《2022年高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线面垂直 学问点1.直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直 . 2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. . 判定定理：假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面. 性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线
2、的射影垂直,那么它和这条斜线垂直 . 逆定理：在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直 . 题型示例【 例 1】如下列图,已知点S 是平面 ABC 外一点,ABC=90 , SA平面 ABC,点 A 在直线 SB 和 SC 上的射影分别为点 E、F,求证： EFSC. 【 解前点津 】用分析法查找解决问题的途径,假设EF SC成立,结合 AFSC 可推证 SC平面 AEF,这样SCAE,结合 AESB,可推证 AE平面 SBC,因此证明AE平面 SBC 是解决此题的关键环节.由题设 SA平面 ABC,ABC=90 ,可以推证BCAE,结合 AES
3、B 完成 AE平例 1 题图面 SBC 的证明 . 【 规范解答 】【 解后归纳 】题设中条件多,图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a【 例 2】已知： MN=AB,PQM 于 Q,PO N 于 O,ORM 于 R,求证： QRAB. 【 解前点津 】由求证想判定, 欲证线线垂直, 方法有（1）a b,acbc;2a ,bb;3 三垂线定理及其逆定理. 、由已知想性质,知线面垂直,可推出线线垂直或线线平行. 【 解后归纳 】处于特
4、别规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题,要抓住“ 一个面”“ 四条线”. 所谓“ 一个面”：就是要确定一个垂面,三条垂线共处于垂面之上 . 所谓“ 四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线,这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身,应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影,寻第四条线 . 【 例 3】已知如图 1所示,矩形纸片 AAA1A1,B、C、B1、C1 分别为 AA,A1A 的三等分点,将矩形纸片沿 BB1,CC1 折成如图 2外形（正三棱柱） ,如面对角线 AB1BC1,求证 :A1CAB1. 例 3 题图解 1 名师归纳总结 - -
5、 - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【 解前点津 】题设主要条件是 AB1BC,而结论是 AB1A1C,题设,题断有对答性,可在ABB1A1上作文章,只要取 A1B1 中点 D 1,就把异面直线 AB1 与 BC 1 垂直关系转换到 ABB 1A1同一平面内 AB1 与 BD 1 垂直关系, 这里要感谢三垂线逆定理 .自然想到题断 AB1 与 A1C 垂直用同法 （对称原理）转换到同一平面,取 AB 中点 D 即可,只要证得 A1D 垂直于 AB1,事实上 DBD 1A1,为平行四边形,解题路子清晰了 . 【 解后归纳
6、】证线线垂直主要途径是：（ 1）三垂线正逆定理, （2）线面,线线垂直相互转化 . 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务 . 证线线垂直,线面垂直,经常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来,这种转化思想有普遍意义,利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式,也是不容忽视的常用方法 . 【例 4】空间三条线段 AB,BC,CD ,ABBC,BCCD ,已知 AB=3,BC=4,CD=6,就 AD 的取值范畴是 . 【 解前点津 】如图,在直角梯形 ABCD 1 中,CD 1=6, AD 1的长是 AD 的最小值 ,其中 AHCD1,AH=BC=4,HD 1=3, AD
7、 1=5;在直角AHD 2中,CD2=6,AD 2是 AD 的最大值为HD 2 2 AH 2 6 3 24 297例 4 题图【 解后归纳 】此题出题形式新奇、敏捷性大, 许多同学对此类题感到无从入手,其实冷静分析,找出隐匿的条件很简单得出结论. 第 3 页,共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对应训练分阶提升学习必备欢迎下载一、基础夯实1.设 M 表示平面, a、b 表示直线,给出以下四个命题：a /bbMaM Ma/baMb Ma /MbM. aMbabab其中正确的命题是 D.A. B.C.2.以下命题中正确选项 A. 如一
8、条直线垂直于一个平面内的两条直线,就这条直线垂直于这个平面B. 如一条直线垂直于一个平面内的许多条直线,就这条直线垂直于这个平面C.如一条直线平行于一个平面,就垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.如一条直线垂直于一个平面,就垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下列图, 在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中点 .现在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、 CDF 和 BEF 折起,使A、 B、C 三点重合,重合后的点记为P.那么,在四周体PDEF 中,必有 第 3 题图A. DP平面 PEF B.DM 平面 PEF C.PM 平面 DEF D. PF平面 D
9、EF4.设 a、b 是异面直线,以下命题正确选项 A. 过不在 a、b 上的一点 P 肯定可以作一条直线和 a、b 都相交B. 过不在 a、b 上的一点 P 肯定可以作一个平面和 a、b 都垂直C.过 a 肯定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 肯定可以作一个平面与 b 平行5.假如直线 l,m 与平面 , , 满意 :l= ,l ,m 和 m ,那么必有 A. 且 l m B. 且 m C.m 且 lm D. 且 6.AB 是圆的直径, C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,如 BC=1,AC=2,PC=1,就 P 到 AB的距离为 2 5 3 5A.1 B.2 C. D.5 57.有
10、三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；名师归纳总结 过平面 的一条斜线l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线a、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a、b 的公垂线,平面 、 满意 a ,b ,就下面正确的结论是第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 与 必相交且交线学习必备欢迎下载m d 或 m 与 d 重合B. 与 必相交且交线m d 但 m 与 d 不重合C. 与 必相交且交线m 与 d 肯定不平行D. 与 不肯定相交9.设 l、m 为
11、直线, 为平面,且 l ,给出以下命题 如 m ,就 m l；如 m l,就 m ；如 m ,就 ml；如 m l,就 m ,其中真命题的序号是 A. B. C. D.10.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,给出以下四个命题：如 ,就 lm；如 ,就 l m；如 l m,就 ；如 lm,就 . 其中正确的命题是 C.与D.与A. 与B.与二、思维激活11.如下列图,ABC 是直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面 的同侧,它们在 内的射影分别为 A ,B ,C ,假如 ABC 是正三角形, 且 AA 3cm,BB 5cm,CC 4cm,就 ABC 的面积是 . 第 11 题图 第 13 题
12、图第 12 题图12.如下列图 ,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满意条件 时,有 A1CB1D 1注:填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑全部可能的情形 13.如下列图,在三棱锥 VABC 中,当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满意条件 时,有VCAB.注：填上你认为正确的一种条件即可 三、才能提高14.如下列图 ,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是 VBC 的垂心, BE 是 VC 边上的高 . 1求证 :VCAB; 2如二面角 E ABC 的大小为 30 ,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小 . 第 14 题图名师归纳总结 -
13、- - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 15.如下列图, PA矩形 ABCD 所在平面, M、N 分别是 AB、PC 的中点 . 1求证： MN 平面 PAD. 2求证： MNCD . 3如 PDA45 ,求证： MN平面 PCD. 第 15 题图16.如下列图,在四棱锥PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,BAD60 , AB 4,AD2,侧棱 PB15 ,PD3 . 1求证： BD平面 PAD . 2如 PD 与底面 ABCD 成 60 的角,试求二面角PBCA 的大小 . 17.已知直三棱柱ABC-A1B1
14、C1中,ACB=90 ,BAC=30 ,BC=1,AA1=6 ,M 是 CC1 的中点,求证： AB1 A1M18.如下列图,正方体ABCD ABCD 的棱长为a,M 是 AD 的中点, N 是 BD 上一点,且 DN NB12, MC 与 BD 交于 P. 1求证： NP平面 ABCD . 2求平面 PNC 与平面 CCDD 所成的角 . 3求点 C 到平面 DMB 的距离 . 第 18 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,第 4 课线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直,就另一条也与
15、该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后 DPPE,DP PF,PEPF. 4.D 过 a 上任一点作直线b b,就 a, b 确定的平面与直线b 平行 . 5.A,m 且 m ,就必有 ,又由于 l= 就有 l ,而 m 就 lm,应选 A. 6.DP 作 PDAB 于 D,连 CD ,就 CDAB,AB=AC2BC25,CDACBC2AB5PD=PC2CD214355. 57.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 明显 与 不平行 . 9.D 垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,就另一条也与该平面垂直. 10.B
16、,l , l m11. 3cm 2 设正三角 A2AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,ABBC 的边长为a. =a 2+4,又 AC2+BC2=AB 2, a 2=2SABC =3a23cm24212.在直四棱柱A1B1C1D 1ABCD 中当底面四边形ABCD 满意条件 ACBD或任何能推导出这个条件的其它条件,例如ABCD 是正方形,菱形等时,有 A1CB1D 1注:填上你认为正确的一种条件即可不必考虑全部可能的情形. 点评： 此题为探干脆题目,由此题开创了填空题有探干脆题的新题型,此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一 ,要求思维应敏捷 .13.VCVA,VCAB. 由 VCVA,
17、 VCAB 知 VC平面 VAB. 14.1 证明 :H 为 VBC 的垂心 , VCBE,又 AH平面 VBC, BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC. 2 解:由1知 VC AB,VCBE, VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 ED AB,又 ABVC, AB面 DEC . ABCD, EDC 为二面角 EABC 的平面角, EDC =30 ,AB平面 VCD , VC 在底面 ABC 上的射影为 CD . VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角 ,又 VCAB,VCBE, 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - -
18、- - - - - - 学习必备 欢迎下载VC面 ABE,VCDE, CED =90 ,故 ECD=60 , VC 与面 ABC 所成角为 60 . 15.证明： 1如下列图,取 PD 的中点 E,连结 AE,EN,就有 EN CD AB AM,EN1 CD 1 ABAM,故 AMNE 为平行四边形 . 2 2MN AE. AE 平面 PAD,MN 平面 PAD, MN 平面 PAD. 2 PA平面 ABCD ,PAAB. 又 ADAB, AB平面 PAD. ABAE,即 ABMN . 又 CD AB, MNCD . 3 PA平面 ABCD , PAAD. 第 15 题图解又 PDA 45 ,
19、 E 为 PD 的中点 . AEPD,即 MNPD.又 MNCD ,MN 平面 PCD . 16.如图 1证：由已知AB4,AD, BAD60 ,第 16 题图解故 BD2AD2+AB2-2ADABcos60 4+16-2 2 41 12. 2又 AB2AD2+BD2, ABD 是直角三角形,ADB 90 ,即 ADBD.在 PDB 中, PD3 ,PB15 ,BD12 ,PB2PD2+BD2,故得 PDBD.又 PDADD,BD平面 PAD. 2 由 BD平面 PAD,BD平面 ABCD . 平面 PAD平面 ABCD .作 PEAD 于 E,又 PE 平面 PAD,PE平面 ABCD ,
20、PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角 . PDE 60 , PEPD sin60 333. 22作 EFBC 于 F,连 PF,就 PFBF, PFE 是二面角 P BCA 的平面角 . 又 EFBD12 ,在 Rt PEF 中,3. 第 8 页,共 9 页3tanPFEPE2233. EF4故二面角 PBC A 的大小为 arctan4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17.连结 AC1,AC32CC1学习必备欢迎下载. MC16C1A 12Rt ACC1Rt MC 1A1, AC1C=MA 1C1, A1MC 1+AC 1C=
21、A1MC 1+MA 1C1=90 . A1M AC1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,CC1B1C1,又 B1C1 A1C1, B1C1平面 AC1M. 由三垂线定理知 AB1A1M. 点评： 要证 AB1A1M,因 B1C1平面AC 1,由三垂线定理可转化成证 AC1A1M,而 AC 1A1M肯定会成立18.1 证明：在正方形 ABCD 中, MPD CPB,且 MD 1BC,2DPPB MD BC12. 又已知 DNNB12,由平行截割定理的逆定理得 NP DD ,又 DD 平面 ABCD ,NP平面 ABCD . 2 NP DD CC ,NP、CC 在同一平面内,CC 为平面 NPC 与平面 CCDD 所成二面角的棱. 又由 CC 平面 ABCD ,得 CC CD,CC CM , MCD 为该二面角的平面角 . 在 Rt MCD 中可知MCD arctan1 ,即为所求二面角的大小 2. a2,等腰 MBD 面积 S26 a 42,设所求距离为3 由已知棱长为a 可得, 等腰 MBC 面积 S12h,即为三棱锥CDMB 的高 . ,第 9 页,共 9 页三棱锥 D BCM 体积为1S 1DD1S 2h33hS 12a6a.S3名师归纳总结 - - - - - - -