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1、第一节定积分的概念和性质第1页，共43页，编辑于2022年，星期一abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、定积分问题举例第2页，共43页，编辑于2022年，星期一abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）第3页，共43页，编辑于2022年，星期一观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播
2、放第4页，共43页，编辑于2022年，星期一曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，第5页，共43页，编辑于2022年，星期一曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为第6页，共43页，编辑于2022年，星期一实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值程的精确值第7页，共43页
3、，编辑于2022年，星期一（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值第8页，共43页，编辑于2022年，星期一二、定积分的定义定义定义第9页，共43页，编辑于2022年，星期一被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和第10页，共43页，编辑于2022年，星期一注意：注意：第11页，共43页，编辑于2022年，星期一定理定理1 1定理定理2 2存在定理存在定理第12页，共43页，编辑于2022年，星期一曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的曲边梯形的
4、面积的负值负值定积分的几何意义定积分的几何意义第13页，共43页，编辑于2022年，星期一几何意义：几何意义：第14页，共43页，编辑于2022年，星期一例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解第15页，共43页，编辑于2022年，星期一第16页，共43页，编辑于2022年，星期一对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质第17页，共43页，编辑于2022年，星期一证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的
5、情况）性质性质1 1第18页，共43页，编辑于2022年，星期一证证性质性质2 2第19页，共43页，编辑于2022年，星期一补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3第20页，共43页，编辑于2022年，星期一证证性质性质4 4性质性质5 5第21页，共43页，编辑于2022年，星期一解解令令于是于是第22页，共43页，编辑于2022年，星期一性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）第23页，共43页，编辑于2022年，星期一证证说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的
6、.性质性质5 5的推论：的推论：（2）第24页，共43页，编辑于2022年，星期一证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6第25页，共43页，编辑于2022年，星期一解解第26页，共43页，编辑于2022年，星期一解解第27页，共43页，编辑于2022年，星期一第28页，共43页，编辑于2022年，星期一证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式第29页，共43页，编辑于2022年，星期一使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：第30
7、页，共43页，编辑于2022年，星期一五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限第31页，共43页，编辑于2022年，星期一定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小第32页，共43页，编辑于2022年，星期一思考题思考题1将和
8、式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.第33页，共43页，编辑于2022年，星期一思考题思考题1解答解答原式原式第34页，共43页，编辑于2022年，星期一思考题思考题2第35页，共43页，编辑于2022年，星期一思考题思考题2解答解答例例第36页，共43页，编辑于2022年，星期一练练 习习 题题 1第37页，共43页，编辑于2022年，星期一第38页，共43页，编辑于2022年，星期一练习题练习题1答案答案第39页，共43页，编辑于2022年，星期一练练 习习 题题 2第40页，共43页，编辑于2022年，星期一第41页，共43页，编辑于2022年，星期一第42页，共43页，编辑于2022年，星期一练习题练习题2答案答案第43页，共43页，编辑于2022年，星期一