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1、数学建模课件规划数学建模课件规划理论及模型理论及模型第1页，此课件共45页哦 事实上，客观世界中的问题许多是非线性的，事实上，客观世界中的问题许多是非线性的，给予线性大多是近似的，是在作了科学的假设和简给予线性大多是近似的，是在作了科学的假设和简化后得到的化后得到的.为了利用线性的知识，许多非线性问为了利用线性的知识，许多非线性问题常进行线性化处理题常进行线性化处理.但在实际问题中，有一些是但在实际问题中，有一些是不能进行线性化处理的，否则将严重影响模型对实不能进行线性化处理的，否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型际问题近似的可依赖型.第2页，此课件共45页哦 由于非线性规划问题在计算上
2、常是困难的，理由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论形式和全面透彻的结论.这点又限制了非线性规划的这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划划.第3页，此课件共45页哦非线性规划问题的标准形式为：非线性规划问题的标准形式为：第4页
3、，此课件共45页哦非线性规划模型按约束条件可分为以下三类：非线性规划模型按约束条件可分为以下三类：无约束非线性规划模型：无约束非线性规划模型：等式约束非线性规划模型：等式约束非线性规划模型：第5页，此课件共45页哦 不等式约束非线性规划模型：不等式约束非线性规划模型：1)1)无约束的非线性规划问题无约束的非线性规划问题.针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基本针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基本思路可归纳如下：思路可归纳如下：第6页，此课件共45页哦第7页，此课件共45页哦第8页，此课件共45页哦 在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作用，而在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作用
4、，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好坏的重要因素当搜索方向确定后，步长又是决定算法好坏的重要因素.非线性规划只含一个变量，即一维非线性规划可以用一维非线性规划只含一个变量，即一维非线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，一维搜索方法主要有进退法和黄金搜索方法求得最优解，一维搜索方法主要有进退法和黄金分割法分割法.二维的非线性规划也可以像解线性规划那样二维的非线性规划也可以像解线性规划那样用图形求解用图形求解.对于二维非线性规划，使用搜索方法是对于二维非线性规划，使用搜索方法是要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降法法.第9页，此课件共45
5、页哦2)2)只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题求解求解.3)3)具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复杂，具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性逼近的方法将将约束问题化为无约束问题，用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规划问题非线性规划问题化为线性规划问题.下面介绍一个简单的非线性规划问题的例下面介绍一个简单的非线性规划问题
6、的例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线性子，其中的一些约束条件是等式，这类非线性规划问题可用拉格朗日方法求解规划问题可用拉格朗日方法求解.第10页，此课件共45页哦 例7（石油最优储存方法）有一石油运输公司，为了（石油最优储存方法）有一石油运输公司，为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间减少开支，希望作了节省石油的存储空间.但要求存储但要求存储的石油能满足客户的要求的石油能满足客户的要求.为简化问题，假设只经营为简化问题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义如表两种油，各种符号表示的意义如表4 4所示所示.其中供给率其中供给率指石油公司供给客户的速度指石油公司供给客户的速度.第11页，此
7、课件共45页哦表表4 4 各种符号表示意义表各种符号表示意义表第i种油的存储量第i种油的价格第i种油的供给率第i种油的每单位的存储费用第i种油的每单位的存储空间总存储公式第12页，此课件共45页哦由历史数据得到的经验公式为由历史数据得到的经验公式为 :且提供数据如表且提供数据如表5 5所示：所示：第13页，此课件共45页哦表表5 5 数据表数据表已知已知总总存存储储空空间间第14页，此课件共45页哦代入数据后得到的模型为：代入数据后得到的模型为：模型求解：模型求解：拉格朗日函数的形式为：拉格朗日函数的形式为：第15页，此课件共45页哦即即:对对 求各个求各个变变量的偏量的偏导导数，并令它数，并
8、令它们们等于零，等于零，得得:第16页，此课件共45页哦解这个线性方程组得：解这个线性方程组得：从而可得最小从而可得最小值值是是 .第17页，此课件共45页哦6 6、多目标规划模型、多目标规划模型 在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高要燃料最省，还要精度最高.这一类问题统称为多目这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题标最优化问题或多目标规划问题.我们先来看一个生我们先来看一个生产计划的例子产计划的例子.第18页，此课件共4
9、5页哦第19页，此课件共45页哦第20页，此课件共45页哦第21页，此课件共45页哦第22页，此课件共45页哦第23页，此课件共45页哦第24页，此课件共45页哦第25页，此课件共45页哦第26页，此课件共45页哦第27页，此课件共45页哦第28页，此课件共45页哦第29页，此课件共45页哦第30页，此课件共45页哦第31页，此课件共45页哦第32页，此课件共45页哦第33页，此课件共45页哦我们希望购买我们希望购买DVDDVD的总数量最小，即的总数量最小，即:由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划模型由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划模型如下：如下：第34页，此课件共45页哦第35页
10、，此课件共45页哦第36页，此课件共45页哦第37页，此课件共45页哦第38页，此课件共45页哦表表6 6 当当 时最小购买量的时最小购买量的 值值DVD编号D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少购买量14211724121719212214DVD编号D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少购买量18181717172418161823DVD编号D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少购买量20182214181715121624DVD编号D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少购买量192220
11、19222213171717DVD编号D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少购买量32201621221620152020第39页，此课件共45页哦续上表DVD编号D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少购买量24171917191819172021DVD编号D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70最少购买量16191920171917212019DVD编号D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少购买量21221520151412171917DVD编号D81D82D83D84D85D86D87D88D
12、89D90最少购买量18101412211322151317DVD编号D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少购买量24171514251522201122第40页，此课件共45页哦 我们利用规划模型求得每种我们利用规划模型求得每种DVDDVD的购买量后，需要对其进的购买量后，需要对其进行可行性校验，测试此结果是否可以满足一个月内比例行可行性校验，测试此结果是否可以满足一个月内比例为为95%95%的会员得到他想看的的会员得到他想看的DVDDVD，且具有尽可能大的总体，且具有尽可能大的总体满意度满意度.第41页，此课件共45页哦校验方法：校验方法：（一）根据订单和求得的
13、（一）根据订单和求得的DVDDVD购买数量，利用问题二购买数量，利用问题二的规划模型进行第一次分配，对分配情况：租赁的会员，的规划模型进行第一次分配，对分配情况：租赁的会员，DVDDVD的分配情况，剩余的各种的分配情况，剩余的各种DVDDVD数量作记录；同时将数量作记录；同时将已租赁的会员在满意指数矩阵的指数全变为已租赁的会员在满意指数矩阵的指数全变为0 0，即不考，即不考虑对其进行第二次分配虑对其进行第二次分配.（二）随机从第一次得到（二）随机从第一次得到DVDDVD的会员中抽取的会员中抽取60%60%，将这，将这部分人所还回的部分人所还回的DVDDVD与第一次分配余下的与第一次分配余下的D
14、VDDVD合在一起，作合在一起，作为第二次分配时各种为第二次分配时各种DVDDVD的现有量的现有量.然后，利用问题二的然后，利用问题二的0-10-1线性规划模型对第一次未分配到线性规划模型对第一次未分配到DVDDVD的会员进行第二的会员进行第二次分配；次分配；第42页，此课件共45页哦 （三）统计出经过两次分配后，得到（三）统计出经过两次分配后，得到DVDDVD的会员的比的会员的比例，若大于例，若大于95%95%，则此次分配成功，则此次分配成功.利用这种算法进行利用这种算法进行多次随机模拟，若大多数情况下可以使得到多次随机模拟，若大多数情况下可以使得到DVDDVD的会的会员大于员大于95%95
15、%，则认为模型三是合理的，则认为模型三是合理的.第43页，此课件共45页哦校验结果：校验结果：因为每次检验需时约因为每次检验需时约1 1小时，我们只对问题三求得的小时，我们只对问题三求得的结果进行了结果进行了7 7次模拟，其中次模拟，其中6 6次符合要求（观看比例大次符合要求（观看比例大于于95%95%）.下面给出下面给出7 7次模拟得到的观看比例（表次模拟得到的观看比例（表7 7）：）：表表7 77 7次模拟结果每次的观看比例列表次模拟结果每次的观看比例列表验证次数1234567观看比例95.896.693.495.395.996.195.7第44页，此课件共45页哦再见再见第45页，此课件共45页哦