2022年上海地区高一数学知识点归纳分解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海高一数学学问点归纳第一章 集合与命题1.1 集合与元素（1）集合的概念常把能够准确指定的一些对象看作一个整体,这个整体就叫做集合 . （2）集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素 序性. （3）集合与元素间的关系, 集合中的元素具有确定性、互异性和无对象 a与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 . （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x| x具有的性质 ,其中 x为集合的代表元素

2、. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集. （6）常用数集及其记法N 表示自然数集, N 或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 . 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 1.2 集合与集合名性质示意图1个真子集,它称记号意义AB1AA 2AA

3、B子（或A中的任一元3 如AB且 BC ,就或集BA素都属于 B ACBA真AB AB,且 B4 如AB且BA ,就AB1A （A为非空子集）子（或中至少有一元2 如 AB且 BC ,就BA集BA）素不属于 A AC集A中的任一元1AB 合素都属于 B,BABAB2BA 相中的任一元素等都属于 A n n1个元素,就它有 2n 个子集,它有 2 n重要结论：已知集合A 有n 21个非空子集,它有2n2非空真子集 . 1.3集合的基本运算交集、并集、补集名记号意义性质示意图称2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 24 页 -

4、- - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）AAA 1.4交A 且xB （2）ABAABABBABx x（3） A集并A 或xB ABBA（1） AAA（2） AAABx xBA集（3） A补U,且xA ABBCUAx xCUABCUC U集CUABCUAC UB命题的形式及等价关系（1）命题用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句 . “ 如 p ,就 q ” 形式的命题中的 p 称为命题的条件,q 称为命题的结论 . （2）逆命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个

5、命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题；如原命题为“ 如p ,就 q ” ,它的逆命题为“ 如q ,就 p ” . （3）否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,就这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题 . 如原命题为“ 如p ,就 q ”,就它的否命题为“ 如p ,就q ” . （4）逆否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 24 页 - -

6、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -条件的否定,就这两个命题称为互为逆否命题；其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题； 如原命题为“ 如 p ,就 q ” ,就它的否命题为 “ 如q ,就p ” ； 1.5充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件 假如 P Q , 那么 P是 Q的充分条件, Q是 P 的必要条件；假如 P Q , 那么 P是 Q的充要条件；也就是说,命题 P与命题 Q是等价命题； 1.6 命题的运算 命题的非运算 命题的且运算 命题的或运算 1.7 抽屉原就与平均数原就 其次章 不

7、等式 2.1 不等式的基本性质1. 假如ab ,bc ;那么ac .b ,c0,那么acbc .2. 假如ab ,那么acbc.3. 假如ab ,c0 ,那么acbc:假如a4. 假如ab ,cd,那么acbd. 1 .5. 假如ab,0cd0,那么acbd.0,那么011.6. 假如abab7. 假如ab0,那么anbnnN8. 假如ab0, 那么nanbnN,n2.2 一元二次不等式的解法这个学问点很重要,可依据与 0 的关系来求解,留意解的区间的表示,不等式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 24 页 - - - - -

8、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -组也是一样；解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式；求一元二次不等式ax2bxc0 或0a0,b24ac0解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根 . 四画：画出对应函数的图象 . 五解集：依据图象写出不等式的解集 . 规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边 . 区间的概念及表示法设 a b是两个实数,且 a b ,满意 a x b的实数 x的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意 a x b 的实数 x的集合叫做开区间,

9、记做 , a b ；满意 a x b ,或 a x b的实数 x的集合叫做半开半闭区间, 分别记做 , a b , , a b ；满意 x a x a x b x b的实数 x的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意：对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a可以大于或等于b ,而后者必需a b ,（前者可以不成立,为空集；而后者必需成立）2.3 其他不等式的解法（1）分式不等式的解法先移项通分标准化,就f x 0f x g x 0（“或” 时同理）. g x f x 0f x g x 0g x 0g x 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解（2）含肯定值不

10、等式的解法不等式 解集5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -|x|a a0x|axa |x|a a0b|c c0x xa 或xa |axb|c ax把 axb 看成一个整体,化成|x|a , |x|a a0型不等式来求解两个基本不等式： 1. 对任意实数a和b ,有a2b22ab,当且仅当ab时等号成立； 2. 对任意正数a和b,有a22b2ab,当且仅当ab时等号成立；我们把a22b2和ab分

11、别叫做正数a、 的算术平均数和几何平均数；（3）无理不等式的解法方法：将无理不等式转化为有理不等式求解,f x a a0f x 0f x a2f x a a0f x 0f x a2f x g x f x 0或f x 0g x 0g x 0f x g x f x 2f x 0g x 0f x g x g x 2f x f x 0g x 0f x g x （4）高次不等式的解法方法：穿根法6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

12、 - - - - - - -分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶切）,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集 . 2.4 基本不等式及其应用1.a2b22 ab a,bbR, （当且仅当 ab 时取 号）. 2. ababa,R, （当且仅当 ab 时取到等号） . 2用基本不等式求最值时（积定和最小,和定积最大）正、二定、三相等”. 2.5 不等式的证明,要留意满意三个条件“ 一常用方法有：比较法（作差,作商法） 、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等 . 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项,如a123a12 ;242将分

13、子或分母放大（缩小） ,如1k11,k11*11,1,k2k kk2k k2k21k2k2k1k2kN,k1kk第三章函数的基本性质 3.1 函数的概念在某个变化过程中有两个变量x, ,假如对于 x 在某个实数集合 D内的每一个确定的值,依据某个对应法就f , y 都有唯独确定的实数值与它对应,那么y 就是 x 的函数. 7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -记作：yfxxDx 是自变量 D是定

14、义域与 x 对应的 y值叫做函数值函数值的集合是值域3.2 函数关系的建立 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系3.3 函数的运算函数的和：hxfxgx3.4 函数的性质（1）函数的奇偶性 定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品

15、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -假如对于函数（1）利用定义fx 定义域内任意 一个 x,都有 f（要先判肯定 义域是否关于函数的fx, 那么函原点对称）数 fx 叫做奇函（2）利用图象数（图象关于原点对称）奇偶性假如对于函数（1）利用定义fx 定义域内任意 一个 x,都有 f（要先判肯定 义域是否关于, 那么函数 原点对称）fx 叫做偶函数（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在x0处有定义,就f00（2）函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -

16、 - - - - 第 9 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -假如对于属于定义 域 I 内某个区间上 的任意两个自变量（1）利用定义（2）利用已知 函数的单调性函数的的值 x 1、x2, 当 x1 xyy=fXfx x（3）利用函数时,都有图象（在某个fx1fx2,那么ofx 区间图就说 fx 在这个x1x 2象上升为区间上是增函数增）（4）利用复合函数单调性假如对于属于定义yy=fXx（1）利用定义（2）利用已知域 I 内某个区间上函数的单调性的任意两个自变量（3）利用函数的值 x1、x2

17、,当 x1fx2,那么x1x 2象下降为减）就说 fx 在这个（4）利用复合区间上是减函数函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函 数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数（3）函数的最值10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（1）对于任意的 x I ,都有 f M ；（2）存在 0

18、x I ,使得 f x 0 M 那么,我们称 M 是函数 f x 的最大值,记作f max M 一般地,设函数 y f x 的定义域为 I ,假如存在实数 m满意：（1）对于任意的 x I ,都有 f m；（2）（2）存在 x 0 I ,使得 f x 0 m那么,我们称 m是函数 f x 的最小值,记作 f max m（4）函数的零点1、函数零点的概念： 对于函数yfxxD,把使fx0成立的实数x 叫做函0实数根,亦即函数数yfxxD的零点；2、函数零点的意义：函数yfx的零点就是方程fx函数yfx有零yfx 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程fx 0有实数根函数yfx 的图象与x 轴有交

19、点点3、函数零点的求法：求函数yfx的零点：yfx的图象联系起来,1（代数法）求方程fx0的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数并利用函数的11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质（1）幂函数的定义一般地,函数 yx 叫做幂函数,其中x为自变量,是常数（2）幂函数的图象12 细心整理归纳 精选学习资料 - - -

20、 - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1单调性：假如 0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数如果 0,就幂函数的图象在 0,

21、上为减函数, 在第一象限内, 图象无限接近 x轴与 y轴奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数4.2 指数函数的图像与性质函数名称指数函数0且ax1叫做指数函数axy定义函数yx a a图象a1ya0a1yy13 细心整理归纳 精选学习资料 y1y10,1 第 13 页,共 24 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0,1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -定义域 R值域图0,a越大过定点图象过定点 0,1 ,即当x0时,y1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是

22、增函数在 R上是减函数函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形ax1 x0ax1 x0a变化对在第一象限内, a越大图象越高；在其次象限内,象的影响图象越低（趋势）4.3 对数概念及其运算（1）对数的定义如axN a0, 且a1,就 x叫做以 a为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中a叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数14 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

23、对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（2）几个重要的对数恒等式log 10, logaa1, logb aab （3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 loge N （其中e2.71828 ）（4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么logaM加法： logaMlogaNlog aMN减法： logaMlogaNN数乘：nlogaMlogaMnnRalog a NN且b1 loga bMnnlogaM b0,nR换底公式：logaNlogbNb0,blogba4.4 反函数的概念（1）反函数的概念设函数 y

24、f x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y f x 中解出 x,得式子x y 假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x y , x在 A 中都有唯独确定的值和它对应, 那么式子 x y 表示 x是 y 的函数,函数 x y 叫做函数 y f x 的反函数,记作 x f 1 y ,习惯上改写成 y f 1 x （2）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式 y f x 中反解出 x f 1 y ；将 x f 1 y 改写成 y f 1 x ,并注明反函数的定义域反函数的性质 : 原函数 y f x 与反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称函数 y

25、 f x 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 x 的值域、定义域如 P a b 在原函数 y f x 的图象上,就 P b a 在反函数 y f 1 x 的图象上15 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一般地,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数4.5 对数函数的图像与性质函数对数函数ax a0且a1叫做对数函数x1ylogax名称定义函数yloga1x1ylogax0a1yy1,

26、0O1,0xOx图象定义域0,值域Rx1时,y0过定点图象过定点 1,0 ,即当奇偶性非奇非偶在 0,上是减函数单调性在 0,上是增函数16 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形logax0 0x1logax0 0x1a越大a变化对在第一象限内, a越大图象越靠低；在第四象限内,图象的影图象越靠高响4.6 简

27、洁的指数方程指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程 . 1. 留意定义域 2. 娴熟使用指数对数运算公式 3. 娴熟运用函数性质,留意换元法4.7 简洁的对数方程对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程 . 第五章 三角比5.1 任意角及其度量（1）角的分类 1 、 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角 2 、角 的顶点与原点重合,角的始边与 x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称 为第几象限角第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k其次象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k17

28、 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三象限角的集合为k360180k360270 ,k第四象限角的集合为k360270k360360 ,k假如角的终边落在坐标轴上,就也可以称为轴线角. 终边在 x轴上的角的集合为k180 ,k终边在 y 轴上的角的集合为k18090 ,k终边在坐标轴上的角的集合为k90 ,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k（2）角的弧度制 1、长度等于半径长的弧所对

29、的圆心角叫做 1弧度2、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ,就角 的弧度数的肯定值是 l r3、弧度制与角度制的换算公式：2 360 ,1 180,1 180 57.3 5.2 任意角的三角比 1、三角比定义设角是一个任意角,将角置于平面直角坐标系中,角的顶点与原点 O重合,的始边与 x 轴的正半轴重合,在的终边上任取（异于原点的）一点xP（x,y ）, 有点 P到原点的距离为：r2y2x2y20sin_4yPx,ycos_2rxQyxtan_O-2cot _-418 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 24 页

30、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sec _csc _2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正3、单位圆：圆心在坐标原点,半径为 1 的圆（解决任意角,三角比问题的利器）. 4、三角函数线：sin,cos,tan说明：三角函数线是有 向线段（向量）,既有长度, 又有方向 , 方向的正负y 与对应 的三角比值保持一 P T 致. O M A x （1）正弦线：无论 是第几象限角,过 的终边与单位圆的交点 P作 x 轴的垂线,交 x 轴于 M,有向线段 M

31、P的符号与点 P的纵坐标 y 的符号一样,长度等于 y所以有 MP =ysin我们把有向线段MP 叫做角的正弦线,正弦线是角的正弦值的几何形式（2）余弦线：有向线段OM 叫做的余弦线 . 19 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）正切线：过 A（1,0）点作单位圆的切线（ x 轴的垂线）,设 的终边或其反向延长线与这条切线交于T 点,那么有向线段AT 叫做角的正切线 . 5.2 任意角的三

32、角比5.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角函数的基本关系式2 1 sin2 cos1sin212 cos,cos21sin2；cot12sin costansintancos,cossin. （3） 倒数关系： tantan1 sin 2 ksin, cos 2 kcos, tan 2 ktank2 sin2sin, coscos, tantantan3 sinsin, coscos, tansin, coscos , tan4 sintan5 sincoscos2sin20 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6 sin2cos, cos2sin5.4 两角和与差的余弦,正弦与正切 coscos cossinsin； costancos cossinsin； sinsincoscos sin； sinsincoscos sin；tantantan（ tantan1 tantan）；1 tantantantantan（ tantantan1 tantan1 tantan5.5 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 222sin