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1、第一章实数集与函数第1页，共108页，编辑于2022年，星期二 记号与术语记号与术语第2页，共108页，编辑于2022年，星期二数学分析概述 一一 、研究对象、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质质。函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数而在数学分析中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果因而数学分析中的方法具“运动性”、“变化性”如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去
2、研究函数呢？这些构成数学分析的主要内容第3页，共108页，编辑于2022年，星期二第4页，共108页，编辑于2022年，星期二第5页，共108页，编辑于2022年，星期二变量变量数学分析数学分析数学分析数学分析函数函数极限方法极限方法极限论极限论微分学微分学积分学积分学级数论级数论（单变量和多变量）（单变量和多变量）工具工具基础基础中心中心对象对象对象对象变动观点变动观点关系关系第6页，共108页，编辑于2022年，星期二第7页，共108页，编辑于2022年，星期二第8页，共108页，编辑于2022年，星期二第9页，共108页，编辑于2022年，星期二第10页，共108页，编辑于2022年，星
3、期二第一章第一章 实数集与函数实数集与函数1 1 实数实数2 2 数集数集 确界原理确界原理3 3 函数的概念函数的概念4 4 复合函数与反函数复合函数与反函数第11页，共108页，编辑于2022年，星期二1.1 1.1 实数实数一一.实数及其性质实数及其性质二二.绝对值与不等式绝对值与不等式第12页，共108页，编辑于2022年，星期二 若若规规定定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无限循环小数.实实数数对正整数对正整数对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）y,y,先将先将先将先将-y-y表示成无限小数，表示成无限小数，再在无限小数前加负号如再在无限
4、小数前加负号如:-8=-7.999一一 .实数及其性质：实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义回顾中学中关于有理数和无理数的定义.第13页，共108页，编辑于2022年，星期二说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y,则分别称x=y与x x)2.两个实数的大小关系 说明:自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非
5、负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 1)定义1 第14页，共108页，编辑于2022年，星期二定定义义2 设 为实数x的n位不足近似位不足近似，而有理数 称为x的n位位过过剩近似，剩近似，n=0,1,2,.为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的等价条件第15页，共108页，编辑于2022年，星期二 对对于于负实负实数数其n位不足近似位不足近似和n位位过过剩近似剩近似分别规定为和 注意：注意：对任何实数x,有,第16页，共108页，编辑于2022年，星期二命题1 设实数的性质 1.实实数数集集R对对加加,减减,乘乘,除除(除除数数不不为为0)四四则则
6、运运算算是是封封闭闭的的.即即任任意意两两个个实实数数和和,差差,积积,商商(除除数数不不为为0)仍仍然是实数然是实数.2.实实数数集集是是有有序序的的.即即任任意意两两个个实实数数a,b必必满满足足下下述述三三个关系之一个关系之一:a b.为两个实数，则为两个实数，则第17页，共108页，编辑于2022年，星期二3.实数集的大小关系具有传递性实数集的大小关系具有传递性.即若即若a b,b c,则有则有ac.5.实实数数集集R具具有有稠稠密密性性.即即任任何何两两个个不不相相等等的的实实数数之之间间必必有有另另一个实数一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实实数数集集R
7、与与数数轴轴上上的的点点具具有有一一一一对对应应关关系系.即即任任一一实实数数都都对对应应数数轴轴上上唯唯一一的的一一点点,反反之之,数数轴轴上上的的每每一一点点也也都都唯唯一一的的代代表表一一个实数个实数.,0,.4 b na n a b R b a,使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 第18页，共108页，编辑于2022年，星期二例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有
8、若对任何正数证明设ee.,.bababababa,从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee第19页，共108页，编辑于2022年，星期二a0-a二二.绝对值绝对值与不等式与不等式从数从数轴轴上看上看的的绝对值绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离：绝对值绝对值定义：定义：第20页，共108页，编辑于2022年，星期二绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质第21页，共108页，编辑于2022年，星期二性性质质4（三角不等式）的（三角不等式）的证证明：明：由此可推出第22页，共108页，编辑于2022年，星期二几个重要不等式几个重要不等式:均值不等式:
9、(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)第23页，共108页，编辑于2022年，星期二有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:第24页，共108页，编辑于2022年，星期二 利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式第25页，共108页，编辑于2022年，星期二1.2 数集确界原理一、区间与邻域 二、上确界、下确界第26页，共108页，编辑于2022年，星期二一、区间与邻域1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集第27页，共108页，编辑于
10、2022年，星期二数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.第28页，共108页，编辑于2022年，星期二2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第29页，共108页，编辑于2022年，星期二称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区
11、间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.第30页，共108页，编辑于2022年，星期二3.3.邻域邻域:第31页，共108页，编辑于2022年，星期二二 有界集确界原理1 有（无）界数集有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集数集S有上界有上界数集数集S无上界无上界数集数集S有下界有下界数集数集S无下界无下界数集数集S有界有界数集数集S无界无界第32页，共108页，编辑于2022年，星期二例例 证证明集合明集合 是无界数集是无界数集.证明：证明：由无界集定由无界集定义义，E 为为无界集无界集.第33页，共10
12、8页，编辑于2022年，星期二第34页，共108页，编辑于2022年，星期二2 确界:直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界第35页，共108页，编辑于2022年，星期二确界的精确定义 第36页，共108页，编辑于2022年，星期二第37页，共108页，编辑于2022年，星期二第38页，共108页，编辑于2022年，星期二第39页，共108页，编辑于2022年，星期二例3 设数集S有上确界.证明 第40页，共108页，编辑于2022年，星期二例4 设 A,
13、B为非空数集,满足:证明数集 A有上确界,数集B有下确界,且证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界,故有 而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得 第41页，共108页，编辑于2022年，星期二例例5 5 为为非空数集非空数集,试证试证明明:证证 有有或或 由由和和分分别别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界,.和和第42页，共108页，编辑于2022年，星期二2、3、上第43页，共108页，编辑于2022年，星期二 3.
14、数集与确界的关系数集与确界的关系:确界不一定属于原集合确界不一定属于原集合.以例以例1为例做解释为例做解释.4.确界与最值的关系确界与最值的关系:设 E为数集.E 的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若 存在,必有 对下确界有类似的结论.第44页，共108页，编辑于2022年，星期二 5 确界原理确界原理 定理定理1 (确界原理确界原理).设设 E 为非空数集，若为非空数集，若E有上界，则有上界，则E必有上确界；若必有上确界；若E有下界，则有下界，则E必必有下确界。有下确界。第45页，共108页，编辑于2022年，星期二设设A,
15、B为非空有限数集为非空有限数集,.证明证明:例6 证:故得 所以 综上,即证得第46页，共108页，编辑于2022年，星期二1.3 函数的一般概念函数的一般概念一.一.函数的概念函数的概念二.二.2 2 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例三.三.3 3 函数的性质函数的性质第47页，共108页，编辑于2022年，星期二 一、函数概念一、函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识的认识.第4
16、8页，共108页，编辑于2022年，星期二因变量因变量自变量自变量D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df，即，即 Df=D.函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：第49页，共108页，编辑于2022年，星期二对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.第50页，共108页，编辑于2022年，星期二关于函数定义的几点说明关于函数定义的几点说明:第51页，共108页，编辑于2022年，星期二第52页
17、，共108页，编辑于2022年，星期二定义定义:如果自变量在定义如果自变量在定义域内任取一个数值时，域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值值函数，否则叫做多值函数函数第53页，共108页，编辑于2022年，星期二函数的相等与不等函数的相等与不等注：分清和“函数值的相等与不等”。第54页，共108页，编辑于2022年，星期二 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的 函数的表示法第55页，共108页，编辑于2022年，星期二 单值函数与多值函数
18、在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D,对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则,按这个法则按这个法则,对每个对每个x D,总总有确定的有确定的y值与之对应值与之对应,但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的,我们称这种法我们称这种法则确定了一个多值函数则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 第56页，共108页，编辑于2022年，星期二 此函数称为绝对值函数,其定义域为D(-,+),其值域为Rf 0,+)
19、.(2)(1)常值函数 yc.其定义域为D(-,),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例第57页，共108页，编辑于2022年，星期二 (3)符号函数符号函数 其定义域为D(-,+),其值域为Rf-1,0,1.第58页，共108页，编辑于2022年，星期二(4)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整的最大整数数阶梯曲线阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为 =Z.例：第59页，共108页，编辑于2022年，星期二（5）“非负小数部分”函数 它的定义域是第60页，共108页，编辑于2022年，星期二有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6)狄利
20、克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为 =0,1.第61页，共108页，编辑于2022年，星期二(7)取最值函数取最值函数yxoxo第62页，共108页，编辑于2022年，星期二(8)Riemann 函数第63页，共108页，编辑于2022年，星期二在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同对应法则用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分分段段函函数数第64页，共108页，编辑于2022年，星期二例例2 2解解故故第65页，共108页，编辑于2022年，星期二三、函数的性质M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-Myx
21、oX1函数的有界性函数的有界性:第66页，共108页，编辑于2022年，星期二M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:四、函数的性质四、函数的性质第67页，共108页，编辑于2022年，星期二 f(x)sin x在(-,+)上是有界的:|sin x|1.所以函数无上界.有界函数举例 第68页，共108页，编辑于2022年，星期二例例3第69页，共108页，编辑于2022年，星期二2函数的单调性函数的单调性:xyo第70页，共108页，编辑于2022年，星期二xyo第71页，共108页，编辑于2022年，星期二3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数y
22、xox-x第72页，共108页，编辑于2022年，星期二奇函数奇函数yxox-x第73页，共108页，编辑于2022年，星期二第74页，共108页，编辑于2022年，星期二第75页，共108页，编辑于2022年，星期二4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.第76页，共108页，编辑于2022年，星期二第77页，共108页，编辑于2022年，星期二1.4复合函数 反函数 初等函数二二.反函数反函数三三.初等函数初等函数四四.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数一.复合函数复合函数第78页，共108页，编辑于2022年，星期
23、二一、复合函数一、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较几个比较 简单的函数简单的函数“叠置叠置”而成的，如在简而成的，如在简谐振动中位移谐振动中位移y与时间与时间 t 的函数关系的函数关系就是由三角函数就是由三角函数和线性函数和线性函数“叠置叠置”而成的，而成的，第79页，共108页，编辑于2022年，星期二定义定义:注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;复合条件复合条件第80页，共108页，编辑于2022年，星期二复合函数的定义域复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式
24、复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成成.第81页，共108页，编辑于2022年，星期二二、反函数DWDW反函数反函数.第82页，共108页，编辑于2022年，星期二的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换）(恒等变换)。第83页，共108页，编辑于2022年，星期二 这样这样直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是
25、把反函数记为 .第84页，共108页，编辑于2022年，星期二 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己.第85页，共108页，编辑于2022年，星期二 实际求反函数问题可分为二步进行：实际求反函数问题可分为二步进行：(1).确定 的定义域和值域，考虑 1-1对应条件。固定，解方程 得出。(2).按习惯，自变量、因变量互换，得.第86页，共108页，编辑于2022年，星期二三初等函数三初等函数、基本初等函数、基本初等函数（1）.幂函数幂函数第87页，共108页，编辑于2022年，星期二第88页，共
26、108页，编辑于2022年，星期二（2）.指数函数指数函数第89页，共108页，编辑于2022年，星期二（3）.对数函数对数函数第90页，共108页，编辑于2022年，星期二周期为2p的周期函数有界函数|sin x|1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式第91页，共108页，编辑于2022年，星期二周期为2p的周期函数有界函数|cos x|1特殊值：Taylor(Maclaurin)公式第92页，共108页，编辑于2022年，星期二周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：第93页，共108页，编辑于2022年，星期二周期为p的周期函数无界函数：渐进线：特殊值：第94页，共108页
27、，编辑于2022年，星期二正割函数正割函数余割函数余割函数第95页，共108页，编辑于2022年，星期二(5)反三角函数的图象第96页，共108页，编辑于2022年，星期二 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第97页，共108页，编辑于2022年，星期二2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合限次的复合运算所得到的运算所得到的函数函数,称为称为初等函数初等函数.第98页，共108页，编辑于2022年，星期二四、双曲函数与反双曲
28、函数四、双曲函数与反双曲函数1.双曲函数双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.第99页，共108页，编辑于2022年，星期二奇函数奇函数,有界函数有界函数,第100页，共108页，编辑于2022年，星期二2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,第101页，共108页，编辑于2022年，星期二双曲函数常用公式双曲函数常用公式第102页，共108页，编辑于2022年，星期二第103页，共108页，编辑于2022年，星期二奇函数奇函数,第104页，共108页，编辑于2022年，星期二函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代
29、代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第105页，共108页，编辑于2022年，星期二思思考考题题思考题解答思考题解答不能不能第106页，共108页，编辑于2022年，星期二解解有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,第107页，共108页，编辑于2022年，星期二1.函数的分类 非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)初等函数初等函数第108页，共108页，编辑于2022年，星期二