n函数与函数与x轴交点坐标为：轴交点坐标为：（m，0）；（）；（n，0）第二十二页，讲稿共三十五页哦二次函数应用题
23、第二十三页，讲稿共三十五页哦问题问题2 2：如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处处处处A A A A（0 0 0 0，1.251.251.251.25），水流路线最高处），水流路线最高处），水流路线最高处），水流路线最高处B B B B（1 1 1
24、1，2.252.252.252.25），则该抛物线），则该抛物线），则该抛物线），则该抛物线的表达式为的表达式为的表达式为的表达式为 。如果不考虑其他因素，那么水如果不考虑其他因素，那么水如果不考虑其他因素，那么水如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要池的半径至少要池的半径至少要池的半径至少要_米，才能使喷出的水流不致落到池外。米，才能使喷出的水流不致落到池外。米，才能使喷出的水流不致落到池外。米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=y=(x-1)(x-1)22+2.25+2.252.52.52.5Y YY O xO xO xB(1,2.25)B(1,2.25)B(1,2.25)(0,1.25
25、)(0,1.25)(0,1.25)A AA第二十四页，讲稿共三十五页哦篮球第二十五页，讲稿共三十五页哦例例1.如图，一位运动员在距篮下如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到已知篮筐中心到地面的距离地面的距离3.05m,问球出手时离地面多高时才能问球出手时离地面多高时才能中？中？球的出手点球的出手点A的横坐标为的横坐标为-2.5，将，将x=-2.5代入抛代入抛物线表达式得物线表达式得y=2.25,即当出手高度为即当出手高度为2.2
26、5m时，才能投中时，才能投中。xy2.5m4m3.05ABCO3.5解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和高点和球篮的坐标分别为球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c 设所求的二次函数的表达式为设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.将点将点B和点和点C的坐标代入，得的坐标代入，得 解得解得a=-02c=3.5该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5第二十六页，讲稿共三十五页哦“二次函数应用”的思路 1.理解问题理解问题;2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以
27、及它们之间的关系以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出用数学的方式表示出变量和常量变量和常量之间的关系之间的关系;4.解题求解解题求解;5.检验结果的合理性检验结果的合理性.实际问题抽象转化数学问题数学问题运用数学知识问题的解问题的解第二十七页，讲稿共三十五页哦函数与简单逻辑函数与简单逻辑第二十八页，讲稿共三十五页哦 解析解析 第二十九页，讲稿共三十五页哦再回首，知识是否依旧熟悉集合的概念集合的概念一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.元素
28、与集合的关系：元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。第三十页，讲稿共三十五页哦集合的分类集合的分类:并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作AB（或BA），读作“A并B”（或“B并A”），即AB=x|xA,或xB 交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AB（或BA），读作“A交B”（或“B交A”），即AB=x|xA,且xB无限集有限集第三十一页，讲稿共三十五页哦集合元素的性质：集合元素的性质：1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
29、这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。3.无序性：a,b,cc,b,a是同一个集合。4.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x|x2，集合A 中所有的元素都要符合x2，这就是集合纯粹性。5.完备性：仍用上面的例子，所有符合x2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。第三十二页，讲稿共三十五页哦集合的表示方法：集合的表示方法：1.列举法常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来
30、写在大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3，2.描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|P（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于的正实数组成的集合表示为：x|0 x3.图式法（Venn图）为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。4.自然语言第三十三页，讲稿共三十五页哦函城攻略函数PK映射的概念函数的三要素：定义域、值域、对应法则函数的三基性：对称性、单调性、奇偶性常用函数：幂函数、指数函数、对数函数分段函数知多少？第三十四页，讲稿共三十五页哦从来不曾离开。从来不曾离开从来不曾离开第三十五页，讲稿共三十五页哦