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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 上海交通高校附属中学浦东试验高中 20XX 届第一轮复习复数的概念与运算学问点归纳：1. 复数的有关概念和性质：1 i 称为虚数单位 , 规定i21, 形如 a+bi 的数称为复数 , 其中 a,bR；2 可以从复数的实部、虚部动身定义实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模等概念；3 复数的相等：z 1a 1b i,z 2a 2b i a b a b 2R ,那么z 1z 2a 1b 1且a 2b 2；4 共轭复数的运算性质：z 1z 2z 1z 2z 1z 2z z 2z 1z 1zn nnZ . 2z2. 0z 2z2 zz zRzz如
2、非零复数z 为纯虚数zz z zza2b2,zz=z2；2 z ；z z 1 2z 25 复数 z 的模： |z|=z 1z 2；z 1z 1复数模的运算性质： zz ；z zz2z 2z 26 复数与实数不同处 任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小在实数集内不是任何实数都可以开偶次方 2. 有关运算,几个特别结论：复数对四就运算和开方均通行无阻（1）i4n1i ；i4n231；i4ni32i ；i4n12（ nZ ）；1 ；31 ；1ii；1 1ii； 12i 1i- 2i 1ii（ 2） 如 果1i,就13i2；22222120 3 复数复习留意点：
3、（ 1）证明复数是实数：zabiRb0a,bR；z2b0； zzz. 0且 z 0；（2）证明复数是纯虚数：zab i 是纯虚数a0且b0a,R；z2 z0. （ 3）数的概念扩展到复数后,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不肯定适用了,如不等式的名师归纳总结 性质、肯定值的定义、偶次方非负等. 勤奋制造将来第 1 页 共 8 页第 1 页,共 8 页复数第 1 讲复数的概念与运算- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上海交通高校附属中学浦东试验高中 20XX 届第一轮复习题型讲解：例1以下命题中：（1）两个虚数不能比较大小；（2）如zabia,bC,就
4、当且仅当a0,b0时, z 为虚数；A ；（3）如xyi1i ,就xy1；（4） zaaza（5）z2z2（6）amnam m,nQ（7）如z 1z 22z 2z 320,就z 1z 2z 3；（8）如实数 a 与aiaR 对应,就实数集与纯虚数集一一对应；（9）设z z 2C ,z 1z ,Az z 1 2z z ,2 1Bz z 1 1z z ,就 B 2 2其中正确的命题的是解：（2） a 可以为 0（3）没有说明x,y 是实数（ 4）z 可能是虚数（ 5）左式为实数,右式可能为虚数（6）反例i6i43；（7）反例：i210；（8）0 没有对应的纯虚数z 2|z 1z 22 |0,明显
5、B 为实2（9）是正确的：由于BAz z 1z z 2z z 2z z 1z 1z 2z 1数, BA 为实数,于是A 是实数,可以比较大小,该结论正确；综上 : 19 例 2、实数 m 分别取什么数时,复数z=1+i m2+5 2im+615i 是实数；虚数；纯虚数；对应的点在第三象限；对应的点在直线x+y+4=0 上；共轭复数的虚部为12；m=2. 解： z=1+i m2+52im+615i = m 2+5m+6+m22m15i. mR,z 的实部为 m2+5m+6,虚部为 m22m15. 要使 z 为实数,必有m22m150,m=5 或 m= 3. mR,要使 z 为虚数,必有m2 2m
6、15 0,m 5 且 m 3. 要使 z 为纯虚数,必有m25m6,0,即m3 或m2,m22m150m3 且m,5要使 z 对应的点在第三象限,必有m25m603m2, 3m2. m22m1503m,5要使 z 对应的点在直线x+y+4=0 上,必有点 m2+5m+6,m 22m15满意方程 x+y+4=0, m2+5m+6+ m 22m15+4=0. 解得 m=5 或 m=1. 2要使 z 的共轭复数的虚部为 12,就 m 22m15=12, m= 1 或 m=3. 名师归纳总结 复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来第 2 页 共 8 页第 2 页,共 8 页- - - - - -
7、-精选学习资料 - - - - - - - - - 上海交通高校附属中学浦东试验高中 20XX 届第一轮复习例 3、（1）复数 z 1 m 21 m 2m i 与 z 2 2 1 3 m i m R 是共轭复数,求实数 m 的值z 2 az b2 已知 z=1+i ,假如z 2 z 1 =1i, 求实数 a、b 的值 . 5（3）z 1 2 32 i 5 4 ,求复数 | z |2 2 2 2（ 4）已知 a 2 ab b a b 27 8 i,求实数 a, ba b abi 3 2 i解：（1）实部相等,虚部互为相反数,可求出 m=1 ；2 方法一 : 由 z=1+i, 有 zz 22 az
8、z 1 b 11 i i 2 2 a1 1i i 1 b = a b i a 2 i=a+2a+bi. a 2 ,1 a ,1由题设条件知 a+2a+bi=1 i.依据复数相等的定义,得 解得 a b 1 . b .2方法二：如进行除法运算较麻烦,可将已知等式变形为 运算,相对来说要简洁些 . z 2+az+b=1i z 2z+1,这样就防止了除法 z2z+11 i= 1+i2 1+i+1 1i=i1 i=1+i ,22abb22 2a bababi,又 z 2+az+b=1+i2+a1+i+ b=a+b+a+2i, 由题设及复数相等的定义,得ab,1a,1a21.b.2（3）|z|5 5 5
9、5 55（4）留意观看到, 左边分母对应复数的模的平方恰好为分子,于是aababi右边等于 56i ,求得：a2或a3b3b216100 z1000例 4（1）求1630i的平方根；（2）已知z286 i,求z316z100的值z解：（1）35 i ；（2）解同一；或者3 z16z100z z2zz 86 i16100z 86 1002 z 86 10086 86 zzzz例 5、运算以下各式的值（1）i2 i23 i350i50（2）12 3i122022第 3 页 共 8 页2 3 ii复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页
10、精选学习资料 - - - - - - - - - （3） 22 i4上海交通高校附属中学浦东试验高中20XX 届第一轮复习 13 i52124148122 n122n的值（4）13 , i n2* N ,求12解：（1）22 1249 i4950 i502424 i49 i502625 i ；（ 2）i21006ii10061i；2 i（ 3）2 1 4i 4i522 23i 2213i13 i； 2 51 23122222（ 4）131611213 22n1222 22224n11214122n1n例 6、（1）求最小正整数n,使333i是纯虚数,并求出这个纯虚数；,32k1,k 为整数；2
11、2（2）已知1i2n1i2n2n,求最小正整数n；1i1i解：（1）33i33i3 13i3 i,如为纯虚数, 就n3222222取 k=1 最小正整数为3；或者, n=1,2,3 代入验证,反正求最小；（2）原式化为1i2n1i1i2n1in 2 1in 2 1i2n222两边同除2n1并整理可得：in1in 1 1i2；分析知最小n=3；例 7、（1）设 z 是虚数,Wz1是实数,u1z,求证： u 为纯虚数 . z1z0（2）设 z1,z2 为两个非零复数,且z1+z2=|z1z2|,求证：z 1 z 22为负数 . （1）证明：Wz1R,z1z1z1,zz11zzzzzz第 4 页 共
12、 8 页zz 1|10, z 是纯虚数,zz0, | z| 1,z1z2 |z复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上海交通高校附属中学浦东试验高中 20XX 届第一轮复习u 1 z 1 z 1 1z z 1 u . u u 0 . z 是虚数,z 1,u 0,1 z 1 z 1 1 z 1zu 为纯虚数（或者设 z a bi a b R ,再证明） . （2）证法一：| z 1 z 2 | | z 1 z 2 | z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2
13、,于是 z z 1 z z 2 0,由 z z 2不等于 0,于是 z 1 z 1 ,所以 z 1 是纯虚数, z 1 2为负数 .；z 2 z 2 z 2 z 2证法二： z1+z2=|z1z2|两边同除z2 ,可得：| z 1 1| | z 1 1|,设 z 1 a bi a b R ,z 2 z 2 z 2可得出 z 1 bi（代入运算,或利用几何意义）；由于 z z 不等于 0,于是 b 不为 0,接下同上；z 2 注 本 题 （ 1 ） 中 利 用 z 1R z R 或 | z | 1 这 个 结 论 去 做 也 可 以 , 显 然zzz z 10z R , z z z；这类结论特别
14、重要,如 R z R 或 | z | 10；z 10 z（3）已知复数 z 满意 | z 4 | | z 4 |, 且 z 14 z 为实数,求 z ；z 1解：z 14 z 为实数,即 z 14 zz 1 13 是实数,故 z 是实数,或者 | z 1| 13；最终解z 1 z 1 z 1得实数 z 1 0, z 2 3 3 , i z 3 2 2 i （4） 已知 1z 3,z 2 5,z 1 z 2 7,求 u z 1的值；z 2解：由题意可得 u 1 z 1 z 2 7,又 u z 1 3,故知复数 u 对应的点是以原点为圆心、半z 2 5 z 2 5径长为 3 的圆和以 A（-1,0
15、）为圆心、半径长为 7 的圆的交点,设 u x yi,就 u 1 x 1 yi5 5 xx 21 y 22 y 352 2 75 2 xy 10 3310 3 u10 3 310 3i注 上述解法是本类题的常用解法,此题仍可考虑利用复数模的几何意义求解,于是有：解法 2：如下图,OZ 1z 13,OZ2z 25,OZz 1z 27,故只需求出Z 1OZ2,设Z1OZ2,OZ2Z,在OZ 2Z中,由余弦定理得cos32252721120,35260isin60333iz 13cos60z 251010第 5 页 共 8 页复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来名师归纳总结 - - - - -
16、 - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上海交通高校附属中学浦东试验高中 20XX 届第一轮复习例 8、设 z是虚数,z 1 是实数,1 2 . z（1）求 | z 及 Re z 的取值范畴；（2）设 u 1 z,求证： u 为纯虚数；1 z（3）求 u 2的最小值 . 解：（1）设 z a bi a b R 且 b 0 ,z 1a bi 1 a 2 a2 b 2 b2 i,z a bi a b a bR ,b 2 b2 0,a bb 0,a 2b 21 z 1 . 就 2a ,1 2 ,Re z 1,1 . 2（2）a 2b 21,且 b 0,u 11
17、 zz 11 aa bibi 1 a 1 bia 1 2 b 2 a bi 1 ba i, u 是纯虚数 . （3）u 22 a bi 22 a 1 a21 a 23 4 3 1,1 a 1 a 1 a当且仅当 a 0 时, u 2 min 1 . 巩固练习 班级 _姓名 _ 名师归纳总结 1. 运算：1i= ；1ii2i3i2005= . ； y . 第 6 页,共 8 页1i2. 复数15的共轭复数是 . i23. 已知 x 是实数, y 是纯虚数且满意（2x1 3y iyi,就 x4. 复数z3ai满意条件| z2|2,就实数 a 的取值范畴是 .5. 如z 34 i22341i 10,
18、就| z = . 22b,就a2b2. 3 i6. 如a ,bC,就以下结论中正确选项 . a2b22ab；|a|b|2|a|b|；a2|a|；如a7. 设z 1,z 2,z 3C,以下命题中假命题的是 . z2z 3. |z 1|z 1|； 如2 z 1z2 2,就z 1z 1z2z2；|z 1z 2|z 1|z 2|； 如z 1z 22z 2z320, 就z 1z 3 2|z 3|2复数第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来第 6 页 共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、已知z、w为复数,上海交通高校附属中学浦东试验高中20XX 届第一
19、轮复习, 13iz为纯虚数,w2zi,且| w|52,就 w =_. 9、满意 1in 1in的最小正整数n 的值为 . 10、已知两个复数z 11i z 22128 , i ,数列a n的通项公式为ann1z1,且前 n 项的和为Sn2z就项数 n的值为 . 二、挑选题11、ZZ0是 Z 为纯虚数的 （）z2）A. 充分而非必要条件 B.必要而非充要条件C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件12、复数zlgx22 2x2x1 ixR 在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 其次象限C 第三象限D 第四象限；13、已知Am 0m6,mZ,集合 Bz zxyi x yA ,就集合 B 中 A
20、有复数 30 个B 有实数 5 个C 有纯虚数 5 个D 虚数不足 30 个；14、集合 Azz1ii2in,nN*,B=z 1z 2,其中z 1,z2A （z1可以等于从集合 B 中任意取一元素,就该元素的模为2 的概率是 （）（ A）1；（B）1；（C）1；（D）2 ；7348三、解答题15、 1 求满意条件的z ：zz3 iz13i；（2）求复数 z,使z4iR,且z22. z2, 求实z16、 已知复数z 12 m12 mi mR , z2asin4sin2,0, 如z 1数 a 的取值范畴；17、设 z1=1- cos +isin ,z2=a 2+aiaR,如 z1z2 0,z1z2
21、+ z1z2 =0,问在（0,2）内是否存在 使z1- z2 2为实数？如存在,求出 的值；如不存在,请说明理由复数 第 1 讲 复数的概念与运算 勤奋制造将来 第 7 页 共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、1、i ； 1i； 2、12i； 3上海交通高校附属中学浦东试验高中20XX 届第一轮复习、x 3210、7；,y4i； 4、3,3； 5 、 1 ； 6 7i ；9、 4； 7 、； 8 、二、 11、B； 12 、C； 13 、C； 14 、 D；三、 15、（1）z1或z13 i. （ 2）解
22、：z4R,z4z24 zz4 z,（ z0 ）zz化简得：zz z240,即zz 或z24,当zz 且z2z0 z4；2,得当z24且z22,得z13 i. 1综上所述：z4,z13 i. 16、解：z1z2,asi nm2,4sin22m4sin24asin4sin24sin2,a424,；sin44a40,1s i n0,a24s i n2s i n当且仅当4sin2时,即sin224,0,1时,a4sin217、假设满意条件的 存在因 z1z2 0,z1z2+ z1z2 =0,故 z1z2 为纯虚数又 z1z2 = 1- cos +isin 2+ai =a 21- cos - asin
23、+ a1- cos + 2sin i,a 21- cos - asin =0 ,于是,a1- cos +a 2sin 0 由知 a 0因 0,2 ,故 cos 1于是,由得a= sin 1- cos 3另一方面,因 z1- z2 2R,又 z1- z2=1- cos - a2+sin- ai 故 z1- z2 为实数于是sin - a=0,或为纯虚数 ,1- cos- a 2=0 且 a sin（实数）如 sin - a=0,就由方程组sin -a=0,sin 1- cos = sin ,故 cos =0,就 = 2或 = a= sin , 得1- cos 2（纯虚数）如1- cos- a 2=0,且 a sin 就由方程组1- cos - a 2=0,得1- cos sin 2 = 1- cos a= sin ,1- cos 由于 sin 2=1- cos 2 = 1+cos 1- cos ,故 1+cos = 1- cos 2解得 cos=0舍,否就 a=sin复数综上所述,在 0,2 内,存在 = 或 = 3,使 z1- z22 为实数第 8 页 共 8 页22第 1 讲复数的概念与运算勤奋制造将来名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页