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1、关于连续时间美式期权定价模型第一页，讲稿共三十九页哦n因为美式期权没有固定的执行时间，学因为美式期权没有固定的执行时间，学者很难用解析模型为美式期权定价。本者很难用解析模型为美式期权定价。本章主要介绍作者章主要介绍作者2008年提出的连续时间年提出的连续时间美式期权定价模型。内容包括股票价格美式期权定价模型。内容包括股票价格行为模型，连续时间美式期权定价模型。行为模型，连续时间美式期权定价模型。第二页，讲稿共三十九页哦16.1 美式期权定价模型概述美式期权定价模型概述n19731973年，年，Fischer BlackFischer Black、Myron ScholesMyron Schol
2、es和和Robert MertonRobert Merton在在欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性进展。提出欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性进展。提出不派息（和派息）股票期权定价模型，又称为不派息（和派息）股票期权定价模型，又称为Black-Black-ScholesScholes模型。该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据，模型。该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据，同时也促进了同时也促进了2020世界世界8080年代和年代和9090年代金融工程的发展。为了年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的贡献，表彰他们对人类所做出的贡献，Myron ScholesMyron S
3、choles和和Robert Robert MertonMerton于于19971997年获得诺贝尔经济学奖。遗憾的是年获得诺贝尔经济学奖。遗憾的是Fischer Fischer BlackBlack于于19951995年逝世。年逝世。nCoxCox、RossRoss和和 Rubinstein(1979)Rubinstein(1979)提出的二叉树模型，成为美提出的二叉树模型，成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收敛速度，式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收敛速度，HullHull和和WhiteWhite（19941994）提出三叉树模型。）提出三叉树模型。Boyle(1977)B
4、oyle(1977)提出提出蒙特卡罗模拟模型。蒙特卡罗模拟模型。BrennanBrennan和和Schwartz(1978)Schwartz(1978)提出有限差提出有限差分模型。分模型。Duan(1995)Duan(1995)提出提出GARCHGARCH（广义自回归条件异方差）模（广义自回归条件异方差）模型。型。第三页，讲稿共三十九页哦n经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续时间美经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续时间美式期权定价模型（式期权定价模型（20082008）,在此基础上又提出连续在此基础上又提出连续时间美式外汇期权定价模型（时间美式外汇期权定价模型（20092009），这
5、两个模），这两个模型的复杂程度与型的复杂程度与BSBS模型相似。通过实证研究，这两模型相似。通过实证研究，这两个模型的计算结果与二叉树模型相比，看涨期权个模型的计算结果与二叉树模型相比，看涨期权的最大相对误差仅为的最大相对误差仅为2.47%2.47%，看跌期权的最大误差，看跌期权的最大误差仅为仅为-0.6545%-0.6545%。第四页，讲稿共三十九页哦16.2 股票价格行为模型股票价格行为模型n假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者的假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者的期望收益率为期望收益率为 ，零时刻的股票价格为，零时刻的股票价格为 ，则持股，则持股 年股票价格的期望值
6、年股票价格的期望值 应为：应为：n （16-116-1）n公式（公式（16-116-1）与银行存款本金和利息的计算公式完全相同。）与银行存款本金和利息的计算公式完全相同。为本金；为本金；为银行存款利率；为银行存款利率；为存款年限；为存款年限；为为 年后的年后的本金和利息。为了数学处理上的方便，我们采用连续复利形式，本金和利息。为了数学处理上的方便，我们采用连续复利形式，则模型（则模型（16-116-1）变为：）变为：n （16-216-2）n从公式（从公式（16-2）中我们可以看出，当股票的价格波动为零时，）中我们可以看出，当股票的价格波动为零时，股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长，与银
7、行存款有相股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长，与银行存款有相同的增长方式。同的增长方式。第五页，讲稿共三十九页哦n由此可见，用公式（由此可见，用公式（16-216-2）表示）表示t t时刻股票价格的期望值时刻股票价格的期望值是合理的。把式（是合理的。把式（16-216-2）两边同除以）两边同除以 ，并取对数得到：，并取对数得到：n （16-316-3）n其中其中 是持股是持股 年的对数收益率，而不是年收益年的对数收益率，而不是年收益率，年收益率为率，年收益率为 。n假设假设 是单位时间内股票对数收益率的方差，则是单位时间内股票对数收益率的方差，则 为为 年年内收益率内收益率 的方差。只有
8、在公式的方差。只有在公式（16-316-3）中加入随中加入随机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。第六页，讲稿共三十九页哦n通过上面的分析，股票价格过程通过上面的分析，股票价格过程 可以用下列形式的随机可以用下列形式的随机过程来描述过程来描述n （16-416-4）n或或n （16-516-5）n其中：其中：为为 测度下的标准维纳（测度下的标准维纳（WienerWiener）过程，）过程，。n （16-616-6）n其中：其中：为标准正态分布变量，为标准正态分布变量，。第七页，讲稿共三十九页哦n公式（公式（16-516-5）两边同除以）两边同除以 ，并
9、取对数得到：，并取对数得到：n （16-716-7）n对数收益率服从下列形式的正态分布对数收益率服从下列形式的正态分布n （16-916-9）n方程（方程（16-516-5）是描述股票价格变化的合理模型。）是描述股票价格变化的合理模型。第八页，讲稿共三十九页哦16.3 无套利机会股票价格模型无套利机会股票价格模型n 一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素的影一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素的影响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风险投资。响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大，波动也较大，因此，而股票的价格受随机因素的影响较
10、大，波动也较大，因此，买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示：别用下列模型表示：n （16-1016-10）n （16-1116-11）n其中：其中：为为 时刻单位国债的价格；时刻单位国债的价格；为为 时刻股票的时刻股票的价格，元价格，元/股；股；为零时刻股票的价格，元为零时刻股票的价格，元/股；股；为国债为国债利率，又称为无风险利率；利率，又称为无风险利率；第九页，讲稿共三十九页哦n对股票价格贴现后得到对股票价格贴现后得到 时刻股票价格的现值：时刻股票价格的现值：n即即n （16-1216-12）n其中：随机变量其
11、中：随机变量 零时刻的值等于随机变量零时刻的值零时刻的值等于随机变量零时刻的值 ，即，即 。n下面推导式（下面推导式（16-1216-12）的微分形式。我们可以把式（）的微分形式。我们可以把式（16-1216-12）写成下列形式：）写成下列形式：n其中其中:第十页，讲稿共三十九页哦n令令n伊滕公式的一般形式为：伊滕公式的一般形式为：n因为因为第十一页，讲稿共三十九页哦n高级无穷小项高级无穷小项 和和 ，另外，另外 ，因此，因此n分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-1216-12）的随机微分方程：的随机微分方程：n n （16-131
12、6-13）n公式（公式（16-1216-12）和（）和（16-1316-13）表示同一随机过程，前者是该）表示同一随机过程，前者是该过程的积分形式，表示时刻股票价格的现值，而后者为过程的积分形式，表示时刻股票价格的现值，而后者为该过程的微分形式，表示时刻股票价格现值的变化。假该过程的微分形式，表示时刻股票价格现值的变化。假设债券市场和股票市场允许买空卖空。设债券市场和股票市场允许买空卖空。第十二页，讲稿共三十九页哦n当任意时刻股票价格现值变化的期望值等于零时，即当任意时刻股票价格现值变化的期望值等于零时，即 ，为，为 鞅过程，这时，市场没有套利机会。鞅过程，这时，市场没有套利机会。n当当 时，
13、股票的利润比国债高，投资者纷纷抛售时，股票的利润比国债高，投资者纷纷抛售国债，投资股票，国债的价格越来越低，而股票的价格越国债，投资股票，国债的价格越来越低，而股票的价格越来越高，直到套利机会消失为止。来越高，直到套利机会消失为止。n当当 时，股票的利润比国债低，投资者纷纷抛时，股票的利润比国债低，投资者纷纷抛售股票，投资国债，国债的价格越来越高，而股票的价售股票，投资国债，国债的价格越来越高，而股票的价格越来越低，直到套利机会消失为止。格越来越低，直到套利机会消失为止。n由此可见，在套利者的作用下，市场中的套利机会很少，由此可见，在套利者的作用下，市场中的套利机会很少，一旦出现，套利者就会蜂
14、拥而至，套利机会立即就会消一旦出现，套利者就会蜂拥而至，套利机会立即就会消失。由此可见，套利者的作用并不是一无是处，对金融失。由此可见，套利者的作用并不是一无是处，对金融市场有纠偏的作用。市场有纠偏的作用。第十三页，讲稿共三十九页哦n在方程（在方程（16-1316-13）中，包括两项，第一项为非随机项，期望值不）中，包括两项，第一项为非随机项，期望值不等于零，第二项为随机项，期望值为零。如果漂移率等于零，第二项为随机项，期望值为零。如果漂移率 ，则，则，这时，市场存在套利机会。根据，这时，市场存在套利机会。根据CMGCMG测度变测度变换定理，为了把股票价格现值过程变为鞅过程，令换定理，为了把股
15、票价格现值过程变为鞅过程，令n （16-1416-14）n则则n或或n （16-1516-15）第十四页，讲稿共三十九页哦n把公式（把公式（16-1516-15）代入公式（）代入公式（16-1316-13），得到鞅过程：），得到鞅过程：n （16-1616-16）n其中：其中：为为 测度下的布朗运动，测度下的布朗运动，；为为 测度下的测度下的布朗运动，布朗运动，。n在方程（在方程（16-1616-16）中，因为）中，因为 ，则，则 为为 测度下鞅过测度下鞅过程，这时，市场没有套利机会。利用伊滕定理，可以猜出随机程，这时，市场没有套利机会。利用伊滕定理，可以猜出随机微分方程（微分方程（16-16
16、16-16）的解：）的解：n （16-1716-17）n推导过程如下：令推导过程如下：令第十五页，讲稿共三十九页哦n令令n伊滕公式的一般形式为：伊滕公式的一般形式为：n因为因为第十六页，讲稿共三十九页哦n分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-16-1717）的随机微分方程（）的随机微分方程（16-1616-16）。用随机过程（）。用随机过程（16-1716-17）表）表示股票价格的现值，没有套利机会。根据模型（示股票价格的现值，没有套利机会。根据模型（16-1716-17），可），可以反推出股票以反推出股票t t时刻的价格过程：时刻的
17、价格过程：n即即n （16-1816-18）n用随机过程（用随机过程（16-1816-18）表示）表示t t时刻股票的价格没有套利机会。而时刻股票的价格没有套利机会。而方程（方程（16-516-5）则有套利机会。因此，方程（）则有套利机会。因此，方程（16-1816-18）将作为建立）将作为建立美式股票期权定价模型的基础。美式股票期权定价模型的基础。第十七页，讲稿共三十九页哦16.4 美式看涨期权定价模型美式看涨期权定价模型n 欧式看涨期权只有在到期日才能执行。期权的执行价格在签欧式看涨期权只有在到期日才能执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定期权到署期权和约
18、时就已经确定，因此，股票的到期价格决定期权到期时的价值。另外，看涨期权的买方支付期权费后，就获得了期时的价值。另外，看涨期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，买方有权执行期权，也有权不执行期权，因此，期一项权利，买方有权执行期权，也有权不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。每股看涨期权在执行日的价值可以表示权的价值总是大于零。每股看涨期权在执行日的价值可以表示为：为：n （16-1916-19）n其中：其中：为期权的到期时间，年；为期权的到期时间，年；为股票的到期价格，元为股票的到期价格，元/股；股；为期权的执行价格，元为期权的执行价格，元/股；股；求求 测度下的期望值运算符。测度下的期
19、望值运算符。第十八页，讲稿共三十九页哦n 式（式（16-1916-19）是期权在执行时的价值，而看涨期权的买方）是期权在执行时的价值，而看涨期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对式（在签署和约时支付期权费，因此必须对式（16-1916-19）贴现后）贴现后才能得到每股欧式看涨期权的当前价值才能得到每股欧式看涨期权的当前价值 ：n （16-2016-20）n其中：其中：为期限为为期限为 的无风险零利率；的无风险零利率；为折现因子。为折现因子。n对于美式期权，投资者可以在到期日之前任何时刻执行。对于美式期权，投资者可以在到期日之前任何时刻执行。假设美式期权的投资者，买入美式期权后立即执行，投
20、假设美式期权的投资者，买入美式期权后立即执行，投资者可以把投资收益购买国债获得无风险收益。因此，资者可以把投资收益购买国债获得无风险收益。因此，美式期权应该是欧式期权的美式期权应该是欧式期权的 倍。倍。n （16-2116-21）第十九页，讲稿共三十九页哦n如果投资者购买股票看涨期权后，股票价格波动很大，立即执行如果投资者购买股票看涨期权后，股票价格波动很大，立即执行看涨期权对投资者有利，投资者就可能立即执行看涨期权。这时看涨期权对投资者有利，投资者就可能立即执行看涨期权。这时美式看涨期权的执行时间为零。美式看涨期权的当前价值为：美式看涨期权的执行时间为零。美式看涨期权的当前价值为：n （16
21、-2216-22）n根据公式（根据公式（16-1816-18），我们知道，在到期日股票的价格为：），我们知道，在到期日股票的价格为：n （16-2316-23）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入式（16-2216-22），则得到美式期权的当前价值：），则得到美式期权的当前价值：n （16-2416-24）第二十页，讲稿共三十九页哦n因为维纳过程的数学表达式为：因为维纳过程的数学表达式为：n其中：其中：为标准正态分布变量为标准正态分布变量,。n因为期权的价值又必须大于零，因此因为期权的价值又必须大于零，因此n从中得到随机变量从中得到随机变量 的取值范围：的取值范围：第二十一页，讲
22、稿共三十九页哦n对公式（对公式（16-2416-24）求数学期望，就得到期权的当前价值：）求数学期望，就得到期权的当前价值：n （16-2516-25）n或者或者n （16-2616-26）n因为因为n式（式（16-2616-26）可以写成）可以写成n (16-27)(16-27)第二十二页，讲稿共三十九页哦n令令n (16-28)(16-28)n交换积分上下限，并改变积分上下限的符号。交换积分上下限，并改变积分上下限的符号。n (16-29)(16-29)n可以把式可以把式(16-29)(16-29)简写成式（简写成式（16-3016-30）n （16-3016-30）第二十三页，讲稿共三十
23、九页哦n令令,，则（则（16-3016-30）式变成式（）式变成式（16-3116-31）n （16-3116-31）n其中其中n同理，我们可以得到欧式看涨期权定价模型。同理，我们可以得到欧式看涨期权定价模型。n （16-3216-32）第二十四页，讲稿共三十九页哦n例题例题16-116-1美式看涨期权定价美式看涨期权定价 n假设股票的当前价格为假设股票的当前价格为2020元，期权的执行价格为元，期权的执行价格为20 20 元，期元，期权的期限为权的期限为6 6个月，无风险年利率为个月，无风险年利率为5%5%，股票的年波动率为，股票的年波动率为20%20%。求美式看涨期权的价值。求美式看涨期权
24、的价值。n解：因为解：因为 第二十五页，讲稿共三十九页哦n美式看涨期权的当前价值为：美式看涨期权的当前价值为：n该股票美式看涨期权当前的价值为该股票美式看涨期权当前的价值为1.461.46元元/股。股。第二十六页，讲稿共三十九页哦n欧式看涨期权的当前价值为：欧式看涨期权的当前价值为：n该股票欧式看涨期权当前的价值为该股票欧式看涨期权当前的价值为1.431.43元元/股。股。n因为美式期权又灵活的执行时间，因此，美式期权的价因为美式期权又灵活的执行时间，因此，美式期权的价值大于欧式期权的价值。值大于欧式期权的价值。第二十七页，讲稿共三十九页哦16.5 美式看跌期权定价模型美式看跌期权定价模型n如
25、果投资者预测股票的价格将会下跌，为了保值或投机，如果投资者预测股票的价格将会下跌，为了保值或投机，买入看跌期权。欧式看跌期权在到期日执行。期权的执买入看跌期权。欧式看跌期权在到期日执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定看跌期权到期时的价值。另外，看跌期权的期价格决定看跌期权到期时的价值。另外，看跌期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，当看跌期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，当看跌期权的价值大于零时就执行期权，否则就不执行期权，因此，价值大于零时就执行期权，否则就不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。
26、在到期日每股看跌期权的价值期权的价值总是大于零。在到期日每股看跌期权的价值为：为：n （16-3316-33）n看跌期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对公式看跌期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对公式（16-3316-33）贴现后才能得到每股欧式看跌期权的当前价值为：）贴现后才能得到每股欧式看跌期权的当前价值为：n （16-3416-34）第二十八页，讲稿共三十九页哦n投资者购买美式股票看跌期权后，如果股票价格急剧下跌，投资者购买美式股票看跌期权后，如果股票价格急剧下跌，投资者可以立即执行期权，获得的收益可以购买国债，获投资者可以立即执行期权，获得的收益可以购买国债，获得无风险
27、。这时，美式看跌期权的当前价值为：得无风险。这时，美式看跌期权的当前价值为：n （16-3516-35）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入式（16-3516-35），则得到看跌期权的当前价），则得到看跌期权的当前价值：值：n （16-3616-36）n把维纳过程，把维纳过程，代入（，代入（16-3616-36），而且期权的价值又必），而且期权的价值又必须大于零，因此须大于零，因此第二十九页，讲稿共三十九页哦n从中得到随机变量从中得到随机变量 的取值范围：的取值范围：n对公式（对公式（16-3616-36）求数学期望，就得到美式看跌期权的当）求数学期望，就得到美式看跌期权的当前价
28、值为：前价值为：n （16-3716-37）n为了方便积分，我们把式（为了方便积分，我们把式（16-3716-37）分成两项）分成两项n （16-3816-38）第三十页，讲稿共三十九页哦n在式（在式（16-3816-38）中，第一项就是标准正态密度函数积分。为）中，第一项就是标准正态密度函数积分。为了方便积分，我们可以变换第二项的指数形式：了方便积分，我们可以变换第二项的指数形式：n （16-3916-39）n （16-4016-40）n在（在（16-4016-40）中，令）中，令 ，得：，得：n （16-4116-41）第三十一页，讲稿共三十九页哦n在式（在式（16-4116-41）中，第
29、二项又变成标准正态密度函数的积分，）中，第二项又变成标准正态密度函数的积分，我们可以把它写成如下形式：我们可以把它写成如下形式：n （16-4216-42）n在式（在式（16-4216-42）中，令）中，令 ，则美式看跌，则美式看跌期权的当前价值可以表示为：期权的当前价值可以表示为：n （16-4316-43）第三十二页，讲稿共三十九页哦n其中：其中：n （16-4316-43）n同理，我们可以得到欧式看跌期权定价模型。同理，我们可以得到欧式看跌期权定价模型。n （16-4416-44）n下面举例说明美式看跌期权定价模型的用法。下面举例说明美式看跌期权定价模型的用法。第三十三页，讲稿共三十九页
30、哦n例题例题16-2 16-2 美式看跌期权定价美式看跌期权定价n考虑不分红考虑不分红5 5个月美式股票期权，股票的当前价格为个月美式股票期权，股票的当前价格为5050元，执元，执行价格为行价格为5050元，无风险利率为元，无风险利率为10%10%，股票对数收益率的年波，股票对数收益率的年波动率为动率为40%40%。求美式看涨期权和美式看跌期权的价值。求美式看涨期权和美式看跌期权的价值。n解：因为解：因为 第三十四页，讲稿共三十九页哦n美式看涨期权的当前价值为美式看涨期权的当前价值为6.416.41元元/股。股。第三十五页，讲稿共三十九页哦n美式看跌期权的当前价值为美式看跌期权的当前价值为4.
31、2864.286元元/股。股。n如果用二叉树模型计算美式看跌式期权的价值，当把期权如果用二叉树模型计算美式看跌式期权的价值，当把期权的持续时间划分成的持续时间划分成5 5、3030、5050和和100100个时间段时，看跌期权个时间段时，看跌期权的当前价值分别为的当前价值分别为4.494.49、4.2634.263、4.2724.272和和4.2784.278。当时间段。当时间段趋于无穷时，与连续模型的计算结果相同。趋于无穷时，与连续模型的计算结果相同。第三十六页，讲稿共三十九页哦n从前面的两个例子中，我们可以看出，在条件相同的情况从前面的两个例子中，我们可以看出，在条件相同的情况下，看涨期权
32、的价值大于看跌期权的价值，因为股票的价下，看涨期权的价值大于看跌期权的价值，因为股票的价格以无风险利率增长，股票在格以无风险利率增长，股票在T T时刻的期望值始终大于当前价时刻的期望值始终大于当前价值。值。n美式期权的价值大于欧式期权的价值，因为美式期权有灵活的执美式期权的价值大于欧式期权的价值，因为美式期权有灵活的执行时间，美式期权在执行时间上的灵活性可以用资金的时间价值行时间，美式期权在执行时间上的灵活性可以用资金的时间价值来衡量。来衡量。第三十七页，讲稿共三十九页哦n本章小结本章小结n与欧式期权相比，美式期权有更多的选择机会，投资者购与欧式期权相比，美式期权有更多的选择机会，投资者购买美
33、式期权的目的就是想获得这个选择机会。美式期权为买美式期权的目的就是想获得这个选择机会。美式期权为投资者提供的选择机会，也可以用资金的时间价值来衡量，投资者提供的选择机会，也可以用资金的时间价值来衡量，因此，美式期权的价值是欧式期权价值的因此，美式期权的价值是欧式期权价值的erT倍。与二叉树模倍。与二叉树模型相比，用连续时间模型和为美式期权定价，不仅形式简单，而型相比，用连续时间模型和为美式期权定价，不仅形式简单，而且是美式期权的真实价值。该方法的提出，大幅度地降低了美式且是美式期权的真实价值。该方法的提出，大幅度地降低了美式期权的定价成本。期权的定价成本。第三十八页，讲稿共三十九页哦12.10.2022感谢大家观看第三十九页，讲稿共三十九页哦