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1、第一讲代数系统第一讲代数系统1第1页，共36页，编辑于2022年，星期一代数结构（系统）代数结构（系统）抽象抽象代数（代数（abstract algebra ）n在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被称在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被称为代数结构（为代数结构（algebra structures），或代数系统），或代数系统n不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义，不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义，抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的一抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数学
2、结般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数学结构进行分类研究。构进行分类研究。2第2页，共36页，编辑于2022年，星期一1.代数系统代数系统n代数的定义代数的定义 一个非空集合一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,fn，所组成的系统称为一个代数系统，简称所组成的系统称为一个代数系统，简称代数代数。代数系统常用一个多元序组代数系统常用一个多元序组来表示，来表示，其中其中 A是载体，是载体，D，*，为各种运算。为各种运算。代数系统的组成代数系统的组成p载体载体(非空集合非空集合A)p定义在载体定义在载体A上的若干运算上的若干运算(f1,f
3、2,fn)p代数常元代数常元第一讲第一讲 6.1代数结构代数结构3第3页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题【例题1】(a)整数集合整数集合I，以及定义在该集合上的普通加法运算，以及定义在该集合上的普通加法运算“+”组组成一个代数系统，可记作成一个代数系统，可记作载体载体I定义在定义在I上的运算上的运算+常数常数0(b)一个有限集合一个有限集合S，由，由S的幂集的幂集(S)，及定义在，及定义在(S)上的上的 交、并、补运算组成一个代数系统交、并、补运算组成一个代数系统 。4第4页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构n代数结构的研究对象：不是单个
4、具体的代数，而是一种类。代数结构的研究对象：不是单个具体的代数，而是一种类。那么，什么样的两个代数是同一种类的？那么，什么样的两个代数是同一种类的？1.要有相同的构成成分要有相同的构成成分2.要有一组相同的称为公理的规则要有一组相同的称为公理的规则【例题【例题2 2】考虑】考虑、是否与是否与具有相同具有相同形式的构成成分且也具有下述公理？形式的构成成分且也具有下述公理？1.1.a+b=b+aa+b=b+a2.2.(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)3.3.a+0=0+aa+0=0+a 5第5页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构nn元代数运算元代数
5、运算 设设A1,A2,An,A是非空集合，是非空集合，f是从是从A1A2An 到到A的一个映射，则称的一个映射，则称f为从集合为从集合A1A2An到到A的一的一个个n元代数运算，简称运算，元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。称为代数运算的阶。xnx3fx2x1y6第6页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构nn元代数运算的封闭性元代数运算的封闭性 设设f是从是从An到到B的一个映射，的一个映射，f 被称为集合被称为集合An 上的一个上的一个n元代元代数运算。若数运算。若B A，则称该，则称该n元运算在集合元运算在集合A上是封闭的。上是封闭的。特别地，特别地，设设f是从
6、是从A到到A的映射，则称的映射，则称f是一个在是一个在A上封闭的上封闭的一元运算一元运算。设设f是从是从A2到到A的映射，则称的映射，则称f是一个在是一个在A上的封闭的上的封闭的二元运算二元运算。7第7页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构定义：定义：运算表运算表 当集合当集合A是有限集时，例如是有限集时，例如A=a1,a2,an，则，则A上一元代数上一元代数运算和二元代数运算分别用如表运算和二元代数运算分别用如表(a)和和(b)所示的运算表来表所示的运算表来表示。示。a1 a2 ana1a2an a1 a1 a1 a2 a1 an a2 a1 a2 a2 a2 an a
7、n a1 an a2 an an(ai)a1a2an(a1)(a2)(an)(a)(b)运算符运算符集合集合A A运算结果运算结果8第8页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题例题3 3】一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料，任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料，如下表如下表 设集合设集合A A55角，角，1 1元元，集合，集合B B 雪碧，可乐，酷儿雪碧，可乐，酷儿，则上表其实是一个从则上表其实是一个从AAAA到到B B的一个映射，也即一个从的一个
8、映射，也即一个从A A2 2到到B B的一个二元运算。问运算的一个二元运算。问运算在在A A上是否封闭？上是否封闭？答：不封闭答：不封闭5角1元5角雪碧可乐1元可乐酷儿9第9页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题【例题4 4】设有正整数集设有正整数集I I+，“+”“+”是是I I+上的普通加法运算。在上的普通加法运算。在I I+上定义上定义二元运算二元运算*为：任取为：任取x,yx,yI I+,x*y=x+y,x*y=x+y。令。令 S=S=2k|k2k|kI I+=2,4,6,8,2,4,6,8,T=T=n|n n|n I I+,n,n能整能整30 30 =1,
9、2,3,5,6,10,15,30 1,2,3,5,6,10,15,30 问运算问运算*在在S S和和T T上是否封闭上是否封闭?解：在解：在S上封闭，在上封闭，在T上不封闭。上不封闭。10第10页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质2.2.代数运算性质代数运算性质n性质一性质一p交换律交换律 设设*是定义在集合是定义在集合A A上的一个二元运算，如果任取上的一个二元运算，如果任取x,yAx,yA，都有，都有 x*y=y*xx*y=y*xx*y=y*xx*y=y*x，则称该二元运算是可交换的。则称该二元运算是可交换的。【例题【例题5 5】设设Q Q是
10、有理数集合，是有理数集合，是是Q Q上的二元运算，对任意上的二元运算，对任意a,bQa,bQ,ab=a+b-abab=a+b-ab,其中其中+和和是普通的加法、乘法运算，问是普通的加法、乘法运算，问是否是可交换的？是否是可交换的？11第11页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质n性质二性质二p结合律结合律 设设*是定义在集合是定义在集合A A上的一个二元运算，如果对于任意上的一个二元运算，如果对于任意x,y,zAx,y,zA ，都有，都有 x*(y*z)=(x*y)*zx*(y*z)=(x*y)*zx*(y*z)=(x*y)*zx*(y*z)=(x
11、*y)*z 则称该二元运算是可结合的。则称该二元运算是可结合的。【例题例题6 6】设设A A是一个非空集合，是一个非空集合，*是是A A上的一个二元运算，对于任意上的一个二元运算，对于任意a,b Aa,b A,有有a*b=ba*b=b,证明运算证明运算*是可结合的。是可结合的。证明思路：任取证明思路：任取a,b,ca,b,cAA,证明证明a*(b*c)=c,(a*b)*c=ca*(b*c)=c,(a*b)*c=c 所以，所以，a*(b*c)=(a*b)*ca*(b*c)=(a*b)*c，*运算是可结合的。运算是可结合的。12第12页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数
12、运算性质代数运算性质n性质三性质三p分配律分配律 设设*和和是定义在集合是定义在集合A A上的二元运算，如果对任意的上的二元运算，如果对任意的a,b,cAa,b,cA，都有，都有 *对对左可分配左可分配 *对对右可分配右可分配 则称则称*对对是可分配的。是可分配的。13第13页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质【例题【例题7 7】设集合设集合A=A=,在在A A上定上定义义两个二元运算两个二元运算*和和 ，如下，如下表表(a)(a)和和(b)(b)所示。所示。运算运算对运算对运算*可分配吗？运算可分配吗？运算*对运算对运算呢？呢？n只能用穷举的方
13、法来计算：左右都可分配才是可分配；只能用穷举的方法来计算：左右都可分配才是可分配；n答：答：对对*是可分配的；是可分配的；*对对不可分配：不可分配：*()*(a)(b)14第14页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质n性质四性质四p吸收律吸收律 设设*和和是定义在集合是定义在集合A A上的两个可交换的二元运算，如上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的果对于任意的x,yAx,yA,都有都有 x x*(x(x y y)=x,x)=x,x(x(x*y y)=x)=x 则称运算则称运算*和和满足吸收律。满足吸收律。15第15页，共36页，编辑于2022年
14、，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质【例题【例题8 8】设集合设集合N N是自然数全体，在是自然数全体，在N N上定义两个二元运算上定义两个二元运算*与与，对，对于任意于任意x,yx,y N，有，有 x*y=max(x,y),xx*y=max(x,y),xx*y=max(x,y),xx*y=max(x,y),x y=min(x,y)y=min(x,y)y=min(x,y)y=min(x,y)验证运算验证运算*与与满足吸收律。满足吸收律。解：对于任意解：对于任意a,b N，a*(aa*(ab)=max(a,min(a,b)=ab)=max(a,min(a,b)=a a a(a*
15、b)=min(a,max(a,b)=a(a*b)=min(a,max(a,b)=a 因此，因此，*与与满足吸收律。满足吸收律。16第16页，共36页，编辑于2022年，星期一2022/10/126.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质n性质五性质五p等幂律等幂律 设设*是定义在集合是定义在集合A A上的一个二元运算，如果对于上的一个二元运算，如果对于任意任意xAxA,都有都有 x*x=xx*x=xx*x=xx*x=x,则称运算则称运算*满足等幂律。满足等幂律。17第17页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质【例题【例题9】设设(S)是集合是集
16、合S S上的幂集，在上的幂集，在(S)上定义两个二元运上定义两个二元运算：集合的并运算算：集合的并运算和集合的交运算和集合的交运算，验证，验证 和和满足吸收律和等幂律。满足吸收律和等幂律。解答：解答：和和运算是可交换的。运算是可交换的。A,B(S),有有 A(A B)=A A(AB)=A所以所以 和和满足吸收律。又有满足吸收律。又有 A A=A A A=A所以所以 和和满足等幂律。满足等幂律。18第18页，共36页，编辑于2022年，星期一2022/10/126.1代数结构代数结构代数运算性质代数运算性质n性质六性质六p可约律可约律(消去律消去律)设设*是定义在集合上的一个二元运算，元素是定义
17、在集合上的一个二元运算，元素a A,如果对于任意如果对于任意x,y A,都有都有 a*x=a*y x=y a是左可约的是左可约的 x*a=y*a x=y a是右可约的是右可约的 则称则称a关于运算关于运算*是可约的。若是可约的。若A中的所有元素都是中的所有元素都是可约的，则称运算可约的，则称运算*满足可约律。满足可约律。19第19页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构-代数常元代数常元3.代数常元代数常元 代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性质的元素称为代数常元，常见的有：质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零
18、元、逆元、幺元、零元、逆元、等幂元等幂元等。等。20第20页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构n幺元幺元p左幺元左幺元：设：设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，若存上的一个二元运算，若存在元素在元素el，对于，对于A中的每一个元素中的每一个元素x，都有，都有 el*x=x 则称则称el为为A中关于运算中关于运算*的左幺元。的左幺元。p右幺元右幺元：设：设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，若存上的一个二元运算，若存在元素在元素er，对于，对于A中每一个元素中每一个元素x,都有都有 x*er=x 则称则称er为为A中关于运算中关于运算*的右幺元。的右
19、幺元。p幺元幺元：设：设*是定义在集合是定义在集合A上一个二元运算，若上一个二元运算，若A中有中有一个运算一个运算e,它既是左幺元，又是右幺元，则称它既是左幺元，又是右幺元，则称e为为A中中关于运算关于运算*的幺元，亦称作单位元。的幺元，亦称作单位元。e*x=x*e=x21第21页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题例题9】设集合设集合S=a,b,c,d,S上定义的两个二元运算上定义的两个二元运算*和和的运的运算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺元。算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺元。解：解：b,d都是都是S中关于运算中关于运算*的左幺元，的左幺元，a是
20、是S中关于中关于运算运算的右幺元。的右幺元。*a b c dabcdd a b ca b c da b c ca b c da b c d abcda b d cb a c dc d a bd d b c(a)(b)22第22页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构定理定理1设设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在A中有关于运算中有关于运算*的左幺元的左幺元el和右幺元和右幺元er,则则el=er=e,且且A中的幺元是唯一的。中的幺元是唯一的。证明思路：先证证明思路：先证el=er=e，再证，再证e的唯一性。的唯一性。证明：设证明：设el
21、 和和er分别是分别是A中关于运算中关于运算*的左幺元和右的左幺元和右幺元，则有幺元，则有 el=el*er=er=e 假设另有幺元假设另有幺元e A,则有则有e=e*e=e,结论得证。结论得证。23第23页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构n零元零元p左零元左零元：设：设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如上的一个二元运算，如果有一个元素果有一个元素l A,对于任意的元素对于任意的元素x A都有都有l*x=l，则称，则称l为为A中关于运算中关于运算*的左零元。的左零元。p右零元右零元：如果有一个元素：如果有一个元素r A,对于任意的元素对于任意的元素x A
22、都有都有x*r=r，则称，则称r为为A中关于运算中关于运算*的右零元。的右零元。p零元零元：如果：如果A中的一个元素中的一个元素，它既是左零元，又是，它既是左零元，又是右零元，则称右零元，则称为为A中关于运算中关于运算*的零元。的零元。*x=x*=24第24页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题例题10】设设“浅浅”表示不易褪色的浅色衣服，表示不易褪色的浅色衣服，“深深”表示易褪表示易褪色的深色衣服，集合色的深色衣服，集合S=浅，深浅，深，定义，定义S的一个二元的一个二元运算运算“混洗混洗”，记为，记为“*”，则，则*的运算表如下表所的运算表如下表所示。求示。求S中
23、关于中关于*运算的幺元和零元。运算的幺元和零元。解：浅色是解：浅色是S中关于中关于*运算的么元；运算的么元；深色是深色是S中关于中关于*运算的零元。运算的零元。*浅色 深色浅色深色 浅色 深色 深色 深色25第25页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构定理定理2设设*是定义在集合是定义在集合A上一个二元运算，且在上一个二元运算，且在A中有中有关于运算关于运算*的左零元的左零元l和右零元和右零元r,那么那么l=r=，且，且A中的中的零元是唯一的。零元是唯一的。证明：设证明：设l 和和r分别是分别是A中关于运算中关于运算*的左零元和右零的左零元和右零 元，则有元，则有l=l*
24、r=r=假设另有零元假设另有零元 A,则有则有=*=,结论得证。结论得证。定理定理3设设是一个代数系统，且是一个代数系统，且|A|1。如果该代数。如果该代数系统中存在幺元系统中存在幺元e和零元和零元，则则e。证明：证明：|A|1时，假设时，假设e=，则则A中必存在元素中必存在元素a，满足，满足 a e，a -(1)且有且有 a*e=a，a*=-(2)由假设由假设e=，(2)可得可得a=，这与这与(1)矛盾，矛盾，所以假设不成立，所以假设不成立，结论得证。结论得证。26第26页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构n逆元逆元p设设是一个代数系统，是一个代数系统，*是定义在集合
25、是定义在集合A上的一个上的一个二元运算，二元运算，e是是A中关于运算中关于运算*的幺元。的幺元。x,y A，如果，如果x*y=ex*y=e，那么关于运算，那么关于运算*，x是是y的的左逆元左逆元，y是是x的的右逆右逆元元。如果一个元素如果一个元素b即是即是a的左逆元又是的左逆元又是a的右逆元，那么的右逆元，那么称称b是是a的一个的一个逆元逆元。如果如果x*y=y*x=e，那么关于运算，那么关于运算*，x与与y互为逆元互为逆元。运。运算算x的逆元记为的逆元记为x-1。一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个元一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左素可
26、以有左逆元而没有右逆元，甚至左(右右)逆元可以逆元可以不唯一。不唯一。27第27页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构【例题例题11】设集合设集合S=a,b,c,d,e，定义在，定义在S上的二元运算上的二元运算*如表所示，如表所示，指出代数系统指出代数系统中各元素的左、右逆元情况。中各元素的左、右逆元情况。解：解：a是幺元；是幺元；b的左逆元和右逆元都是的左逆元和右逆元都是c，即，即b和和c互为逆元；互为逆元；d的左逆元是的左逆元是c而右逆元是而右逆元是b；b有两个左逆元有两个左逆元c和和d；e的右逆元是的右逆元是c，但，但e没有左逆元。没有左逆元。*abcdeaabcd
27、ebbdacdccababddacdceedace28第28页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构定理定理4设设是一个代数系统，是一个代数系统，*是定义在集合是定义在集合A上的上的一个二元运算，一个二元运算，e是是A中关于运算中关于运算*的幺元。的幺元。若运算若运算若运算若运算*是可是可是可是可结合的结合的结合的结合的，且元素，且元素x有左逆元有左逆元l和右逆元和右逆元r，则，则l=r。证明：因为证明：因为e是是A中关于运算中关于运算*的幺元且的幺元且x有左逆元有左逆元l和右逆和右逆元元r,则有则有 l*x=x*r=e又运算是可结合的，所以又运算是可结合的，所以 l=l*
28、e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r29第29页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1代数结构代数结构n等幂元等幂元p等幂元等幂元：设代数系统：设代数系统,*是定义在集合是定义在集合A上的一上的一个二元运算，如果存在元素个二元运算，如果存在元素a A,且有且有a*a=a，则称，则称a为为A中关于运算中关于运算*的等幂元。的等幂元。30第30页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1习题习题【习题习题12】设设为代数系统，其中为代数系统，其中A=1,2,3,4,“*”定义如下表定义如下表所示：所示：(a)运算运算*是可交换的吗？为什么？是可交换的吗？为什么？(b)运算运算*是可结
29、合的吗？为什么？是可结合的吗？为什么？(c)求求A中关于运算中关于运算*的幺元，的幺元，并给出每个元素的逆元。并给出每个元素的逆元。(d)A中有关于运算中有关于运算*的零元吗？的零元吗？*1 2 3 412341 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3 31第31页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1习题习题【习题习题13】设设I是整数集合，函数是整数集合，函数g:III，定义为：，定义为：g(x,y)=x*y=xyxy，其中，其中+和和 是普通的加法和乘是普通的加法和乘法运算。法运算。(a)试证明二元运算试证明二元运算*是可交换的和可结合的。是可交换的和可结合的。(b)求
30、运算求运算*的幺元，并指出每个元素的逆元。的幺元，并指出每个元素的逆元。32第32页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1 小结小结n代数系统及组成：载体、定义在载体上的运算、代数常元。代数系统及组成：载体、定义在载体上的运算、代数常元。n二元代数系统的性质：交换律，结合律，分配律，吸收律，二元代数系统的性质：交换律，结合律，分配律，吸收律，等幂律，消去律等幂律，消去律n代数常元代数常元：幺元、零元。幺元、零元。p运算运算*是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素都属于是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素都属于A；p运算运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线对称；满足交换律，当且仅当运算
31、表关于主对角线对称；n逆元逆元n等幂元等幂元33第33页，共36页，编辑于2022年，星期一6.1 小结小结n设设为代数系统，为代数系统，*是定义在是定义在A上的二元运算，则运算上的二元运算，则运算*的某些性质以及的某些性质以及代数常元可以直接从运算表中得到：代数常元可以直接从运算表中得到：p运算运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A；p运算运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线对称；具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线对称；p运算满足等幂律，当且仅当运算表中主对角线上的每一元素与它所对应运算满足等幂律，当且仅当运算表中主对
32、角线上的每一元素与它所对应的行的行(列列)表头元素相同表头元素相同;p运算满足消去律，当且仅当运算表中任意行、任意列没有相同的两个元运算满足消去律，当且仅当运算表中任意行、任意列没有相同的两个元素；素；p若若A中有关于运算中有关于运算*的零元，则该元素所在的行和列中的所有元素都的零元，则该元素所在的行和列中的所有元素都等于该元素；等于该元素；p若若A中有关于运算中有关于运算*的幺元，则该元素所在的行的幺元，则该元素所在的行(列列)中的所有元素都依次与列中的所有元素都依次与列(行行)表头元素相同表头元素相同;p设设A 中有关于运算中有关于运算*的幺元的幺元e，元素，元素a与与b互逆，当且仅当运算表中互逆，当且仅当运算表中a行、行、b列对应的元素与列对应的元素与a列、列、b行对应的元素都是行对应的元素都是e。34第34页，共36页，编辑于2022年，星期一本节作业本节作业nP174p1，4，5，7，p10，1135第35页，共36页，编辑于2022年，星期一代数结构（系统）代数结构（系统）n代数结构包括以下五个部分：算术、初等代数、高等代数、代数结构包括以下五个部分：算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数。数论、抽象代数。图图2.1 2.1 代数结构主要分支示意图代数结构主要分支示意图36第36页，共36页，编辑于2022年，星期一