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1、2.4.1 速度空间速度空间 一、速度空间的代表点一、速度空间的代表点 1.速度空间：速度空间：以速度分量以速度分量vx、vy、vz为坐标轴的直角坐标为坐标轴的直角坐标系（或以系（或以v、为坐标的球坐标系）所确定为坐标的球坐标系）所确定的空间。的空间。在速度空间中，任意一个从原点出发的矢径在速度空间中，任意一个从原点出发的矢径 就代表了一个就代表了一个确定的速度确定的速度 2.代表点代表点 速度空间中速度矢量的端点称为分子代表点。速度空间中速度矢量的端点称为分子代表点。N个不同速度的分子，就对应于速度空间中的个不同速度的分子，就对应于速度空间中的N个代表点个代表点 3.注意：注意：速度空间是想
2、象的空间，该空间仅只描述了速度的大小速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小 和方向。和方向。第1页，共28页，编辑于2022年，星期三 速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小和方速度空间是想象的空间，该空间仅只描述了速度的大小和方 向。向。速度空间中的矢径速度空间中的矢径 实际上是将对应的分子的速度从其实际上是将对应的分子的速度从其 真实坐标空间平移后得到的。真实坐标空间平移后得到的。速度空间的代表点不描述分子的速度空间的代表点不描述分子的速度空间的代表点不描述分子的速度空间的代表点不描述分子的 空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为空
3、间位置，仅只说明该点对应了一个速度为空间位置，仅只说明该点对应了一个速度为 的分子。的分子。的分子。的分子。(2)结论：结论：有多少分子其速度在有多少分子其速度在 间隔内间隔内 =有多少分子的速度矢量的端点处在速度空间中以有多少分子的速度矢量的端点处在速度空间中以dvx、dvy、dvz为边长的一个小体积元内为边长的一个小体积元内 =有多少分子代表点处在速度空间中以有多少分子代表点处在速度空间中以dvx、dvy、dvz为边长为边长 的一个小体积元内的一个小体积元内 二、代表点在速度空间的分布：二、代表点在速度空间的分布：1.分布图：分布图：若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢若把某一瞬时所有分子所
4、对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形。速度空间中的一种分布图形。第2页，共28页，编辑于2022年，星期三表示了体积元表示了体积元 内分子代表点的相对密集程度内分子代表点的相对密集程度 2.速度分布概率及概率密度：速度分布概率及概率密度：一维：一维：考查点位于考查点位于xx+dx区间的概率：区间的概率：dx表示区间线度，表示区间线度，f(x)表示考查点分布的概率密度表示考查点分布的概率密度 二维：二维：考查点位于考查点位于xx+dx,yy+dy区间的概率：区间的概率：dxdy表示区域面积，表示区域面积，f(x，y)
5、表示考查点分布的概率密度表示考查点分布的概率密度 对于三维速度：对于三维速度：设考查区为设考查区为vxvx+dvx,vyvy+dvy,vzvz+dvz的微分元，其中的代表点数的微分元，其中的代表点数目为目为dN(vx,vy,vz)，则相应有：，则相应有：即：概率密度即：概率密度 第3页，共28页，编辑于2022年，星期三3.分析分析：一维情况（如一维情况（如x方向）：方向）：a)在速度空间在速度空间vx轴等间距分若干轴等间距分若干微元，取其中之一：微元，取其中之一：dvx 只要速度的只要速度的x分量在分量在vxvx+dvx范围，范围，则所有分子代表点均处于此薄则所有分子代表点均处于此薄薄的无穷
6、大平板中薄的无穷大平板中b)设此板内分子代表点数为设此板内分子代表点数为dN(vx)，则分子速度，则分子速度x分量在分量在vxvx+dvx的概率为：的概率为：其中其中f(vx)称气体分子在称气体分子在x方向速度分量的概率密度方向速度分量的概率密度 第4页，共28页，编辑于2022年，星期三分子速度分子速度x分量在分量在vxvx+dvx的概率为：的概率为：其中其中f(vx)称气体分子在称气体分子在x方向速度分量的概率密度方向速度分量的概率密度 一维情况：一维情况：同理可得一维情况在同理可得一维情况在vy、vz方方向的结果：向的结果：根据分子混沌性假设，平衡态时分子速度没有择优取向，故：根据分子混
7、沌性假设，平衡态时分子速度没有择优取向，故：速度三个分量的概率密度速度三个分量的概率密度速度三个分量的概率密度速度三个分量的概率密度f f(v vx x)、f f(v vy y)、f f(v vz z)形式相同形式相同形式相同形式相同第5页，共28页，编辑于2022年，星期三 二维情况（如二维情况（如x、y方向）：方向）：类似地在速度空间类似地在速度空间vx、vy轴等间轴等间距分若干微元，取其中之一：距分若干微元，取其中之一：dvxdvy ，为一根平行于为一根平行于vz，截面积为，截面积为dvxdvy的无穷长方体。的无穷长方体。速度分量介于速度分量介于vxvx+dvx，vyvy+dvy的的dN
8、(vx,vy)个分子代个分子代表点均处于此长方体中。表点均处于此长方体中。分子速度分子速度x分量在分量在vxvx+dvx的概的概率为率为f(vx)dvx，速度，速度y分量在分量在vyvy+dvy的概率为的概率为f(vy)dvy。分子同时处于这两个区域即图中长方体分子同时处于这两个区域即图中长方体中的概率为：中的概率为：第6页，共28页，编辑于2022年，星期三 三维情况：三维情况：同理，应当在速度空间的一个体积元同理，应当在速度空间的一个体积元(dvx,dvy,dvz)中找到速度分量介于中找到速度分量介于vxvx+dvx,vyvy+dvy,vzvz+dvz的分子代表点数目为的分子代表点数目为d
9、N(vx,vy,vz)，则有：，则有：可见：可见：速度分布概率密度速度分布概率密度速度分布概率密度速度分布概率密度 f f(v vx x,v vy y,v vz z)=分子按速度分量分布的概率密度的乘积分子按速度分量分布的概率密度的乘积分子按速度分量分布的概率密度的乘积分子按速度分量分布的概率密度的乘积f f(v vx x)f f(v vy y)f f(v vz z)分子处于速度微元分子处于速度微元分子处于速度微元分子处于速度微元d dv vx xd dv vy yd dv vz z中的概率中的概率中的概率中的概率=f f(v vx x,v vy y,v vz z)d)dv vx xd dv
10、vy yd dv vz zvxvy dvydvx第7页，共28页，编辑于2022年，星期三2.4.2 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 速率间隔在速率间隔在vv+dv内的分子数，实际上就是处在速度空间内到坐内的分子数，实际上就是处在速度空间内到坐标原点的距离为标原点的距离为 vv+dv区域内的分子代表点的数目。区域内的分子代表点的数目。此区域是一个半径为此区域是一个半径为v厚度为厚度为dv的球壳，的球壳，其内的分子代表点数目为：其内的分子代表点数目为：根据分子混沌性假设，此球壳内的代表点根据分子混沌性假设，此球壳内的代表点均匀分布，则其体密度为：均匀分布，则其体密度为：则在速度则在速度 附近，
11、体积元附近，体积元 内的分子代表点数目为：内的分子代表点数目为：第8页，共28页，编辑于2022年，星期三则：速度在则：速度在 区间的分子数占总分子数的百分比，区间的分子数占总分子数的百分比，即即麦克斯韦速度分布为麦克斯韦速度分布为麦克斯韦速度分布为麦克斯韦速度分布为：则在速度则在速度 附近，体积元附近，体积元 内的分子代表点数目为：内的分子代表点数目为：第9页，共28页，编辑于2022年，星期三2.速度分量的分布函数：速度分量的分布函数：表达式：表达式：对任意一个速度分量对任意一个速度分量 i(i=x,y,z)，分子的概率分布为：，分子的概率分布为：则速度分量在则速度分量在vxvx+dvx的
12、分子数的分子数dN(vx)占总分子数的比率为：占总分子数的比率为：速度分量在速度分量在vyvy+dvy的分子数的分子数dN(vy)占总分子数的比率为：占总分子数的比率为：速度分量在速度分量在vzvz+dvz的分子数的分子数dN(vz)占总分子数的比率为：占总分子数的比率为：第10页，共28页，编辑于2022年，星期三 概率分布曲线：概率分布曲线：f(vx)vx可见：可见：速度分量的概率密度函数速度分量的概率密度函数 f(vi)是偶函数，对称于纵是偶函数，对称于纵 轴分布轴分布 任一区间任一区间dvx的分子分布概率即为曲线下对应部分的面积的分子分布概率即为曲线下对应部分的面积 dvx速度分量在速
13、度分量在vivi+dvi的分子数的分子数dN(vi)占总分子数的比率为：占总分子数的比率为：面积面积 第11页，共28页，编辑于2022年，星期三3 说明：说明：上面是简单说明性推导，严格的理论推导最早由麦克斯韦用概率上面是简单说明性推导，严格的理论推导最早由麦克斯韦用概率统计的方法导出统计的方法导出 历史上先推得麦氏速度分布，而后由速度分布推得速率分布历史上先推得麦氏速度分布，而后由速度分布推得速率分布 在推导麦氏速度分布时没有考虑分子间的作用力，因而只适用于平在推导麦氏速度分布时没有考虑分子间的作用力，因而只适用于平衡态理想气体衡态理想气体 意义意义:首次用概率统计的方法讨论微观过程，为统
14、计物理学的诞生首次用概率统计的方法讨论微观过程，为统计物理学的诞生奠定了重要基础。奠定了重要基础。第12页，共28页，编辑于2022年，星期三2.4.3 相对于相对于vp的麦克斯韦速度分量分布与速率分布的麦克斯韦速度分量分布与速率分布误差函数误差函数 一、一、相对于相对于vp的麦克斯韦速度分量分布的麦克斯韦速度分量分布1.分布：分布：例如例如:讨论速度的讨论速度的x分量在分量在0vx范围的分子数。范围的分子数。其中其中 为最概然速率为最概然速率 相对速度分量，约化速度分量相对速度分量，约化速度分量 则：则：速度的速度的x分量在分量在vx vx+dvx范围的分子数所占比率范围的分子数所占比率 第
15、13页，共28页，编辑于2022年，星期三速度的速度的x分量在分量在vx vx+dvx范围的分子数所占比率范围的分子数所占比率（概率）：（概率）：可见，速度的可见，速度的x分量在某一数值分量在某一数值 vx 以内的概率（比率）：以内的概率（比率）：速度的速度的x分量在分量在 0ux（或（或0vx）范围的分子数为：）范围的分子数为：速度分量在速度分量在(vx，)内的分子所占比率为：内的分子所占比率为：第14页，共28页，编辑于2022年，星期三2.误差函数：误差函数：定义：定义：误差函数表见课本误差函数表见课本70页表页表2.1，当当x大于表中数值时，大于表中数值时，erf(x)可按幂级数展开计
16、算，即：可按幂级数展开计算，即：第15页，共28页，编辑于2022年，星期三 例例1 试求在标准状态下氮气分子速度的试求在标准状态下氮气分子速度的x 分量小于分量小于800 ms-1的的 分子数占全部分子数的百分比分子数占全部分子数的百分比查表得查表得erf(2)=0.9953解：解：即求即求T=273K时，时，0 vx 800 ms-1的的第16页，共28页，编辑于2022年，星期三二、二、相对于相对于vp的麦克斯韦速率分布的麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布：麦克斯韦速率分布：（A A）（B B）第17页，共28页，编辑于2022年，星期三则则 可得可得0v 速率范围的分子数所占比率：速率范
17、围的分子数所占比率：第18页，共28页，编辑于2022年，星期三则则 0v 速率范围的分子数占总分子数的比率：速率范围的分子数占总分子数的比率：0v 速率范围的分子数：速率范围的分子数：速率在速率在(v,)范围范围内的分子数占总分子数的比率：内的分子数占总分子数的比率：速率在速率在(v,)范围范围内的分子数：内的分子数：第19页，共28页，编辑于2022年，星期三说明：说明：称为约化速率。称为约化速率。在理论分析式总结实验数据规律时，常采用约化量，它们能更好地在理论分析式总结实验数据规律时，常采用约化量，它们能更好地反映共性，有利于揭示现象的本质。反映共性，有利于揭示现象的本质。例例2 试求在
18、标准状态下氮气分子速率介于试求在标准状态下氮气分子速率介于200205 ms-1 的的 分子数占全部分子数的百分比分子数占全部分子数的百分比 解：标况下解：标况下N2分子有：分子有：第20页，共28页，编辑于2022年，星期三2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布从麦克斯韦速度分布导出速率分布 对于麦克斯韦对于麦克斯韦速率分布速率分布速率分布速率分布，在速，在速度空间中，所有速率介于度空间中，所有速率介于vv+dv 区间区间内的分子的代表点应该都落在以原点内的分子的代表点应该都落在以原点为球心，为球心，v 半径，厚度为半径，厚度为dv的一薄层的一薄层球壳中。球壳中。所谓速率分布是指速率处于
19、任所谓速率分布是指速率处于任一区间一区间vv+dv内的内的分子数占总分分子数占总分子数的比率。子数的比率。第21页，共28页，编辑于2022年，星期三 根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，该是等概率的，对薄球壳，对薄球壳，dv 0，则在球壳内的代表点数则在球壳内的代表点数 dNv 是是:麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布由此可知：在速度空间中，在速度分量由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密度附近的代表点的数密度D(v)为：为：说明说明分子代表点的数密度分子代表点的数密
20、度分子代表点的数密度分子代表点的数密度 D D 是球对称的，是球对称的，D 仅是离开原点的距离仅是离开原点的距离v 的函数，即的函数，即D(v)。可认为它内部各分子代表点的数密度可认为它内部各分子代表点的数密度D 都相都相等，都为等，都为D(v)。第22页，共28页，编辑于2022年，星期三由此可知：在速度空间中，在速度分量由此可知：在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点的数密附近的代表点的数密度度D(v)为：为：由麦克斯韦速度分布由麦克斯韦速度分布这就是麦克斯韦速率分布。这就是麦克斯韦速率分布。在球壳内的代表点数在球壳内的代表点数 dNv 是是:第23页，共28页，编辑于202
21、2年，星期三2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布速度分布与速率分布 费米球费米球 金属自由电子模型指出，金属中的价电子是无相互作用的自由电子。在金属自由电子模型指出，金属中的价电子是无相互作用的自由电子。在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。其时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。其球心位于速度空间的原点，球的半径为球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（称为费米速率，是一个仅与金（称为费米速率，是一个仅与金属种类有关的常数）。属种类有关的常数）。具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零
22、，位于具体说来，电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为球内的概率密度为常数，设为De由归一化条件知由归一化条件知电子的速率分布可表示为电子的速率分布可表示为 第24页，共28页，编辑于2022年，星期三电子的速率分布可表示为电子的速率分布可表示为 由此可求：由此可求：不同金属，不同金属，EF 值不同，一般它取值不同，一般它取eV的量级。的量级。费米能：费米球表面的能量费米能：费米球表面的能量第25页，共28页，编辑于2022年，星期三 这说明即使在这说明即使在T=0 K时，金属中自由电子还在以时，金属中自由电子还在以106ms-1的数量的数量级的平均速率在
23、运动着，这是经典理论无法解释的（按照麦克级的平均速率在运动着，这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，斯韦分布，T=0 K时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为零点零点零点零点运动运动运动运动。例如，铜例如，铜的的EF=1.110-18J，而，而me=9.110-31kg，由此知，由此知T=0 K时铜中时铜中自由电子的自由电子的平均速率为：平均速率为：第26页，共28页，编辑于2022年，星期三 具有具有N个分子的气体处于平衡态个分子的气体处于平衡态(P,V,T)时，以容器为参考系的速率时，以容器为参考系的速率分布函数为：分布函数为：N个分子的气体处
24、于平衡态时，以容器为参考系，速率在个分子的气体处于平衡态时，以容器为参考系，速率在v v+dv间的平均分子数等于：间的平均分子数等于：N个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在个分子的气体处于平衡态，以容器为参考系速率在v v+dv间的分间的分子占总分子数子占总分子数N的百分比（概率）的百分比（概率）麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布概率密度概率密度概率密度概率密度 概率概率概率概率 即分子处于速率即分子处于速率即分子处于速率即分子处于速率 v v 附近单位速率区附近单位速率区附近单位速率区附近单位速率区间内的概率间内的概率间内的概率间内的概率麦氏速率分布：麦氏速率分布：第27页，共28页，编辑于2022年，星期三打靶实验：打靶实验：一维情况一维情况:，靶点在，靶点在 的数目的数目 ，靶点在，靶点在 的概率的概率 x方向的方向的概率密度概率密度概率密度概率密度：表示了沿表示了沿x方向在方向在dx区域内靶点的相对密集程度区域内靶点的相对密集程度 靶点处于靶点处于x 到到 x+dx 范围内的范围内的概率概率概率概率:第28页，共28页，编辑于2022年，星期三