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1、-1-顺义区顺义区 20132013 届高三第一次统练届高三第一次统练数学试卷数学试卷(理理工类工类)一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则A.B.C.D.【答案】B12Ax x,12Bxx,所以112ABxx，选 B.2.在复平面内,复数对应的点的坐标为A.B.C.D.【答案】A1 2(1 2)(2)52(2)(2)5iiiiiiii,所以对应点的坐标为(0,1)，选 A.3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【答案】B将参数方程消去参数t得25
2、0 xy，所以对应图形为直线。由得，即22xyy，即2211()24xy，对应图形为圆，所以选B.4.已知向量,且(2)aab,则实数A.B.C.6D.14【答案】D-2-因 为(2)aab，所 以(2)0aab，即220aa b，所 以2 5(4)0k ，解得14k。选 D.5.如图,分别与圆相切于点是的割线,连接.则A.B.C.D.【答案】C由切线长定理知2ABAD AE,所以A错误。选 C.6.从 0,1 中选一个数字,从 2,4,6 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为A.36B.30C.24D.12【答案】C若选 1，则有21232212C C A 种。若选 0，则
3、有232332()12CAA种，所以共有12 1224，选 C.7.设不等式组表示的平面区域为.若圆不经过区域上的点,则的取值范围是A.B.C.D.-3-【答案】D不等式对应的区域为 ABE.圆心为(1,1)，区域中，A 到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域 D,则有0rAC或rBC.由1xyx得11xy，即(1,1)A。由14xyx ，得13xy，即(1,3)B。所以2 2AC，2 5BC，所以02 2r或2 5r，即的取值范围是(0,2 2)(2 5,)，选 D.8.已知函数,其中为实数,若()()6f xf对恒成立,且()()2ff.则下列结论正确的是A.B.C.是
4、奇函数D.的单调递增区间是【答案】D因 为()()6f xf恒 成 立，所 以6是 函 数 的 对 称 轴，即2,62kkZ,所 以,6kkZ，又()()2ff，所 以sin()sin(2)，即sinsin，所 以sin0，所 以6，即()sin(2)6f xx。由222262kxk，得36kxk，即函数的单调递增区间是，所以 D 正确，选 D.-4-二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)9.执行如图所示的程序框图,输出的值为.【答案】第一次循环，3 112,3 12is；第二次循环，11123,1312is；第三次循环，1134,2113is；第四次循环，不满足条件
5、，输出2s 。10.在中,若,则,.【答案】由1cos4B 得，215sin1 cos4BB。由正弦定理sinsinabAB得2a。又2222cosbacacB，即2120cc，解得3c。11.下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:)数据得到的样本频率分布直方图,其 中 平 均 气 温 的 范 围 是,样 本 数 据 的 分 组 为,.由 图 中 数 据 可 知;样本中平均气温不低于 23.5的城市个数为.-5-【答案】0.18,33因为(0.100.12 20.220.26)11a ，所以0.18a。不低于 23.5的频率为(0.180.220.26)10.66，所以样本中
6、平均气温不低于 23.5的城市个数为0.66 5033。12.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为.【答案】因为函数为你偶函数，所以11()()222ff，且函数在(0,)上递增。所以由(2)2xf得122x，即1x ，所以不等式的解集为。13.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么.【答案】4抛物线的焦点坐标为(1,0)F,准线方程为1x 。因为直线的倾斜角为，所以060AFO,又tan601(1)Ay，所以2 3Ay。因为，所以2 3PAyy,代入，得3Ax，所以3(1)4PFPA.14.函数的定义域为,若且时总有,则
7、称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:函数是单函数;-6-函数是单函数;若为单函数,且,则;函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是(写出所有真命题的编号).【答案】若2()2f xxx，则 由12()()f xf x得22112222xxxx，即1212()(2)0 xxxx，解 得1212,20 xxxx或，所 以 不 是 单 函 数。若则由函数图象可知当12()()f xf x，时，12xx，所以不是单函数。根据单函数的定义可知，正确。在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以不一定正确，比如函数。所以真命题为。-7-三、解答题(本大
8、题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分 13 分)已知函数的最小正周期为.(I)求的值;(II)求函数在区间上的最大值和最小值.16.(本小题满分 13 分)已知为等差数列,且.(I)求数列的前项和;(II)求数列的前项和.17.(本小题满分 13 分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得 1 分,没有命中得0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.-8-(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期
9、望;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.-9-18.(本小题满分 14 分)设函数.(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,求函数在区间上的最大值.19.(本小题满分 14 分)已 知 椭 圆的 上 顶 点 为,左 焦 点 为,直 线与 圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.20.(本小题满分 13 分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;(III)在第(II)
10、问的条件下，若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.-10-顺义区 2013 届高三第一次统练数学试卷数学试卷(理工类理工类)参考答案参考答案一、BABDCCDD二、9.10.11.0.18,3312.13.414.三、15.解:(I).5 分因为是最小正周期为,所以,因此.7 分(II)由(I)可知,因为,所以.9 分于是当,即时,取得最大值;11 分当,即时,取得最小值.13 分16.解:(I)设等差数列的公差为,因为,所以解得,2 分-11-所以,3 分因此4 分记数列的前项和为,当时,当时,当时,=,又当时满足此式,综上,8 分(II)记数列的前项和为.则,所以.由(I)可知,所以
11、,故.13 分17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.由题意知,所以-12-.4 分(II)根据题意,的所有可能取值为 0,1,2,3,4.,.,故的分布列是012348 分所以.9 分(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.-13-.所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.13 分18.解:(I).因为曲线与曲线在它们的交点
12、处具有公共切线,所以,且,即,且,解得.3 分(II)记,当时,令,得.当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所 以 函 数的 单 调 递 增 区 间 为;单 调 递 减 区 间 为,6 分故在区间内单调递增,在区间内单调递减,从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当解得,所以的取值范围是.9 分-14-(III)记,当时,.由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为；当且,即时，t+32 且 h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；当时,在区间上单
13、调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者.由知,当时,所以在区间上的最大值为;13 分当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.14 分19.解:(I)将 圆的 一 般 方 程化 为 标 准 方 程-15-,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.由直线与圆相切,得,所以或(舍去).当时,故椭圆的方程为.5 分(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为.因为点在椭圆内,所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.由得.设点的坐标分别为,则,所以.又因为点到直线的距离,所以的面积为.10 分-16-设,则且,.因为,所以当时,的面积达到最大,此时,即.故当的面积达到最大时,直线的方程为.14 分20.解:(I)由题意可知,.当时,当时,也满足上式,所以.3 分(II)由(I)可知,即.当时,当时,所以,当时,当时,所以,当时(为偶数),所以以上个式子相加,得.又,-17-所以,当为偶数时,.同理,当为奇数时,所以,当为奇数时,.6 分因此,当为偶数时,数列的前项和;当为奇数时,数列的前项和.故数列的前项和.8 分(III)由(II)可知当为偶数时,-18-所以随的增大而减小,从而,当为偶数时,的最大值是.当为奇数时,所以随的增大而增大,且.综上,的最大值是 1.因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,故实数的取值范围是.13 分