《2022年《复变函数与积分变换A》期末考试题-b-参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《复变函数与积分变换A》期末考试题-b-参考答案.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -北京精品资料欢迎下载大学交通2007-2022-2- 复变函数与积分变换 参考答案A 期末考试试卷 B 一填空题 （此题满分 14 分,每空 1 分）,请将合适的答案填在空中 . 1复数 z i 84 i 21 i,就 Re z _；Im z _；| z | _ argz _ ,复数 z 的三角表达式为 _ 指数表达式为 _ 解：由于 z i 8 4 i 21 i 1 4 i i 1 3 i所以,Rez 1；Im z 3；| z | 10；argz arctan 3,复数 z 的三角表达式为 10 cosar
2、g z i sinarg z ,指数表达式为 10 ie arg z . 2 ki2方程 z 3 8 0 的全部根是 z 3 8 2 e 3 , k 1,0 2,3 1 i ie iLn 1 i e i ln 2 i 42 k , k 0 , 1 , 2 , .4函数 ln z 在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续 . 5如幂级数 c n z i n在 z i 处发散,就该级数在 z 1 的敛敛性为发散n 16映射 w e z将带形域 0 Im z 3映射成角形域 0 arg z 3. 4 437 幂 函 数 w z, 把 扇 形 域 0 arg z |, z | 2 映 照 为
3、 w 平 面 上 的 扇 形 域30 arg z |, z | 8 . 细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8在傅氏变换意义下,函数f1t精品资料欢迎下载*f2t定义f1f2 t d. 和f2t的卷积f1t9设ftt0t,就Fft=ei0t. 1 分）,二判定以下命题的真假（此题满分 10 分,共有 10 道小题,每道小题对的填“”,错的填“” .iv在区域（） 1指数函数z e 是以2i为周期的周
4、期函数. （）2正弦函数sinz肯定是有界函数. （）3奇点肯定是孤立奇点. （）4fz 在z 可导是f z 在z 解析的充分条件. （） 5如 u 和 v 都是 D内的调和函数,且满意柯西- 黎曼方程,就fzuD内是解析函数 . （）6如积分fzdz0,C是一条简洁闭曲线,就fz 在 C内无奇点 . C（）7幂级数n1zn的收敛半径为1,就在| z|1上的点肯定到处收敛. 第 2 页,共 8 页 n（）8函数vxy是uxy的共轭调和函数. （）9假如无穷远点是fz的一阶极点,就z0是f1的一阶极点,并且zRes fz,lim z 0zf1. z（）10映射wz2在 z 平面上每一点都具有伸缩
5、率和旋转角的不变性. 三争论函数fz x3i 1y3的可导性、解析性（ 8 分） . 解：设ux3,v 1y3,就u,v到处可微且u3 x2,u,0xyv,0v3 1y2 xy细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载但uv3x231y21, x21y20x0 ,y1xy即仅在点0 1, 处满意柯西 - 黎曼方程,处可导,但在整个复平面上不解析. 因此,fzx3i1y3在点0四在扩充复平面上找出函数fz z23
6、 z3 zi2的孤立奇点并加以分类,如是极点,指出其阶（或级）数,最终分别运算在每个孤立奇点的留数（8 分）. 解：fz2 z3 zzi2zz3i2 31 z所以,fz共有两个一阶极点z 1,1z 22和一个无穷远点. Res f,z 1lim z 1z1 fz lim z 13 zi1i1iz21Res f,z 2lim z 2z2 fz lim z 23 zi81i8iz1Res f,Res f11,0zz2Res z3 11iz32 z , 0 z 11lim z 011iz32 z23 z27细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3
7、 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载C1dz0；（3 分）. 五 1. 证明 : 当 C为任何不通过原点的闭曲线时,z22. 沿怎样的简洁闭曲线有Cz21|1dz0；（3 分） . z3. 运算Cz51z3 dz,C:| z2. （3 分）；1 1. 证明：当 C不包含z0时,由柯西定理得,C1dz0；2i 1 0z2当 C包含z0时,由高阶导数的柯西积分公式得,C1dzz2.12. 当z ,1213i均不被简洁曲线C包围或全部被包围时,Cz211dz0. 22z3. Cz5
8、1z3 dz2iRes f,3Res f,1 12i1Res 1z213 , 0 242,方向分别取逆时针和1 z5z2i10 i242121六运算_dz,这里曲线 C为zxi12 x1x1zC顺时针方向i（6 分） . i,逆时针 第 4 页,共 8 页 解：_ zdziei edi,顺时针CC细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -七将函数fzz1i精品资料0|欢迎下载1|zi|内展成罗朗级数分别在圆环z|1与z（8 分）
9、 . 解：（1）当0|z|1时,1z1n1 nziiinn2 第 5 页,共 8 页 11fzz zizi1ii1zz2zn（2）当0|zziii1ii1zz2zn1i2in1zii|时,11fzzzizz11ii2zizi11iizi21ziz1i21ziiz1i3zi2z1 nzn1iizi2zii4ni1ziiziii21zi1ii1ziizii21nziin1z细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -八运算|z |21
10、5 zdz（8 分） . 精品资料欢迎下载6 z解：原式 =2ik61Res 1z56,zk2zz21, 第 6 页,共 8 页 z2iRes 1z5,6 z2iRes 111,0z5 12 zz62iRes zz11 0,62i九运算252 sind（8 分） . 04cos解：设zie,就ddz,sinz2iz1,cosiz22z原式i|z 12 zz2124 dz24z210 zi|z 12 zz212dz 4 2 4z210z1在| z|1内,有一个二阶极点1z0和一个一阶极点5Res fz ,058Res fz ,1358所以,原式i2iRes f0,Res f,1425细心整理归纳
11、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -十争论将半径为精品资料0和欢迎下载1,圆心分别在zz1处的两圆的公共部分在分式线性1 3z i 映射 2 2 下的图形（8 分） . 1 3z i 2 2解：两圆 | z | 1 和 | z 1 | 1 的交点为 z ,1 2 1 3 i,两圆在 ,1z 2 的夹角分别为 2,2 2 3该分式线性映射将 1z 映成原点,而把 z 映成,且 | z 1 0,因此,分式线性映射在1z 是共形映射,所给的
12、区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于 2 . 3另外,为了确定角形域的位置,取 |z 1 1,所以,所得的角形域如右图所示：2十一 . 求函数 f t e |t | , 0 的傅氏变换（6 分） . 解：F0e| t| etitdteitdt eidt0细心整理归纳 精选学习资料 1i1i222 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载十二 . 用拉普拉斯变换和它的逆变换求以下一阶常系数非齐次常微分方程的解：yy2 ett,y00（6 分） . 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - 解：作 Laplace 变换,记 Ys=Lyt, 就sYs Ys s121s2Ys s1s2 s2111 s11111s2s1s1s 2s111s2s2sy t2 ett1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -