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1、第五章函数第五章函数本讲稿第一页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2特殊函数特殊函数5.35.3函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第二页，共八十九页5.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质 定义：设定义：设X和和Y是两个任意的集合，并且是两个任意的集合，并且f是从是从X到到Y的一种关系。如果对于每一个的一种关系。如果对于每一个xX，都存在唯，都存在唯一的一的yY，使得，使得f，则称关系，则称关系f为函数或
2、为函数或映射，并记作映射，并记作 f:XY。对于函数对于函数f:XY，如果有，如果有f，则称，则称x是自是自变量；与变量；与x相对应的相对应的y，称为在，称为在f作用下作用下x的象点，的象点，或称或称y是函数是函数f在在x处的值。通常用处的值。通常用y=f(x)表示表示f。本讲稿第三页，共八十九页函数的基本概念函数的基本概念从从X到到Y的函数的函数f，是具有下列性质的从，是具有下列性质的从X到到Y的二的二元关系：元关系：(1)每一个元素每一个元素xX，都必须关系到某一个，都必须关系到某一个yY；也就是说，关系；也就是说，关系f的定义域是集合的定义域是集合X本身，本身，而不是而不是X的真子集。的
3、真子集。(2)如果有如果有f，则函数，则函数f在在x处的值处的值y是唯一是唯一的，亦即的，亦即 本讲稿第四页，共八十九页函数的基本概念函数的基本概念例：设例：设A1,2,3,4,B=2,3,4,5,6,A到到B的关的关系系 =,，是否是由是否是由A到到B的函数？的函数？本讲稿第五页，共八十九页函数的基本概念函数的基本概念若调整为若调整为f,或或g=,呢？呢？本讲稿第六页，共八十九页函数的定义域和值域函数的定义域和值域设设f是从是从X到到Y的函数，函数的的函数，函数的定义域定义域Df=X，函数，函数的的值域值域满足满足Rf Y。对于函数。对于函数f，常用，常用f(X)表示表示Rf。集合集合Y称作
4、称作f的的陪域陪域。也称也称f(X)是函数是函数f的象点的象点注意：函数注意：函数f的象点与自变量的象点与自变量x的象点是不的象点是不同的。我们这里给出的函数的定义是全同的。我们这里给出的函数的定义是全函数的定义，所以函数的定义，所以Df=X.本讲稿第七页，共八十九页函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质例：设例：设E是全集，是全集，(E)是是E的幂集。对任何两个的幂集。对任何两个集合集合X,Y(E)，它们，它们的并运算和相交运算都的并运算和相交运算都是从是从(E)(E)到到(E)的映射；对任何集合的映射；对任何集合X(E)的求补运算，则是从的求补运算，则是从(E)到到(E)的映射。的映射。
5、例：试说明下列二元关系是否是函数？例：试说明下列二元关系是否是函数？(1)是函数，是函数，(2)不是函数不是函数本讲稿第八页，共八十九页函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质例：设例：设N是自然数集合，函数是自然数集合，函数S:NN定义成定义成S(n)=n+1。显然，。显然，S(0)=1，S(1)=2，S(2)=3。这样的函数，通常称为这样的函数，通常称为皮亚诺后继函数皮亚诺后继函数。注意：有时为了某种需要，要特别强调函数的任注意：有时为了某种需要，要特别强调函数的任意性和唯一性性质：函数意性和唯一性性质：函数f的定义域的定义域Df中的每一中的每一个个x，在值域，在值域Rf中都恰有一个象点中
6、都恰有一个象点y，这种性质通，这种性质通常被称为函数的常被称为函数的良定性良定性。本讲稿第九页，共八十九页函数的相等函数的相等定义：定义：给定函数给定函数f:XY和和g:ZW。如果。如果f和和g具具有同样的定义域和陪域，亦即有同样的定义域和陪域，亦即X=Z和和Y=W，并，并且对于所有的且对于所有的x X或或xZ都有都有f(x)=g(x)，则称，则称函数函数f和和g是相等的，记作是相等的，记作f=g。本讲稿第十页，共八十九页函数的扩大和缩小函数的扩大和缩小定义：给定函数定义：给定函数f:XY，且有，且有A X。(1)试构成一个从试构成一个从A到到Y的函数的函数 通常称通常称g是函数是函数f的的缩
7、小缩小，并记作，并记作f/A。(1)(2)如果如果g是是f的缩小，则称的缩小，则称f是是g的的扩大扩大。从定义可以看出，函数从定义可以看出，函数f/A:AY的域是集合的域是集合A，而函数，而函数f的域则是集合的域则是集合X。f/A和和f的陪域的陪域均是集合均是集合Y。于是若。于是若g是是f的缩小，则应有的缩小，则应有Dg Df和和g f并且对于任何并且对于任何xDg都有都有g(x)=(f/A)(x)=f(x)。本讲稿第十一页，共八十九页函数的扩大和缩小函数的扩大和缩小例：令例：令X1=0,1,X2=0,1,2,Y=a,b,c,d。定义从。定义从X12到到Y的函数的函数f为：为：f=,。g=f
8、,是从是从X12 ,到到Y的函数。的函数。于是于是f=g/X12，因此，因此f是是g在在X12上的缩小（或称限制）上的缩小（或称限制），g是是f到到X12 ,上的扩大（或称延拓）上的扩大（或称延拓）。本讲稿第十二页，共八十九页函数的表示函数的表示因为函数是二元关系，所以可以用关系图和关因为函数是二元关系，所以可以用关系图和关系矩阵来表达函数。系矩阵来表达函数。函数函数f:XY的图解的图解本讲稿第十三页，共八十九页函数的表示函数的表示例：例：设集合设集合X=a,b,c,d和和Y=1,2,3,4,5，并且有，并且有 f=,试求出试求出Df，Rf 和和f的矩阵表达式。的矩阵表达式。解：解：Df=a,
9、b,c,d Rf=1,3,4本讲稿第十四页，共八十九页函数的表示函数的表示由函数的定义可知，在关系矩阵的每一个行上，由函数的定义可知，在关系矩阵的每一个行上，都有且仅有一个元素的值是都有且仅有一个元素的值是1，而此行上的其他，而此行上的其他元素都必定为元素都必定为0。因此，可以用一个单独的列来。因此，可以用一个单独的列来代替关系矩阵。在这个单独的列上，应标明所代替关系矩阵。在这个单独的列上，应标明所对应的给定函数的各个值。这样，该列上的各对应的给定函数的各个值。这样，该列上的各元素也说明了自变量与其函数值之间的对应关元素也说明了自变量与其函数值之间的对应关系。系。上例中上例中f的简化关系矩阵为
10、：的简化关系矩阵为：本讲稿第十五页，共八十九页函数的构成函数的构成设设X和和Y是任意的两个集合。在是任意的两个集合。在XY的所有子集的所有子集中，并不全都是从中，并不全都是从X到到Y的函数，仅有一些子集的函数，仅有一些子集可以用来定义函数。可以用来定义函数。定义：设定义：设A和和B是任意两个集合，记是任意两个集合，记 BA=f|f:AB本讲稿第十六页，共八十九页函数的构成函数的构成例：设集合例：设集合X=a,b,c和集合和集合Y=0,1。试求出所。试求出所有可能的函数有可能的函数f:XY。解：首先求出的解：首先求出的XY所有序偶，于是应有所有序偶，于是应有 于是，有于是，有26 个可能的子集，
11、但其中仅有下列个可能的子集，但其中仅有下列23个个子集可以用来定义函数：子集可以用来定义函数：本讲稿第十七页，共八十九页函数的构成函数的构成设设A和和B都是有限集合，且都是有限集合，且|A|=m和和|B|=n，因为，因为任何函数任何函数f:AB的域都是集合的域都是集合A，所以每个函数所以每个函数中都恰有中都恰有m个序偶。而且，任何元素个序偶。而且，任何元素x A，都，都可以在可以在B的的n个元素中任选其一作为自己的象点。个元素中任选其一作为自己的象点。因此，应有因此，应有nm 个可能的不同函数，亦即个可能的不同函数，亦即|BA|=|B|A|=nm例：设例：设A为任意集合，为任意集合，B为任意非
12、空集合。为任意非空集合。（1）因为存在唯一的一个从）因为存在唯一的一个从到到A的函数，的函数，所以所以A=。（2）因为不存在从）因为不存在从B到到的函数，所以的函数，所以B=。本讲稿第十八页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2特殊函数特殊函数5.35.3函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第十九页，共八十九页5.2特殊函数特殊函数定义：给定函数定义：给定函数f:XY。（a）如果函数）如果函数f的值域的值域Rf=Y
13、，则称，则称f为映上的映射，为映上的映射，或称或称满射函数满射函数。（b）如果函数）如果函数f的值域的值域Rf Y，则称，则称f为映入的为映入的映射或映射或内射内射。本讲稿第二十页，共八十九页特殊函数特殊函数定义：定义：给定函数给定函数f:XY,对于对于x1,x2 X来说，如来说，如果有果有 或者是或者是则称则称f为一对一的映射，或称为一对一的映射，或称f为为单射函数单射函数。定义：给定函数定义：给定函数f:XY。如果。如果f既是满射的既是满射的又是单射的，则称又是单射的，则称f为一对一映满的映射，或为一对一映满的映射，或称称f为为双射双射。本讲稿第二十一页，共八十九页特殊函数特殊函数例：例：
14、（a）内射，单射；（）内射，单射；（b）满射；（）满射；（c）内）内射；（射；（d）双射，单射，满射）双射，单射，满射本讲稿第二十二页，共八十九页补充补充函数函数f:XY是双射函数，必须要求是双射函数，必须要求X和和Y含有的含有的元素数目相等，也就是基数相等，设为元素数目相等，也就是基数相等，设为n。思考：从思考：从X到到Y上存在多少个双射函数？上存在多少个双射函数？n！定理：假设定理：假设m和和n是正整数并且满足是正整数并且满足nm，那么从，那么从m元素集合到元素集合到n元素集合的单射函数的个数为：元素集合的单射函数的个数为：本讲稿第二十三页，共八十九页补充补充函数函数f:XY是满射函数，是
15、满射函数，X中的元素个数是中的元素个数是m，Y中的元素个数是中的元素个数是n，mn，问可以定义多少，问可以定义多少个这样的满射函数？个这样的满射函数？例：例：X=1,2,3,4，Y=a,b，可以定义多少个，可以定义多少个XY的满射函数？的满射函数？24-2=14本讲稿第二十四页，共八十九页补充补充例：例：X=1,2,3,4,5,6，Y=a,b,c，可以定义多少，可以定义多少个个XY的满射函数？的满射函数？解：设解：设P1,P2,P3为为a,b,c分别不在函数值域内的情分别不在函数值域内的情况。一个函数是满射的，当且仅当满足函数概况。一个函数是满射的，当且仅当满足函数概念并且不是念并且不是P1,
16、P2,P3三种情况时。三种情况时。设所有的函数为全集，设所有的函数为全集，P1,P2,P3是在全集上的集合，是在全集上的集合，表征意义如上，那么满射函数必须满足表征意义如上，那么满射函数必须满足本讲稿第二十五页，共八十九页补充补充用用N(A)表示满足情况表示满足情况A的集合的基数，的集合的基数，N表示表示全集的基数，也就是从全集的基数，也就是从6元素集合到元素集合到3元素元素集合的函数总数。根据包含排斥原理，有集合的函数总数。根据包含排斥原理，有本讲稿第二十六页，共八十九页补充补充本讲稿第二十七页，共八十九页补充补充定理：假设定理：假设m和和n是正整数并且满足是正整数并且满足mn，那么，那么从
17、从m元素集合到元素集合到n元素集合的满射函数的个数为：元素集合的满射函数的个数为：本讲稿第二十八页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2特殊函数特殊函数5.35.3函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第二十九页，共八十九页5.3函数的合成和合成函数的性质函数的合成和合成函数的性质 定义：设定义：设f:XY和和g:YZ是两个函数。于是，是两个函数。于是，合成关系合成关系fg是函数，记作是函数，记作gf，称为合成函数，
18、称为合成函数，或称或称gf为为g对对f的左复合。的左复合。注意：合成函数注意：合成函数gf与合成关系与合成关系fg实际上表示同一实际上表示同一个集合。这种表示方法的不同有其方便之处：个集合。这种表示方法的不同有其方便之处：对合成函数对合成函数gf，当，当z=(gf)(x)时，必有时，必有z=g(f(x)gf与与g(f(x)的次序是理想的。的次序是理想的。本讲稿第三十页，共八十九页函数的合成函数的合成定理：设定理：设f:XY和和g:YZ是两个函数：是两个函数：（1）合成函数）合成函数gf是从是从XZ的函数，并且对于每的函数，并且对于每一个一个xX，都有，都有(gf)(x)=g(f(x)（2）Dg
19、f=f-1Dg,Rgf=gRf其中其中f-1Dg表示表示g的域在的域在下的原象集，下的原象集，gRf表示表示f的值域在的值域在g下的象点集。下的象点集。本讲稿第三十一页，共八十九页函数的合成函数的合成证明证明:(1)假设假设xX和和z1,z2Z，再假设，再假设gf和和gf。这个假设要求存在。这个假设要求存在yY，能使，能使y=f(x)，z1=g(y)以及以及z2=g(y)。因为。因为g是一个函数，是一个函数，所以由函数值的唯一性可知，除非所以由函数值的唯一性可知，除非z1=z2，否则，否则不可能有不可能有z1=g(y)和和z2=g(y)。也就是说，仅能有。也就是说，仅能有z1=z2=z和和 g
20、f。因此因此gf是一个从是一个从X到到Z的的函数，且函数，且 (gf)(x)=z=g(y)=g(f(x)本讲稿第三十二页，共八十九页函数的合成函数的合成证明：证明：(2)若若 xDgf，则存在，则存在zZ使使 gf。因此，必有因此，必有yY使使f且且 g。但由。但由 g知知 yDg，再由，再由 f，即得，即得xf-1Dg。另一方面，若。另一方面，若xf-1Dg，则有，则有yDg使使f。但由。但由y Dg知，有知，有zZ使使g，所，所以以 gf，这表明，这表明xDgf。同理可证同理可证Rgf=gRf。本讲稿第三十三页，共八十九页函数的合成函数的合成例：设集合例：设集合X=x1,x2,x3,x4,
21、Y=y1,y2,y3,y4,y5，Z=z1,z2,z3。函数。函数f:XY和和g:YZ分别是分别是试求出函数试求出函数gf=XZ，并给出它的图解。，并给出它的图解。解：解：本讲稿第三十四页，共八十九页函数的合成函数的合成例：设集合例：设集合X=1,2,3，函数，函数f:XX和和g:XX分分别为别为 试求出合成函数试求出合成函数fg,gf,ff,gg解：解：函数的合成关系是不可交换的，但是是可结函数的合成关系是不可交换的，但是是可结合的合的本讲稿第三十五页，共八十九页函数的合成函数的合成定理：函数的合成运算是可结合的，即如果定理：函数的合成运算是可结合的，即如果f,g,h都是函数，则应有都是函数
22、，则应有本讲稿第三十六页，共八十九页函数的合成函数的合成因为函数的合成运算是可结合的，所以在表达合因为函数的合成运算是可结合的，所以在表达合成函数时，可以略去圆括号，即成函数时，可以略去圆括号，即 推广：设有推广：设有n个函数：个函数：f1:X1 X2，f2:X2X3，fn:XnXn+1，于是无括号表达式唯一地表达，于是无括号表达式唯一地表达了从了从X1到到Xn+1的函数。如果的函数。如果X1=X2=Xn=Xn+1=X和和f1=f2=fn=f，则可用，则可用fn表示从表示从X到到X的合成的合成函数函数 fnfn-1f1。本讲稿第三十七页，共八十九页函数的合成函数的合成例：设例：设I是整数集合，
23、并且函数是整数集合，并且函数f:II给定成给定成f(i)=2i+1。试求出合成函数。试求出合成函数f3(i)。解：合成函数解：合成函数f3(i)是一个由是一个由I到到I的函数，于是有的函数，于是有本讲稿第三十八页，共八十九页等幂函数等幂函数定义：给定函数定义：给定函数f:XX，如果有，如果有f2=f，则称，则称f是个是个等幂函数。等幂函数。例：设例：设I是整数集合和是整数集合和Nm=0,1,2,m-1-1，并且函，并且函数数f:INm是是f(i)=i(mod m)。试证明，对于。试证明，对于n11都都有有fn=f。本讲稿第三十九页，共八十九页等幂函数等幂函数证明证明：（归纳证法）当（归纳证法）
24、当n=2时时假设当假设当n=k时，满足时，满足fk=f;那么当那么当n=k+1时，时，fk+1=fkf=ff=f得证。对于所有的得证。对于所有的n1，都有，都有fn=f本讲稿第四十页，共八十九页恒等函数恒等函数定义：给定集合定义：给定集合X，并且有函数，并且有函数IX:XX。对于所。对于所有的有的xX，有，有IX(x)=x，亦即，亦即IX=|x X则则称称IX为恒等函数。为恒等函数。定理：给定集合定理：给定集合X和和Y。对于任何函数。对于任何函数f:XY，都有都有f=fIX=IYf证明：设证明：设xX和和yY，根据定义，根据定义IX(x)=x,IY(y)=y得证。得证。本讲稿第四十一页，共八十
25、九页合成函数的性质合成函数的性质定理：给定函数定理：给定函数f和和g，并且有合成函数，并且有合成函数gf。于是。于是（a）如果）如果f和和g都是满射函数，则合成函数都是满射函数，则合成函数gf也也是个满射函数。是个满射函数。（b）如果）如果f和和g都是单射函数，则合成函数都是单射函数，则合成函数gf也也是个单射函数。是个单射函数。（c）如果）如果f和和g都是双射函数，则合成函数都是双射函数，则合成函数gf也是也是个双射函数。个双射函数。证明：给定集合证明：给定集合X，Y和和Z，并且有函数，并且有函数f:XY和和g:YZ。本讲稿第四十二页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质证明：证明：(a)
26、设任意的元素设任意的元素zZ,由于由于g是个满射函数，因而是个满射函数，因而存在某一个元素存在某一个元素yY，能使，能使g(y)=z。另外，因为另外，因为f是个满射函数，所以存在某一个元素是个满射函数，所以存在某一个元素xX，能使，能使f(x)=y，于是有于是有(gf)(x)=g(f(x)=g(y)=z即即z(gf)(X)。由元素由元素zZ的任意性，知命题（的任意性，知命题（a）为真。）为真。本讲稿第四十三页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质证明：证明：（b）设任意的元素）设任意的元素xi,xj X且有且有xixj,因为因为f是单是单射的，所以必定有射的，所以必定有f(xi)f(xj)。
27、由于。由于g是单射的和是单射的和f(xi)f(xj)可推出可推出g(f(xi)g(f(xj)，即如果，即如果xixj，则，则有有(gf)(xi)(gf)(xj)。于是命题（。于是命题（b）的真值为真。）的真值为真。由命题（由命题（a）和命题（）和命题（b）可直接推出命题）可直接推出命题（c）注意：以上定理各部分的逆定理均不成注意：以上定理各部分的逆定理均不成立。立。本讲稿第四十四页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质定理：定理：给定函数给定函数f和和g，并且有合成函数，并且有合成函数gf,于是于是（1）如果）如果gf是满射函数，则是满射函数，则g必定是满射的。必定是满射的。（2）如果）如果
28、gf是个单射函数，则是个单射函数，则f必定是个单射函数。必定是个单射函数。（3）如果）如果gf是个双射函数，则是个双射函数，则g必定是满射的，必定是满射的，f是单射的。是单射的。本讲稿第四十五页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质证明：给定集合证明：给定集合X，Y和和Z，并且有函数，并且有函数f:XY和和g:YZ。(1)合成函数合成函数gf:XZ。因为。因为gf是个满射函数，是个满射函数，所以所以gf的值域的值域Rgf=Z。设任意的元素。设任意的元素xX，某些某些yY和和zZ，于是应有，于是应有(gf)(x)=z=g(f(x)=g(y)可见，可见，Rg=Rgf=Z，即，即g是满射的，得证。
29、是满射的，得证。本讲稿第四十六页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质（1）反证法证明。设）反证法证明。设f：XY，g：YZ，因为，因为gf是满射函数，若是满射函数，若g不是满射函数，则必存在不是满射函数，则必存在Z中中的元素的元素z0，使得对于任意的，使得对于任意的Y中的元素中的元素y，g(y)z0，这样，对于，这样，对于X中的任意元素中的任意元素x，gf(x)=g(f(x)=g(y)z0,故故gf不是满射函数，与假设不是满射函数，与假设矛盾，因此，矛盾，因此，g一定是满射函数。一定是满射函数。本讲稿第四十七页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质（2）合成函数）合成函数gf:XZ。设。
30、设xi,xjX和和xixj。因。因为为gf是单射的，所以应有是单射的，所以应有 因为因为g是函数，所以象点不同时，原象一定不相是函数，所以象点不同时，原象一定不相同，即同，即 根据永真蕴含关系的可传递性，应有根据永真蕴含关系的可传递性，应有 得证。得证。由（由（1）和（）和（2）可知（）可知（3）成立。）成立。本讲稿第四十八页，共八十九页合成函数的性质合成函数的性质（2）反证法证明。设）反证法证明。设f：XY，g：YZ，因为，因为gf是单射函数，若是单射函数，若f不是单射函数，则必存在不是单射函数，则必存在X中中的元素的元素x1,x2，且，且x1x2，使得，使得f(x1)=f(x2)。由于。由
31、于g是函数，因此，是函数，因此，g(f(x1)=g(f(x2),也即也即gf(x1)=gf(x2)，即，即gf不是单射函数，矛盾，所以，不是单射函数，矛盾，所以，f是单射函数。是单射函数。本讲稿第四十九页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.35.3特殊函数特殊函数5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第五十页，共八十九页5.4反函数反函数用关系的合成直接定义了函数的合成。那么，用关系的合成直接定义了函数的合成。
32、那么，能否用关系的逆运算直接定义函数的反函数呢能否用关系的逆运算直接定义函数的反函数呢？例：考察函数例：考察函数f:II;f=|i I于是于是 fC=|i I显然，显然，fC不是从不是从I到到I的函数。因此，不能直接用的函数。因此，不能直接用关系的逆关系来定义函数的反函数。关系的逆关系来定义函数的反函数。本讲稿第五十一页，共八十九页反函数反函数定义：设定义：设f:XY是一个双射函数。于是是一个双射函数。于是f的逆关的逆关系系fC=|f是是f的的反函数反函数（或称（或称逆函数逆函数），并记作，并记作 f-1。对于。对于f来说，如果存在来说，如果存在f-1，则函数，则函数f是可逆的。是可逆的。注意
33、：仅当注意：仅当f是双射函数时，才有对应于是双射函数时，才有对应于f的反的反函数函数f-1。本讲稿第五十二页，共八十九页反函数反函数定义：设定义：设f:XY，若存在函数，若存在函数g:YX，使得，使得gf=IX，则称，则称g为为f的的左逆左逆；若存在函数；若存在函数g:YX，使得，使得fg=IY，则称，则称g为为f的的右逆右逆。本讲稿第五十三页，共八十九页反函数反函数定理：设定理：设f:XY是一个双射函数。于是，反函数是一个双射函数。于是，反函数f-1也是一个双射函数，并且是从也是一个双射函数，并且是从Y到到X的函数。的函数。本讲稿第五十四页，共八十九页反函数反函数定理：如果函数定理：如果函数
34、f:XY是可逆的，则有是可逆的，则有 证明：设证明：设xX和和yY，如果，如果f(x)=y，则会有，则会有f-1(y)=x 于是于是能够得到能够得到因此应有因此应有f-1f=IX。与此类似，还可得出。与此类似，还可得出 于是应有于是应有f f-1=IY。注意：函数注意：函数f和和f-1的合成，总会生成一个恒等函的合成，总会生成一个恒等函数，由于合成的次序不同，合成函数的值域或数，由于合成的次序不同，合成函数的值域或者是集合者是集合X，或者是集合，或者是集合Y。本讲稿第五十五页，共八十九页反函数反函数例：在自然数集合上定义四个函数例：在自然数集合上定义四个函数 可以证明可以证明可见，可见，g1和
35、和g2都是都是f1的右逆，而的右逆，而f1和和f2又都是又都是g1的左逆。此例说明，一个函数的左逆和右的左逆。此例说明，一个函数的左逆和右逆不一定是唯一的。逆不一定是唯一的。本讲稿第五十六页，共八十九页反函数反函数定理：如果定理：如果f是个双射函数，则应有是个双射函数，则应有(f-1)-1=f 证明：假设证明：假设 (f-1)-1，于是有，于是有由由的任意性可知，的任意性可知，(f-1)-1=f本讲稿第五十七页，共八十九页反函数反函数定理：给定函数定理：给定函数f:XY和和g:YZ，并且，并且f和和g都是都是可逆的。于是应有可逆的。于是应有 证明：证明：得证。得证。本讲稿第五十八页，共八十九页
36、反函数反函数例：给定集合例：给定集合X=1,2,3，Y=a,b,c和和Z=,设设函数函数f:XY和和g:YZ分别为：分别为：f=,，g=,试说明试说明(gf)-1=f-1 g-1。解：解：本讲稿第五十九页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.35.3特殊函数特殊函数5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第六十页，共八十九页5.5特征函数特征函数用一种很简单的函数来确定集合与集合间的关用一种很简单的函数来确定集合与
37、集合间的关系，这种函数就是特征函数。系，这种函数就是特征函数。定义：设定义：设X为任意集合，为任意集合，Y R，f和和g是从是从X到到Y的的函数。函数。(1)fg表示，对每个表示，对每个xX，皆有，皆有f(x)g(x)。(2)f+g：XY，对每个，对每个xX，皆有，皆有(f+g)(x)=f(x)+g(x)，称，称f+g为为f和和g的和。的和。(3)f-g：XY，对每个，对每个xX，皆有，皆有 (f-g)(x)=f(x)-g(x)，称，称f-g为为f和和g的差。的差。(4)f*g：XY，对每个，对每个xX，皆有，皆有(f*g)(x)=f(x)*g(x)，称，称f*g为为f和和g的积。的积。本讲稿
38、第六十一页，共八十九页特征函数特征函数定义：设定义：设E为全集，为全集，A E，A A为如下定义的从为如下定义的从E到到0,1的函数：的函数：称称A(x)为集合为集合A的特征函数。的特征函数。本讲稿第六十二页，共八十九页特征函数特征函数例：设例：设E=a,b，E的子集有的子集有,a,b和和 a,b。给。给出出E的所有子集的特征函数。的所有子集的特征函数。A A(x x)xA Abbaaa,ba,ba a0 00 01 11 1b b0 01 10 01 1本讲稿第六十三页，共八十九页特征函数的性质特征函数的性质本讲稿第六十四页，共八十九页特征函数的性质特征函数的性质证明：当证明：当 时，时，由
39、于，由于 ，于是可能有这样几种情况：于是可能有这样几种情况：a)使使 ，使使 ，于是，于是b)但但 ，此时也有，此时也有c)并且并且 ，此时，此时当当 时，时，而，而 可得可得即当即当 时，时，得证。得证。本讲稿第六十五页，共八十九页特征函数的性质特征函数的性质本讲稿第六十六页，共八十九页特征函数特征函数例：用特征函数证明例：用特征函数证明 及解：解：故故因此，因此，本讲稿第六十七页，共八十九页设设E=x1,x2,xn，可以将，可以将E的任何一个子集的任何一个子集A表表示为示为 =,模糊子集模糊子集=,，A(xi)取取0和和1之间的之间的任何数，这样的集合就是一个模糊子集。任何数，这样的集合就
40、是一个模糊子集。本讲稿第六十八页，共八十九页第五章第五章 函数函数5.15.1函数的基本概念和性质函数的基本概念和性质5.25.2特殊函数特殊函数5.35.3函数的合成与合成函数的性质函数的合成与合成函数的性质5.45.4反函数反函数5.55.5特征函数特征函数5.65.6基数基数5.75.7二元运算二元运算本讲稿第六十九页，共八十九页5.6基数基数5.6.1 5.6.1 基数的基本概念基数的基本概念5.6.2 5.6.2 可数集和不可数集可数集和不可数集5.6.3 5.6.3 基数的比较基数的比较本讲稿第七十页，共八十九页5.6.1基数的基本概念基数的基本概念定义：设定义：设A和和B是两个集
41、合。从是两个集合。从A到到B如果存在如果存在一个双射函数一个双射函数f:AB，则称，则称A和和B是等位的或等是等位的或等势的，记作势的，记作AB，读作，读作A等势于等势于B。例：例：A=a,b,c，B=1,2,3，则，则AB例：设集合例：设集合N=0,1,2,，N1=0,2,4,6,在在N和和N1之间可以构造双射函数之间可以构造双射函数f(n)=2n，则则NN1，同时，同时 。本讲稿第七十一页，共八十九页定义：如果存在一个数定义：如果存在一个数n，使集合，使集合0,1,2,n-1到到集合集合A有双射函数，即集合有双射函数，即集合0,1,2,n-1与集合与集合A等势。那么称集合等势。那么称集合A
42、是有限的；否则称集合是有限的；否则称集合A是无限的。是无限的。例：例：A=a,b,c，B=0,1,2，AB，则，则A是有限是有限集集自然数集自然数集N是无限的。是无限的。本讲稿第七十二页，共八十九页定义：所有与集合定义：所有与集合A等势的集合所组成的集合，等势的集合所组成的集合，叫做集合叫做集合A的基数，记作的基数，记作KA或或|A|。本讲稿第七十三页，共八十九页例：例：A=a,b,c，B=0,1,2，C=桌子桌子,灯泡灯泡,教教室室,，因为，因为ABC，则，则KA=A,B,C,KA=KB=KC例：例：0，1(0，1)0，1)(1，0本讲稿第七十四页，共八十九页把空集的基数也记作把空集的基数也
43、记作0，把单元素集的基数记作，把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作，两个元素的集合的基数记作2，则任一个有，则任一个有限集的基数就等于集合包含的不同元素的个数限集的基数就等于集合包含的不同元素的个数。于是有限集的基数也就是传统概念下的。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个个数数”。对于无限集合，没有个数的概念，通对于无限集合，没有个数的概念，通过基数来描述集合的等势关系。所以，基数是过基数来描述集合的等势关系。所以，基数是个数概念的推广。个数概念的推广。本讲稿第七十五页，共八十九页5.6基数基数5.6.1 5.6.1 基数的基本概念基数的基本概念5.6.2 5.6.2 可数集和不
44、可数集可数集和不可数集5.6.3 5.6.3 基数的比较基数的比较本讲稿第七十六页，共八十九页可数集和不可数集可数集和不可数集定义：等势于自然数集合定义：等势于自然数集合N的任何集合，称为的任何集合，称为可数集。可数集。定义：如果集合定义：如果集合A是有限的或无限可数的，则称是有限的或无限可数的，则称A是可计数的或可列的；如果集合是可计数的或可列的；如果集合A是无限的且不是无限的且不是可数的，则称是可数的，则称A是不可计数的或不可列的。是不可计数的或不可列的。本讲稿第七十七页，共八十九页可数集和不可数集可数集和不可数集定理：定理：A为可数集合的充分必要条件是可以排列成为可数集合的充分必要条件是
45、可以排列成A=a1,a2,an,的形式。的形式。定理：任一无限集合，必含有可数子集。定理：任一无限集合，必含有可数子集。定理：任一无限集合必与其某一真子集等势。定理：任一无限集合必与其某一真子集等势。定理：可数集的任何无限子集是可数的。定理：可数集的任何无限子集是可数的。定理：设自然数集合定理：设自然数集合N，则，则NN是可数集。是可数集。定理：有理数的全体组成的集合是可数定理：有理数的全体组成的集合是可数 集。集。本讲稿第七十八页，共八十九页可数集和不可数集可数集和不可数集定理：实数集合定理：实数集合 是不可计数是不可计数的。的。证明证明：（反证法（反证法）假设）假设R1是可计数的，因此可把
46、是可计数的，因此可把R1的元的元素排成无穷序列素排成无穷序列 。任何小于。任何小于1的正数都可的正数都可表达成表达成 。这里。这里 ,而而y1,y2,有无有无穷个非零元素。例如，小数穷个非零元素。例如，小数0.2和和0.123可分别写成可分别写成0.1999和和0.122999。于是可把。于是可把R1的各元素表达成的各元素表达成 本讲稿第七十九页，共八十九页可数集和不可数集可数集和不可数集对于每一个对于每一个n1,可把上述元素一般地表示成可把上述元素一般地表示成 既然既然R1是可数的，则从实数集合是可数的，则从实数集合R1到自然数集合，到自然数集合，存在一个双射函数存在一个双射函数 ,xn的象
47、点是的象点是 ，即，即f(xn)=n。这样，映射。这样，映射f可给定成可给定成 于是，试构成一个实数于是，试构成一个实数 本讲稿第八十页，共八十九页可数集和不可数集可数集和不可数集这里，对于这里，对于 来说，如果来说，如果 ，则选定，则选定bj=1；如果；如果 ，则选定，则选定bj=2；如此等等。显然，；如此等等。显然，x与所有的元素与所有的元素 都不相同。因为在第一都不相同。因为在第一个位置上它不同于个位置上它不同于x1，在第二个位置上它不同于，在第二个位置上它不同于x2，如此等等。因此，如此等等。因此 ，亦即它不属于，亦即它不属于f的域，当的域，当然也就不存在从然也就不存在从R1到到N的双
48、射函数。这与假设相矛的双射函数。这与假设相矛盾，因此是盾，因此是R1不可计数的。不可计数的。本讲稿第八十一页，共八十九页5.6基数基数5.6.1 5.6.1 基数的基本概念基数的基本概念5.6.2 5.6.2 可数集和不可数集可数集和不可数集5.6.3 5.6.3 基数的比较基数的比较本讲稿第八十二页，共八十九页基数的比较基数的比较定义：设定义：设A和和B为两个集合为两个集合(a)如果如果AB，就称，就称A和和B的基数相等，记为的基数相等，记为|A|=|B|(b)如果存在从如果存在从A到到B的入射，就称的入射，就称A的基数小于等于的基数小于等于B的基的基数，记为数，记为|A|B|。(c)如果存
49、在一个从如果存在一个从A到到B的入射，但不存在双射，就称的入射，但不存在双射，就称A的的基数小于基数小于B的基数，记为的基数，记为|A|B|。规定：自然数集合的基数为规定：自然数集合的基数为 ，读作阿列夫零；，读作阿列夫零；实数集合实数集合R的基数为的基数为 ，读作阿列夫一。，读作阿列夫一。本讲稿第八十三页，共八十九页基数的比较基数的比较例：用图解法来说明例：用图解法来说明R1的基数是的基数是 解：即说明解：即说明用无限长的坐标轴表示集合用无限长的坐标轴表示集合R，亦即直线上的各点，亦即直线上的各点表示了不同的实数；用有限长的线段表示集合表示了不同的实数；用有限长的线段表示集合R1，亦即线段上
50、的各点，表示亦即线段上的各点，表示0和和1之间的不同实数。接之间的不同实数。接着把线段着把线段R1弯曲成半圆，并使弯曲成半圆，并使R轴与半圆相切于线轴与半圆相切于线段的中间点，如下图所示。如果从半圆的中心引出段的中间点，如下图所示。如果从半圆的中心引出直线，并与半圆和轴相交，则各交点必成对地出现，直线，并与半圆和轴相交，则各交点必成对地出现，从而形成了从从而形成了从R1到到R的双射函数。因此的双射函数。因此R1和和R具有具有同样的基数同样的基数 。本讲稿第八十四页，共八十九页基数的比较基数的比较实际上，对于处于任何区间的实数集合实际上，对于处于任何区间的实数集合(a,b)=x|xR并且并且ax