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1、第五节高阶偏导数本讲稿第一页，共三十一页 多元函数的高阶偏导数与一元函数的多元函数的高阶偏导数与一元函数的高阶导数类似高阶导数类似:一般情况下一般情况下,函数函数的的偏导数偏导数还是还是的函数的函数,如如果果的偏导数还存在的偏导数还存在,则称它们则称它们的偏导数为的偏导数为的二阶偏导数的二阶偏导数.本讲稿第二页，共三十一页即即:函数一阶偏导数的偏导数函数一阶偏导数的偏导数,称为原来函数称为原来函数的二阶偏导数的二阶偏导数.函数二阶偏导数的偏导数函数二阶偏导数的偏导数,称为原来函数称为原来函数的三阶偏导数的三阶偏导数.二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数.依此类推依此
2、类推,可定义多元函数的更高阶可定义多元函数的更高阶的偏导数的偏导数.本讲稿第三页，共三十一页二元函数二元函数二阶偏导数二阶偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数.对对的二阶偏导数的二阶偏导数.对对的混合的混合对对二阶偏导数二阶偏导数.本讲稿第四页，共三十一页二阶偏导数的记号二阶偏导数的记号:二元函数的二阶偏导数共 22=4 项本讲稿第五页，共三十一页二元函数二元函数三阶偏导数三阶偏导数本讲稿第六页，共三十一页二元函数二元函数的三阶偏导数的三阶偏导数 共共2 23 3=8=8项项.本讲稿第七页，共三十一页例例1 求求的二阶偏导数的二阶偏导数.解解本讲稿第八页，共三十一页例例2 求求处的二阶混合偏导数处的
3、二阶混合偏导数.问题问题:混合偏导数都相等吗混合偏导数都相等吗?在在解解当当时时,本讲稿第九页，共三十一页当当时时,本讲稿第十页，共三十一页显然显然本讲稿第十一页，共三十一页问题问题:在什么条件下混合偏导数相等在什么条件下混合偏导数相等?定理定理若若和和在点在点处连续处连续,则则这样以来这样以来,如果二元函数对如果二元函数对 求求 次次,对对 求求 次的混合高阶偏导数连续次的混合高阶偏导数连续,对自变量求偏导时可不分顺序对自变量求偏导时可不分顺序,它们它们都是相等的都是相等的(反复利用上述定理反复利用上述定理).).其它多其它多元函元函数类似数类似.本讲稿第十二页，共三十一页例例2 设设求求解
4、解本讲稿第十三页，共三十一页例例3 所确定的函数所确定的函数求求解解则则故故本讲稿第十四页，共三十一页本讲稿第十五页，共三十一页例例:还是还是 的函数的函数!注意注意:抽象复合函数求高阶偏导数时抽象复合函数求高阶偏导数时,仍为抽象复合函数仍为抽象复合函数.本讲稿第十六页，共三十一页例例4 设设求求解解令令则则有连续的二阶偏导数有连续的二阶偏导数,本讲稿第十七页，共三十一页令令则则本讲稿第十八页，共三十一页例例5 设设具有二阶具有二阶连续偏导连续偏导,求求解解本讲稿第十九页，共三十一页例例6 设设其中其中二阶偏导连续二阶偏导连续,求求二阶二阶可导可导,解解 记记本讲稿第二十页，共三十一页例例7
5、设设求求解解本讲稿第二十一页，共三十一页本讲稿第二十二页，共三十一页例例8 设设可把方程可把方程:简化为简化为求常数求常数解解 ,若若由由本讲稿第二十三页，共三十一页本讲稿第二十四页，共三十一页将上述结果代入原方程得将上述结果代入原方程得:依题意依题意:得得本讲稿第二十五页，共三十一页例例9 设设求求解解 本讲稿第二十六页，共三十一页本讲稿第二十七页，共三十一页例例10 设设其中其中均二次可导均二次可导,求求解解 记记则则本讲稿第二十八页，共三十一页例例11 设设存在二阶连存在二阶连偏导数偏导数,且且求求解解 记记则则本讲稿第二十九页，共三十一页本讲稿第三十页，共三十一页小结：小结：一、二阶以及二阶以上的称为高阶一、二阶以及二阶以上的称为高阶 偏导数偏导数.二、若二、若和和在点在点 处连续处连续,则则本讲稿第三十一页，共三十一页