《2022年相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 同学：题精品资料欢迎下载科目：数学老师：课相像三角形的三点定形、相像三角形与函数综合问题教学内容学问框架一、相像证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法 ”1横向定型法欲证AB BC,横向观看,比例式中的分子的两条线段是BE BFABC 的顶点；分母的两条线段是 BE 和 BF ,三个字母 B此只需证ABCEBF2纵向定型法AB 和 BC ,三个字母 A, ,C 恰为,E,F 恰为BEF 的三个顶点 因欲证AB BCDE,纵向观看, 比例式左边的比AB 和 BC 中的三个字母A,B,C恰为AB
2、C的顶EFDEF的三个顶点因此只需点；右边的比两条线段是DE 和 EF 中的三个字母D,E,F恰为证ABCDEF3中间比法由于运用三点定形法经常会遇到三点共线或四点中没有相同点的情形,此时可考虑运用等线,等比或等积进行变换后,再考虑运用三点定形法查找相像三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时,常用到中间比比例中项式的证明,通常涉及到与公共边有关的相像问题；这类问题的典型模型是射影定理模型,模型的特点和结论要娴熟把握和透彻懂得倒数式的证明,往往需要先进行变形,将等式的一边化为 然后对比值进行等量代换,进而证明之1,另一边化为几个比值和的形式,复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进
3、行等量代换）,等比代换,等积代换,将复合式转化为基本的比例式或等积式,然后进行证明二、函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特别三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知 识来推导边的大小；如两个三角形的各边均未给出,就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之 后利用相像来列方程求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - -
4、 - - - 精品资料 欢迎下载【例题精讲】“ 三点定型” 法一类：直接利用“ 左看、右看、上看、下看”加“ 三点定型”例1,已知： ACB=90 0, CDAB；求证： AC 2=AD .AB 分析：要证 AC2=AD .AB ,可先证 AC AB,这时看等号的左边 A 、C、D 三点可确定一个三角AD AC形,而等号右边 A、C、B 三点也可确定一个三角形,即证ACD例2,已知：等边三角形 ABC ；都看上面的分子为A、B、C 及都看下面的分母为A、C、D 也可确定去证ACD ABC ；ABC 中,P 为 BC 上任一点, AP 的垂直平分线交AB 、AC 于 M 、N 两点；求证： BP
5、.PC=BM.CN 二类：当不能直接用“ 左看、右看、上看、下看”相等的线段去替换；加“ 三点定形” 时,假如有相等的线段时,可用例1,已知； AD 平分 BAC,EF垂直平分 AD与 BC的延长线交于 F；求证： DF 2=BF.CF分析：由已知可得 DF=AF ,直接证 DF 2=BF.CF 找不出相像三角形,可改证 AF 2=BF.CF,即证名师归纳总结 AFCF,这时用“ 左看、右看” 或“ 上看、下看” 定出ABF CAF 第 2 页,共 11 页BFAF例2,已知；在 Rt ABC中, A=90 0,四边形 DEFG为正方形；求证：EF 2=BE.FC - - - - - - -精
6、选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三类：既不能直接用“ 三点定形”,又没有相等的线段可以替换时,可以找中间比或中间量来转化搭桥,充分表达了转化的思想在数学中的应用；例 1,已知：梯形 ABCD 中, AD/BC , AC 与 BD 相交于 O 点,作 BE/CD, 交 CA 的延长线于点 E.求证： OC 2=OA.OE分析：要证 OC 2=OA.OE , 这时我们不论是“ 左看、右看” 仍是“ 上看、下看” 都发觉 O,C,A,E 在同始终线上,并且没有相等的线段可以替换,怎么办呢？这时,我们可以利用转化的数学思想,先证OCOB,用“ 上看、 下看”定出 OB
7、C ODC,然后再证OBOE, 用同样的方法确定证OBEH；OAODODOC ODC相像即可；例 2,已知： BD、CE 是 ABC的两个高, DGBC,与 CE交于 F,GD的延长线与BA的延长线交于求证： GD 2=GF.GH一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相像形一章中常见题型；由于这种问题变化许多,同学们经常感到困难；但是,假如我们把握明白决这类问题的基本规律,就能找到解题的思路；（一）遇到等积式（或比例式）时,先看是否能找到相像三角形；等积式可依据比例的基本性质改写成比例式,在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母,就可找出相像三角形；名师归纳总结 - - - -
8、- - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、 已知：如图,精品资料欢迎下载AB 于 D,交 BC 延长线于F；求ABC 中, ACB=900,AB 的垂直平分线交证： CD2=DE DF ；（二）如由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相像,就需要进行等线段代换或等比代换；有时仍需添加适当的帮助线,构造平行线或相像三角形；例 2如图,已知 ABC 中, AB=AC ,AD 是 BC 边上的中线, CF BA ,BF 交 AD 于 P 点,交 AC于 E 点；求证： BP 2=PEPF；例 3如图,已知：在ABC 中,BAC=900,
9、AD BC, E 是 AC 的中点, ED 交 AB 的延长线于F；求证：；函数中因动点产生的相像三角形问题例题 如图 1,已知抛物线的顶点为A（2,1）,且经过原点O,与 x 轴的另一个交点为B；名师归纳总结 求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为y1x2x）第 4 页,共 11 页4如点 C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C、D、B 四点为顶点的四边形为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载yP,使得OBP 与 OAB 相像？平行四边形,求D 点的坐标；连接 OA 、AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上
10、是否存在点如存在,求出P 点的坐标；如不存在,说明理由；yAAxO 、C、OBOBx图 1 例 1 题图图 2 分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角线来考虑问题以D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类争论:按 OB 为边和对角线两种情形2. 函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特别三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知 识来推导边的大小；如两个三角
11、形的各边均未给出,度,之后利用相像来列方程求解；就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长名师归纳总结 练习 1、已知抛物线yax2bxc 经过P3 3,E5 3, 及原点 0O0 0, 第 5 页,共 11 页2（1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为y2x25 3x ）33（2）过 P 点作平行于x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于 B 点,直线QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形OABC 是否存在点 Q ,使得OPC与PQ
12、B相像？如存在,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载求出 Q 点的坐标；如不存在,说明理由（3）假如符合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方,连结OQ ,矩形 OABC 内的四个三角形OPC,PQB,OQP,OQA之间存在怎样的关系？为什么？CyPBQ练习 2、如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点OAExA 在 x 轴上,点 C 在 y轴上,将边BC 折叠,使点B 落在边 OA 的点 D 处；已知折叠CE5 5,且tanEDA3；4（1）判定OCD与ADE是否相像？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点
13、 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l,使直线l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE与 y 轴所围成的三角形相像？假如存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线；假如不存在,请说明理由；y C B E 名师归纳总结 O D Ax 第 6 页,共 11 页练习 2 图练 习3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 二 次 函 数yax2bxc a0的图象与 x 轴交于 A,B两点（点 A 在点 B 的左边）,与 y 轴交于点 C ,其顶点的横坐标为1,且过点 2 3, 和 3,12（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为yx22x
14、3）（2）如直线l:ykx k0与线段 BC 交于点 D （不与点 B,C重合）,就是否存在这样的直线 l ,使得以 B, ,D为顶点的三角形与BAC相像？如存在, 求出该直线的函数表达式及点D的坐标；如不存在,请说明理由；A 1 0,B3 0,C0 3（3）如点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ,并写出此时点P 的横坐标x 的取值范畴y x l- - - - - - -C 精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载O 练习 4 2022 广东湛江市 如下列图,已知抛物线yx21与 x 轴交于 A
15、、B 两点,与 y 轴交于点C（1）求 A、 B、 C 三点的坐标（2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相像如存在,恳求出 M 点的坐标；否就,请说明理由练习 5、已知：如图,在平面直角坐标系中,ABC 是直角三角形,ACB 90,点 A,C 的坐标分别为A 3 0, ,C , ,tanBAC3A 3 0, ,C , , B 13, ,y 3x 94 4ABC 相像（不包括全等） ,并求点 D 的4（1）求过点 A,B的直线的函
16、数表达式；点ADB与（ 2）在 x 轴上找一点D ,连接 DB ,使得坐标；（3）在（ 2）的条件下,如P,Q分别是 AB 和 AD 上的动点,连接PQ ,设 APO DQy m ,问x A B 是否存在这样的m 使得APQ与ADB相像,如存在, 恳求出 m 的值；如不存在,请说明理由C 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,已知抛物线yx221精品资料欢迎下载A 在点 B 左侧）,与 y的图像与x 轴交于 A、B 两点（点轴交于点 C. （1）试判定AOC 与 COB 是否相像 ; H,试判定直角三角形DHA
17、与直角三角（2）如点 D 是抛物线的顶点,DH 垂直于 x 轴,垂足为形 COB 是否相像？说明理由变式 1：如点 M 在抛物线上且在x 轴上方,过点M 作 MG 垂直于 x 轴,垂足为点G,是否存在M,使得 AMG 与 AOC 相像名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载变式 2：如点 D 是抛物线的顶点,点 M 在抛物线上且在 x 轴上方,过点 M 做 x 轴的垂线,垂足为点 G,是否存在 M,使得AMG 与 DCB 相像已知 : 如图 , 抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴、 y 轴分别相交
18、于点 A（ -1 ,0）、B（0, 3）两点,其顶点为 D. 1求该抛物线的解析式；2如该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积；3 AOB 与 BDE 是否相像？假如相像,请予以证明；假如不相像,请说明理由 . （注：抛物线 y=ax 2+bx+ca 0 的顶点坐标为）课后练习：名师归纳总结 1. 已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为 4,-1,与 y 轴交于点 C0,3 ,O是原点 . 第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与 x轴的交点为
19、A,B（ A 在 B 的左边）,问在 y 轴上是否存在点 P,使以 O,B,P为顶点的三角形与AOC相像？如存在,恳求出点 P 的坐标：如不存在,请说明理由 . 2.如图,已知抛物线的顶点为 A2,1,且经过原点 O,与 x 轴的另一交点为 B. 1求抛物线的解析式；2如点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求 D 点的坐标；3连接 OA 、AB ,如图,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得 OBP 与 OAB 相像？如存在,求出 P 点的坐标；如不存在,说明理由 . y yA AO B x O B x图 图中考链接1（1
20、0 四川 ）如图 ,已知 ABC 中, ACB 90以 AB 所在直线为 x 轴,过 c 点的直线为 y 轴建立平面直角坐标系此时,A 点坐标为（ -1,0 ）, B 点坐标为（ 4,0 ）（1）试求点 C 的坐标2（2）如抛物线 y ax bx c 过 ABC 的三个顶点,求抛物线的解析式（3）点 D（ 1,m ）在抛物线上,过点 A 的直线 y=x1 交（ 2）中的抛物线于点 E,那么在 x轴上点 B 的左侧是否存在点 P,使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相像？如存在,求出 P 点坐标；如不存在,说明理由 . 2（10 湖北襄樊） 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AB= 4
21、,OB =2,抛物线过 A、B、C 三点,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载与 x 轴交于另一点 D一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点动身沿 BA 向点 A 运动,运动到点 A 停止,同时一动点 Q 从点 D 动身,以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动,与点 P 同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）如抛物线的对称轴与 AB 交于点 E,与 x 轴交于点 F,当点 P 运动时间 t 为何值时,四边形 POQE 是等腰梯形？名师归纳总结 （3）当 t 为何值时,以P、B、O 为顶点的三角形与以点Q、B、O 为顶点的三角形相像？第 11 页,共 11 页- - - - - - -