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1、项目名称：可压Navier-Stokes方程及相关问题的适定性理论研究主要完成人：朱长江，温焕尧，姚磊主要完成单位：华南理工大学，西北大学项目简介：可压Navier-Stokes方程是描述可压缩流体运动的数学模型，是流体力学中最重要的基本数学模型之一。关于该模型的数学理论研究（例如适定性等）一直以来都是国际数学界的重要研究问题之一。对于等熵情形的固定边界问题，第一个具有大初值和真空的有限能量弱解的整体存在性在1998年由Fields奖获得者P.L. Lions得到。此后引起了国际数学界的极大关注和大量的后续研究。作为与可压Navier-Stokes方程密切联系的数学模型，两相流模型出现在石油工
2、业和化学工程等应用领域中,其具有可压Navier-Stokes方程的一些结构，却又具有自身的一些特点。项目组成员对这两个密切相关的数学模型进行了系统的研究。得到了如下学术成果：（1）系统地研究了具有大初值的可压Navier-Stokes方程的真空自由边界问题。引入了权函数的方法，通过构造一个适当的权函数，利用新的数学技巧，在真空边界附近获得了密度函数的下界估计，从而证明了当粘性系数是密度的幂函数且初值连续地连结到真空时，Navier-Stokes方程初边值问题整体弱解的存在性和唯一性。这是一个开创性的工作，带动了相关领域的后续研究，许多国内外同行直接应用我们的方法和结果研究其它相关问题。（2）
3、建立了速度函数的梯度平方分解恒等式。该恒等式代替了传统方法中的梯度平方分解不等式：。利用该恒等式，在粘性系数满足的假设下，建立了三维等熵可压Navier-Stokes方程Cauchy问题的强解关于密度函数的（为大于绝热指数的常数）的爆破准则；此外，对于三维非等熵可压Navier-Stokes方程，我们建立了强解关于密度和温度的范数的爆破准则。以上结果均包含真空的情形。（3）首次证明了具有真空和大初值的可压Navier-Stokes方程的固定边界问题球对称经典解的整体存在唯一性。在证明过程中，项目组成员引入了一些新的依赖于密度的权函数，克服了真空带来的奇性而导致的困难。从而在空间中证明了具有真空
4、和大初值的高维Dirichlet问题和外区域问题的球对称经典解的整体存在唯一性。（4）系统研究了一维液体-气体两相流模型自由边界问题，得到了弱解的整体存在唯一性和大时间行为。项目组成员率先考虑了粘性系数为常数的液体-气体两相流模型的自由边界问题。利用新的数学技巧，克服了真空和压强可能产生的奇异性，得到了质量函数的上下界估计，进而证明了该问题弱解的整体存在性和唯一性。（5）研究了高维粘性液体-气体两相流模型的Cauchy问题和初边值问题，分别得到了弱解的整体存在性以及强解关于液体质量上界的一个爆破准则。 总之，项目组成员自1999年以来，一直从事可压Navier-Stokes方程及相关问题的适定
5、性理论研究，取得了一系列的研究进展。共发表SCI论文117 篇，被SCI收录论文引用1203次，其中他引总次数为 875 次。5篇论文入选 ESI 过去 10 年高被引用论文。其中10篇代表性论文SCI他引 328 次，单篇SCI他引次数超过90次的论文共2篇。10篇代表性论文发表在Advances in Mathematics、Communications in Mathematical Physics（2篇）、Mathematische Annalen、Communications in Partial Differential Equations、Journal de Mathemati
6、ques Pures et Appliquees、SIAM Journal on Mathematical Analysis (2篇)、Journal of Differential Equations (2篇) 等国际数学期刊上。主要论文专著论文目录：不超过10篇代表性论文、专著序号论文、专著名称/刊名/作者影响因子年卷页码年(卷):页码发表年月通讯作者/第一作者(中文名)SCI他引次数他引总次数是否国内完成1Compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficient and vacuum / Comm
7、unications in Mathematical Physics / Yang Tong, Zhu Changjiang, 2.086230(2)(2002): 329-3632002/1095是2Compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity and vacuum / Communications in Partial Differential Equations / Yang Tong, Yao Zheng-an, Zhu Changjiang,1.01326(5-6)(2001):965-98
8、1.200190是3Blow-up criterions of strong solutions to 3Dcompressible NavierStokes equations with vacuum /Advances in Mathematics / Wen Huanyao, Zhu Changjiang1.294248(2013):534572.2013/11通讯作者：朱长江第一作者：温焕尧7是4Existence and uniqueness of global weak solution to a two-phase flow model with vacuum / Mathema
9、tische Annalen / Yao Lei, Zhu Changjiang1.13349(2011):903928.2011/4通讯作者：朱长江第一作者：姚磊17是5Compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficient and vacuum (II) / Journal of Differential Equations / Vong Seakweng, Yang Tong, Zhu Changjiang1.68192(2)(2003):475-501.2003/861是6Asymptotic
10、 behavior of compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity and vacuum / Communications in Mathematical Physics / Zhu Changjiang2.086293(2010):279299.2010/1通讯作者：朱长江第一作者：朱长江11是7Global spherically symmetric classical solution to compressible NavierStokes equations with large ini
11、tial data and vacuum / SIAM Journal on Mathematical Analysis / Ding Shijin, Wen Huanyao, Yao Lei, Zhu Changjiang1.26544(2)(2012):12571278.2012通讯作者：朱长江4是8Existence and asymptotic behavior of global weak solutions to a 2D viscous liquid-gas two-phase flow model / SIAM Journal on Mathematical Analysis
12、/ Yao Lei, Zhang Ting, Zhu Changjiang1.26542(4)(2010):18741897.2010通讯作者：朱长江第一作者：姚磊17是9A blow-up criterion of strong solution to a 3D viscous liquid-gas two-phase flow model with vacuum / Journal de Mathematiques Pures et Appliquees /Wen Huanyao, Yao Lei, Zhu Changjiang,1.68397 (2012):204-229.2012/3通讯作者：朱长江第一作者：温焕尧6是10Free boundary value problem for a viscous two-phase model with mass-dependent viscosity / Journal of Differential Equations / Yao Lei, Zhu Changjiang 1.68247(2009):27052739.2009/11通讯作者：朱长江第一作者：姚磊20是