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1、2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 1 页 共 6 页一.填空题（每小题 3 分，共计 30 分）1设22(,)sin(1)ln()f x yxyxy，则(0,1)xf12设2(,)zf xy xy，则zx122xfyf3曲面30zezxy在点（2，1，0）处的法向量n 1,2,04球面坐标下体积元素dv 2sinrdrd d 5设L是沿逆时针方向的圆周,半径为a，则22()()Lxy dxxydy 22 a6若级数1nnu收敛，则limnnu07 幂级数012nnnnx的收敛半径R 280(ln3)!nnn39 2 0yyy的通解y 12()xCC x e102 3 2xyyyx
2、e的待定特解形式y2()xx axb e二解答下列各题（每小题 6 分，共计 18 分）1 设xzy，求dz21zzdzdxdyxyxdxdyyy2已知2zezxy，求zx，22zx2(,)zF x y zezxy，2,1zxzFx Fe 2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 2 页 共 6 页21xzzFzxxFe 2222232(1)2(1)2(1)4(1)zzzzzzzexezxxeex ee3求3(,)3lnf xyyyxx的极值解2110330 xyfxfy 得驻点(1,1),(1,1)21,0,6xxxyAfBfCyx 在点(1,1)处，260ACB，且10A ，极大值(
3、1,1)1f在点(1,1)处，260ACB ，(1,1)f不是极值三求下列积分（每小题 6 分，共计 18 分）1已知D是由yx，1y 及0 x 围成的有界闭区域，计算221Dydxdyx112012021021111arctanln(1)21ln242xydxdyxxdxxxx原积分2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 3 页 共 6 页2已知D是圆域：224xy，计算22Dxy dxdy22200163Dr rdrddr dr原积分3设L是2yx上从点（0,0）到点（1,1）的一段弧，计算14LxyIdsy22114dsydxx dx212201201414()56xxIx dx
4、xxxdx四解答下列各题（每小题 6 分，共计 18 分）1计算22()xydxdydz，其中是由曲面22zxy及平面4z 围成的有界闭区域2222430023502(4)323rrrdzdrddr drdzrrdr原积分2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 4 页 共 6 页2证明曲线积分(2,3)322(1,1)(2)(3)xyy dxxxydy与路径无关，并计算积分值32(,)2,23PP x yxyyxyy222(,)3,23QQ x yxxyxyx,PQyx曲线积分与路径无关3211)(46)42xdxydy 21原积分=(23判别级数13!nnnnn的敛散性11(1)3!
5、lim3(1)!11lim(1)33nnnnnnnnnnnen1,原级数收敛五求解下列微分方程（每小题 5 分，共 10 分）1求微分方程21dyxydxx，0|1xy的特解21dyxdxyx21lnln(1)ln2yxC21yCx由0,1xy，得1C 所求特解为21yx2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 5 页 共 6 页2求微分方程cosyxyxx的通解11cos1 cossindxdxxxxyeedxCxxdxCxxCx六（本题 6 分）设22yxr，)(rf二阶可导，)(rfu 满足方程22220uuxy，（1）试将方程化为以r为自变量的常微分方程（2）求解)(rf()ux
6、frxr222223()()uxyfrfrxrr222223()()uyxfrfryrr由此可得1()()0frfrr2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 6 页 共 6 页令()pfr，得10dppdrr1dpdrpr 1lnlnlnprC 1Cpr112()lnCf rdrCrCr一填空题：（每小题 3 分，共计 15 分）1已知|1,|5,3aba b，则|ba4。2xoy平面上的双曲线224936xy绕y轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是22244936xzy。3设22(,)zf xyxy,其中f具有一阶连续偏导数，则zx122xfyf。4函数22zxy在点(1,2)处沿从点(
7、1,2)到点(4,2)的方向的方向导数为2。5若级数1nnu条件收敛,则级数1|nnu必定发散。二单项选择题：选出正确答案填入下表中（每小题 3 分，共计 15 分）题 号12345答 案BAACA1直线L：223314xyz和平面:3xyz的位置关系是(A)L与垂直；(B)L在上；(C)L与平行但不在上。2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 7 页 共 6 页2函数(,)zf x y在点(,)x y的偏导数xz及yz存在是(,)f x y在该点可微分的（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件。3若22:2D xyy,则二重积分(,)Df x y dxdy极坐标形式的二次积分为
8、(A)2sin00(cos,sin)df rrrdr；(B)2sin00(cos,sin)df rrdr；(C)100(cos,sin)df rrrdr。4设L为取正向的圆周222xya,则曲线积分2(22)(4)Lxyy dxxx dy(A)0；(B)22 a；(C)22 a。5函数1(1)()nxnf xn的定义域为(A)(0,)；(B)(1,)；(C)(,1)。三解答下列各题：（每小题 6 分，共计 12 分）1设arctanyzx，求zx和2zx y。2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 8 页 共 6 页解221()1()zyyxxx 22yxy。3 分2222222()2
9、()zxyyyxxy 22222()yxxy。6 分2已知由方程0zexyz确定隐函数(,)zz x y,求全微分dz。解(,)zF x y zexyz，,zxyzFyz Fxz Fexy 。2 分xzzFzyzxFexy。3 分yzzFzxzyFexy。4 分zzdzdxdyxy()zzydxxdyexy。6 分注：此题可对方程两边求微分（更简单）或偏导。四解答下列各题：（每小题 6 分，共计 12 分）1计算Dyd,其中D是由yx及2xy与0y 围成的闭区域。解D如图阴影部分。1 分2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 9 页 共 6 页2120yyDyddyydx。3 分123
10、0(2)yyy dy。5 分512。6 分2已知：(,)2yP x yxe，(,)yQ x yxe（1）证明曲线积分LPdxQdy与路径无关；（2）求二元函数(,)u x y，使得duPdxQdy。解（1）yPQeyx曲线积分与路径无关。2 分（2）(,)(0,0)(,)x yu x yPdxQdyC。3 分00(21)xyyxdxxe dyC。5 分2yxxeC。6 分注：（1）不写 C 不扣分（2）求(,)u x y时，可用微分运算分项组合法；不定积分待定函数法。五解答下列各题：（第一小题 5 分，第二小题 7 分，共计 12 分）4判定级数1!nnnn的敛散性。2001 级高等数学（下）
11、本科试卷（A 卷）第 10 页 共 6 页解!0nnnun1limnnnuulim()1nnnn。2 分1e。4 分1级数收敛。5 分5求幂级数11(1)nnnxn的收敛域及和函数。解1lim111nnRn。2 分1x 时，得收敛的交错级数11(1)nnn1x 时，得发散级数11nn收敛域为(1,1。4 分记和函数为()s x11()()nns xx11x（11x）。6 分01()(0)1xs xdtstln(1)x（11x）。7 分注：求和函数时，不写出x的取值范围不扣分六解答下列各题：（每小题 8 分，共计 16 分）1.利用高斯公式计算:22coszxzdydzexdzdxxy dxdy
12、,其中由单位球面2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 11 页 共 6 页与xoy面围成,取外侧。解原积分2201zxyzdv。3 分2122000cossinddrrdr。5 分20cossin2d。6 分2201 sin2 2。7 分4。8 分2.计算由曲面22zxy及平面1z 所围闭区域的表面积。解表面分为1和2，221:1,(,),:1zx yD D xy222:,(,)zxyx yD。2 分2的面积为222144DAxy dxdy。4 分2120014dr rdr。6 分(5 51)6。7 分1的面积为1A所求表面积为12(65 51)6AA。8 分七（本题满分 10 分）
13、在第一卦限内作椭球面121222zyx的切平面,使它与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的方程。2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 12 页 共 6 页解设切点为(,)a b c法向量2,2,nab c。2 分切平面方程为2()2()()0a xab ybc zc。3 分由222112abc（1）得切平面方程为12caxbyz。4 分四面体体积为13Vabc。6 分求fabc在条件（1）下的极值问题：取2221(1)2Fabcabc建立方程组202000（1）abcFbcaFacbFabcF即式。8 分解得13ab，23c，唯一可能极值点，此时四面体体积取最小值。9 分所求切平面方程为232xyz。10 分八（本题满分 8 分）设D为圆域：221xy，二重积分22 3sin()DIxydxdy2001 级高等数学（下）本科试卷（A 卷）第 13 页 共 6 页证明：6121655I。证明21300sinIdrrdr1302sinrr dr。3 分3211sin(1)3!(21)!nnxxxxn（x ）（1）。4 分当01x时，21(21)!nnxun单调减少，。5 分由（1）式可得3sin6xxxx。6 分于是91134002()26rr rdrIr dr。7 分得6121655I。8 分注：直接利用0 x 时，sin xx，证得25I，给 5 分