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1、解释结构模型与层次分析法等的注记 摘要针对系统工程中解释结构模型、层次分析和模糊评价等问题的某些方法提出一些见解,指出了某些文献中的错误并提出了修正意见。关键词解释结构模型可达矩阵层次分析模糊评价Notes about the Methods of ISM,AHP and Fuzzy AppraisalWu Zhenkui(Dept.of Computer Information Eng.,Tianjin University of Commerce Tianjin 300400)Abstract In this article the author puts forward some ide
2、as about the methods of ISM,AHP andFuzzy appraisal.At the same time he points out some mistakes in those methods and suggests someways to correct them.Key wordsinterpretative structural modelingreachability matrixanalytic hierarchy processfuzzy appraisal解释结构模型(ISM)与层次分析(AHP)是系统工程(SE)中的两个重要内容,理论与方法的讨
3、论似乎已近完善。文献 1,2是系统工程这门学科极有影响且质量很高的著述,但书中在处理这两个问题时犯有严重的方法或概念上的错误,此外,在处理模糊评价(FA)问题时也犯了方法上的错误,它们似乎并未被人们察觉,以至这些错误出现在其他类似的著述中,笔者将它们写出来求教于大家。1 解释结构模型中的可达矩阵在解释结构模型法(ISM)中,首先要建立可达矩阵,接下来是将其约(简)化,经排序(级间划分)以获结构模型。排序常用的方法有两种:1)可达集与前因集交集法;2)矩阵对角子块(单位阵)排列法。但上述问题的关键仍是建立可达矩阵,可达矩阵寻找的方法有 3:1)邻接矩阵加单位矩阵自乘(按布尔代数运算法则)法;2)
4、上下位集推断法(包括解自蕴涵方程);收稿日期:1998-03-11 3)经验对话法。前两方法中除了解自蕴涵方程有时会遇到麻烦(多解,因而常须讨论)外,均可较方便地求出可达矩阵(当然计算量很大)。但笔者想指出:方法 3)虽可免去矩阵计算之繁,但有时并不能给出可达矩阵。文献 1,2均给出了下面的例子:例今以讨论人口系统影响总人口增长问题为例,介绍在应用 ISM时,如何根据人们的经验和对话过程,直接求得可达矩阵,并据此建立解释结构模型。影响人口增长的因素很多,其中主要因素有 11种,经过分析讨论以确定它们之间的关系,如图 1所示。图 1 影响人口增长的因素间关系书中解释:在图 1中,因素 1是期望寿
5、命,它与死亡率这一因素有关,同时也与总人口有关。因为期望寿命提高了,死亡率就降低了,这样总人口数也就相应增长了。于是在期望寿命这一行中找到与死亡率和总人口两列相交叉的空格上,记上符号“V”,表示有关系。又如因素 2是医疗保健水平,它与期望寿命和国民生育能力有关,同时与死亡率、总人口也有关。于是在医疗保健水平一行中找到与期望寿命一列所交叉的空格上记上符号,因空格位于要素 2的上部,故符号用“A”表示。同时,再在该行中找到与国民生育能力、死亡率、总人口等三列相交叉的空格上,记上符号“V”,依次类推,可得如图 1所示的关系图。之后,书中又写道:接着,就可以根据图 1所示关系建立可达矩阵。即在图 1所
6、示关系基础上加上单位矩阵即可。如第一行因素 S1与第一列要素 S1可达,故在第一行第一列的空格上记上元素“1”,且因素 S1与 S11、S12有关,故在第 1行的 11、12两列的所交叉的空格上分别记上元素“1”。依次类推,可建立人口增长可达矩阵。46天津商学院学报第 5期上述矩阵经过约化(缩减)、排序后为矩阵:根据经过排序的缩减可达矩阵,即可建立结构模型如图 2所示。这时要素 S5(约化时划去的要素)可以画在结构模型图上。图 2 结构模型很容易看到:在结构模型上 S2到 S10是可达的,但从前面的可达矩阵上却反映不出这一点(顺便讲一句:利用前因可达集交集法所得结构模型与上相同)。原因何在?稍
7、加计算便不难发现:上面建立的矩阵并非可达阵。大家知道:若矩阵 A为可达矩阵,则 A2=A。但计算一下 A2=(aij)nn中元素 a2,10=1,而 A=(ai j)nn中元素 a2,10=0,显然 A2A,知 A不是可达矩阵。笔者想指出:这儿并非分析有错误,也不是计算过程有疏漏,原因在于这种方法本身欠妥,至少方法是不完备的。这就是说:利用经验对话法建立的矩阵并不一定是可达矩阵,换言之,这种方法所得矩阵仍须通过实施布尔代数法则相乘去建立可达阵。2 判断矩阵中的最大特征根层次分析法(AHP)的核心是建立所谓判断矩阵 A=(ai j)nn接着是检验其相容性和误差分析,这往往涉及矩阵最大特征根 ma
8、x和相容性指标 C.I.:C.I.=max-nn-1(n为矩阵阶数)当然,如果检验了判断矩阵完全相容时(这绝非是件轻松的事)可以断定:max=n。但当判断矩阵不完全相容时,计算 max(此时 max n)是件很困难的事(特别是当矩阵阶数较大时),具体方法可见文献 3等。47 1998年 9月吴振奎:解释结构模型与层次分析法等的注记 原文献中矩阵 5、6行 3列元素均为 0,系误,今改正。这样人们往往用近似计算方法去求 max,通常有下述两种方法,但方法的核心是先求矩阵的对应于 max的特征向量近似值。方法有 2:1)和积法列元归一a-ij=ai j/ni=1ai j(j=1,2,n)求行和 w
9、i=nj=1a-ij(i=1,2,n),然后归一 w-i=wi/ni=1wi;则w=(w-1,w-2,w-n)即为 A的从属于 max的特征向量近似值。2)方根法求行元素几何均值 wi=nnj=1aij(i=1,2,n);将 wi归一w-i=wi/nj=1wi(i=1,2,n)则 w=(w-1,w-2,w-n)即为 A的从属于 max的特征向量近似值。接下来即可据 max的近似特征向量反求 max。文献 1同样提供了例子和解法如下:如判断矩阵 A为:1 1333 1 513151则可求 w=(w1,w2,w3)T如下:w1=31 13 3=1 w2=33 1 5=2.47 w3=31315 1
10、=0.41接着进行归一化处理,即wA=1+2.47+0.41=3.88故w01=13.88=0.258 w02=2.473.88=0.636 w03=0.413.88=0.106为了判断其相容性(判断阵 A被判断为 A,而 w 反映了带偏差的相对重要度),文中接着写到:如 A 为A=1 1333 1 513151则根据 A w=w前已计算w=(0.258,0.636,0.106)则 A w=1 1333 1 5131510.2580.6360.106=1000200030.2580.6360.10648天津商学院学报第 5期=w解得0.258 10.636 20.106 3=0.7881.94
11、00.319即1=0.7880.258=3.054 2=1.9400.636=3.050 3=0.3190.106=3.009可得max=1=3.054故 C.I.=max-nn-1=3.054-33-1=0.027 0.10故上面所得的 w 是可以被接受的,即上面所计算的相对重要度向量是可以被接受的。笔者同样想指出,这儿认为 max=1是犯了一个严重的概念错误(当然,从计算意义上讲也许无碍大局)。如上所述,所求 w=(w-1,w-2,w-n)T是 A的关于 max的特征向量近似值,其实对应它的只有一个特征根(由文献 4知:对判断矩阵 A而言,max是单根),换言之这儿的 1,2,3均应视为
12、max的近似值,而决不是它们中的最大者即为 max。由于 w为 max的近似特征向量,一般来讲 Aw=maxw是无解的,为此设=12 n而由 Aw=w解出 i(i=1,2,n),然后令max1nni=1i此即为 A的最大特征根的近似值。3 模糊评价法中的计算模糊评价(FA)是应用模糊集理论对系统进行综合评价的一种方法,其对象可以是工程技术系统或社会经济系统的各种替代方案,通过模糊评价能获得各种替代方案优先顺序的有关信息。其大致步骤为:确定系统评价项目集 F=f1,f2,fn及每个项目的评价尺度集 E=e1,e2,em;确定项目评价权重 W=w1,w2,wn。再据上述评价尺度对项目进行评定,并建
13、立隶属矩阵Rk=(rkij)nm,其中rkij=dkijd,d为参评专家人数;dki j为方案 Ak的评价项目 fi关于评价尺度 ej的专家人数。计算方案 Ak的综合评价向量 Sk=(sk1,sk2,skm):Sk=W Rk这儿模糊综合评价向量 Sk描述所有评价项目属于评价尺度 ej的权和。49 1998年 9月吴振奎:解释结构模型与层次分析法等的注记最后计算各方案 Ak的优先度 Nk=Sk ET,此时可据方案优先度 Nk的大小决定其优先次序。笔者想强调的是:模糊评价法是在模糊论域上的评价方法,这儿的运算皆是以模糊数学理论为基础的运算,换言之,通常数域上的运算规则已不再适用,否则将导致严重的概
14、念错误,然而文献 1给出的范例正是犯了这样一个大错误,现将原例及解法1抄录于后:例某省科委为确定某一学科领域的同类科研课题 A1、A2、A3、A4、A5的优先顺序,特邀请 9名专家应用模糊评价法对其进行评价。通过讨论,确定评价项目集 F由 5个项目组成,即立题必要性(f1),技术先进性(f2),实施可行性(f3),经济合理性(f4),社会效益(f5)等组成。并确定相应的权重如表 1所示。同时,确定评价尺度分为 5级,如立题必要性有:非常必要(0.9分),很必要(0.7分),必要(0.5分),一般(0.3分),不太必要(0.1分)等。表 1评价项目权重及评价尺度表评价项目集(F)立题必要性(f1
15、)技术先进性(f2)实施可行性(f3)经济合理性(f4)社会效益(f5)权重(W)0.150.200.100.250.30评价尺度0.9050040.7634740.5314210.3001000.100000接着,按照评价尺度,对替代方案 A1的各评价项目进行评价。由表 1可知,对 A1的立题必要性(f1),有 6位专家认为很必要,有 3位专家认为必要,为此计算各评价尺度的隶属度如下:r111=d111d=09=0,r112=69=0.67,r113=39=0.33,r114=09=0,r115=09=0,Rk 1=(0,0.67,0.33,0,0)据表所示信息,可得 A1的隶属度矩阵 R1
16、如下:R1=00.670.33000.560.330.110000.440.440.12000.780.22000.440.440.1200计算综合评定向量 S1如下:S1=W R1=(0.15,0.20,0.10,0.25,0.30)00.670.33000.560.330.110000.440.440.12000.780.22000.440.440.1200=(0.244,0.538,0.206,0.012,0)则 A1的优先度 N1为50天津商学院学报第 5期N1=S1ET=(0.244,0.538,0.206,0.012,0)0.90.70.50.30.1=0.7028同样,可求出 A
17、2 A5的优先度为N2=0.4702,N3=0.4137,N4=0.5634,N5=0.6436。据此,5个课题的优先排序为:A1,A5,A4,A2,A5。这里,S1=WR1的计算按照了通常向量、矩阵乘法法则显然有悖于模糊论域这一事实,它必然犯了一个严重错误,S1的算法应为 S1=W R1=ni=1(wi rij)这里 表示取小,表示取大之意,N1的算法亦然(其余类同)。系统工程是一门新兴的学科,正是由于新才使关于它的著述难免会有瑕疵,本文的目的只是指出某些著述中方法的欠缺,期待更为完美的系统工程论著诞生。参考文献1 汪应洛主编.系统工程理论方法与应用,北京:高等教育出版社,1994.73 77,223 231,239 2412 李龙洙等.系统工程原理及其应用.延边:延边大学出版社,1993.44 473 许树柏.层次分析原理.天津:天津大学出版社,1988.41 434 威尔金森J.H.代数特征值问题.北京:科学出版社,19875 陈贻源.模糊数学.武汉:华中工学院出版社,198451 1998年 9月吴振奎:解释结构模型与层次分析法等的注记