第一章 复变函数PPT讲稿.ppt

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1、第一章 复变函数第1页，共84页，编辑于2022年，星期二数数 学学 物物 理理 方方 法法第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 复变函数；（复函数项）级数复变函数；（复函数项）级数；（第一（第一四章）四章）积分变换积分变换（第五、六章）（第五、六章）第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程 定解问题：数学物理方程及其分类定解问题：数学物理方程及其分类;（第七章）（第七章）解法一：分离变量法及解的性质解法一：分离变量法及解的性质;（第八、九章）（第八、九章）解法二：球坐标下的分离变量法解法二：球坐标下的分离变量法;（第十章）（第十章）解法三：柱坐标下的分离变量法解法三：柱坐标下的分离变量法;（第十

2、一章）（第十一章）解法四：积分法求解数理方程解法四：积分法求解数理方程;（第十二、十三章）（第十二、十三章）解法五：复变函数法求解数理方程解法五：复变函数法求解数理方程;（第十四章）（第十四章）解法六：近似法求解数理方程解法六：近似法求解数理方程;（第十五章）（第十五章）第2页，共84页，编辑于2022年，星期二参考书目参考书目 1、郭敦仁，、郭敦仁，数学物理方法数学物理方法，高等教育出版社，高等教育出版社 2、周明儒，、周明儒，数学物理方法数学物理方法，高等教育出版社，高等教育出版社 3、姚端正等，、姚端正等，数学物理方法数学物理方法，武汉大学出版社，武汉大学出版社如何学好如何学好数学物理方

3、法数学物理方法？1、数学分析的知识要比较扎实；、数学分析的知识要比较扎实；2、普通物理学基本概念、原理比较清晰；、普通物理学基本概念、原理比较清晰；3、物理实际问题与数学模型相结合，进行思考；、物理实际问题与数学模型相结合，进行思考；4、多做练习；、多做练习；5、记住：、记住：数学物理方法不学好，不算读了物理学！数学物理方法不学好，不算读了物理学！理论物理学也读不懂！理论物理学也读不懂！第3页，共84页，编辑于2022年，星期二第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第一章第一章 复变函数复变函数 第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分第三章第三章 幂级数展开幂级数展开第四章第四章 留数定理留数

4、定理第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第4页，共84页，编辑于2022年，星期二第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第一章第一章 复变函数复变函数1.2 复变函数复变函数1.3 导数导数1.4 解析函数解析函数1.1 复数与复数运算复数与复数运算1.5 平面标量场平面标量场1.6 多值函数多值函数 第5页，共84页，编辑于2022年，星期二第一章第一章 复变函数复变函数1.1 复数与复数运算复数与复数运算一、复数的基本概念一、复数的基本概念式中式中 x、y为实数，称为为实数，称为 复数的实部与虚部复数的实部与虚部3、复数的几何表示、复数的几何表示 1、什么是

5、复数？、什么是复数？复平面复平面2、复数的代数表示、复数的代数表示直角坐标直角坐标 复平面复平面 第6页，共84页，编辑于2022年，星期二4、复数的极坐标表示、复数的极坐标表示 复平面复平面复平面复平面直角坐标与极坐标的换算直角坐标与极坐标的换算 第7页，共84页，编辑于2022年，星期二5、复数的三角函数形式、复数的三角函数形式 复平面复平面复平面复平面6、复数的指数形式、复数的指数形式 交流与讨论：交流与讨论：为什么有关系式？为什么有关系式？复数的模：复数的模：复数的幅角：复数的幅角：第8页，共84页，编辑于2022年，星期二由于辐角的周期性，辐角有无穷多个。由于辐角的周期性，辐角有无穷

6、多个。为辐角为辐角 的主值，的主值，或主辐角，记为或主辐角，记为7、复数辐角、复数辐角 的主值的主值:主辐角主辐角 定义主辐角定义主辐角 或或易于理解易于理解第9页，共84页，编辑于2022年，星期二8、共轭复数、共轭复数其共轭复数规定为其共轭复数规定为复数：复数：共轭复数共轭复数的几何意义的几何意义 第10页，共84页，编辑于2022年，星期二例例1：求：求的的Argz与与argz解：解：z 位于第二象限位于第二象限9、应用、应用请同学们自己验算。请同学们自己验算。第11页，共84页，编辑于2022年，星期二二、无限远点二、无限远点NSzARiemann球面球面（黎曼球面黎曼球面）2、无限远

7、点的含义、无限远点的含义1、测地投影、测地投影复数球复数球复数平面上任意一点与复数球上的一点复数平面上任意一点与复数球上的一点A对应；对应；复数球上复数球上 N 极所对应复数平面上极所对应复数平面上点；点；零点零点无限远点无限远点测地投影测地投影复球面复球面 第12页，共84页，编辑于2022年，星期二三、复数的运算三、复数的运算1、复数的加减法、复数的加减法性质性质交流与讨论：交流与讨论：复数加减法的几何意义是什么？复数加减法的几何意义是什么？第13页，共84页，编辑于2022年，星期二2、复数的乘法、复数的乘法代数代数 形式形式指数指数 形式形式 第14页，共84页，编辑于2022年，星期

8、二3、复数的除法、复数的除法代数代数 形式形式指数指数 形式形式 第15页，共84页，编辑于2022年，星期二5、复数的方根、复数的方根4、复数的乘方、复数的乘方故：故：故故k取不同值，取不同值，取不同值，因为幅角不同；取不同值，因为幅角不同；第16页，共84页，编辑于2022年，星期二故故 k 取不同值，幅角不同；取不同值，幅角不同；所以，根式函数是多值函数所以，根式函数是多值函数 详细见详细见1.6 多值函数多值函数讨论；讨论；第17页，共84页，编辑于2022年，星期二例例2：讨论与交流：讨论与交流：为什么不取为什么不取k=3了？了？第18页，共84页，编辑于2022年，星期二基本运算基

9、本运算运算运算1运算运算2运算运算3请同学们自己验算。请同学们自己验算。第19页，共84页，编辑于2022年，星期二例例3：讨论：讨论 在复平面上的意义。在复平面上的意义。解：解：为为圆心在（圆心在（1/4，0）圆上各点圆上各点 第20页，共84页，编辑于2022年，星期二例例4：计算：计算解：解：令令 第21页，共84页，编辑于2022年，星期二例例5：计算：计算解：解：令令 第22页，共84页，编辑于2022年，星期二 第23页，共84页，编辑于2022年，星期二 运用欧拉公式！运用欧拉公式！第24页，共84页，编辑于2022年，星期二实部与实部与虚部分别相等，所以得：虚部分别相等，所以得

10、：第25页，共84页，编辑于2022年，星期二1.2 复变函数复变函数一、复变函数的定义一、复变函数的定义对于复数平面（球面）上存在的集合对于复数平面（球面）上存在的集合E 中的中的 每一复数（每一个每一复数（每一个z），按照一定的规律），按照一定的规律有一个或多个复数值，有一个或多个复数值，w称为的称为的z复变函数，复变函数，z称为称为w的的宗量。宗量。定义域定义域第26页，共84页，编辑于2022年，星期二二、区域概念二、区域概念以复数以复数z0为圆心，以任意小正实数为圆心，以任意小正实数 为半径为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为作一圆，则圆内所有点的集合称为z0 的邻域的邻域1、邻域、

11、邻域2、内点、内点点点z0的的 -邻域邻域全含于点集全含于点集E内，称内，称z0 为点集为点集 E 的的内点；内点；3、外点、外点点点z0 及其及其 -邻域邻域不含于点集不含于点集E内，称内，称 z0 为点集为点集 E 的的外点外点;4、境界点、境界点 点点z0的的 -邻域既有含于邻域既有含于E内，内，又有不含于又有不含于E内的点，称内的点，称z0为点为点集集E的境界点。的境界点。内点内点镜界点镜界点外点外点 第27页，共84页，编辑于2022年，星期二内点内点镜界点镜界点外点外点5、区域、区域全部由内点组成；全部由内点组成；具连通性具连通性：点集中任何两点都：点集中任何两点都可以用一条折线连

12、接，且折线上可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。的点属于该点集。6、闭区域、闭区域区域连同它的边界称为闭区域。区域连同它的边界称为闭区域。表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域。的闭区域。例如，例如，区域及其点区域及其点 第28页，共84页，编辑于2022年，星期二7、单连通区域、单连通区域区域内任意闭曲线，区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域；其内点都属于该区域；8、复连通区域、复连通区域区域内只要有一个简单的闭合区域内只要有一个简单的闭合 曲线含有不属于该曲线含有不属于该区域的区域的点；点；内点内点镜界点镜界点外点外点单连通区域单连通区域复连通区域复连通区域区域

13、及其点区域及其点 第29页，共84页，编辑于2022年，星期二三、复变函数举例三、复变函数举例可见，可见，复数三角函数值复数三角函数值可以大于可以大于1 1。1、三角、三角 函数函数2、双曲、双曲 函数函数 第30页，共84页，编辑于2022年，星期二4、对数函数、对数函数3、指数函数、指数函数 第31页，共84页，编辑于2022年，星期二对数函数也是多值函数对数函数也是多值函数 详细见详细见1.6 多值函数多值函数讨论；讨论；当当 z 为负实数时，因为为负实数时，因为 ，有，有复数复数双曲、指数双曲、指数和和对数函数的都是周期函数！对数函数的都是周期函数！所以，复数域，负实数的对数是存在的。

14、所以，复数域，负实数的对数是存在的。根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！根式函数和对数函数可以构成许多初等复变函数！第32页，共84页，编辑于2022年，星期二例：求方程例：求方程 sinz=2解：解：设设 第33页，共84页，编辑于2022年，星期二 第34页，共84页，编辑于2022年，星期二或或 第35页，共84页，编辑于2022年，星期二四、极限与连续性四、极限与连续性设设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义；点的某邻域有定义；对于对于 00，存在，存在 0,0,使使有有称称zz0时时w0为为极限极限，记为，记为注意：注意：z在全平面，在全平面，zz0须以任意方式！须以任意方式

15、！若有若有称称f(z)在在z0点连续。点连续。1、复变函数的极限、复变函数的极限2、复变函数的连续性、复变函数的连续性 第36页，共84页，编辑于2022年，星期二1.3 导数导数1、复变函数导数的定义、复变函数导数的定义 w=f(z)是是在在z点及其邻域定义的单值函数点及其邻域定义的单值函数在在z点存在，并与点存在，并与 z 0的方式无关，则的方式无关，则 第37页，共84页，编辑于2022年，星期二2、求导法则、求导法则 第38页，共84页，编辑于2022年，星期二例：证明例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导在复平面上每点均可导.证：证：将将 进行二项式展开进行二项式展开 第39页，

16、共84页，编辑于2022年，星期二例：证明例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导。在复平面上均不可导。证：证：请同学们请同学们演算！演算！第40页，共84页，编辑于2022年，星期二3、复变函数可导的必要条件、复变函数可导的必要条件可导的必要条件可导的必要条件比较两式有比较两式有称为科西称为科西-黎曼黎曼条件条件:C.R.条件条件 第41页，共84页，编辑于2022年，星期二证：证：例：证明例：证明 在在z=0处处 满足满足C.R.条件，但在条件，但在z=0处不可导。处不可导。满足满足C.R.条件条件在在z=0处，处，注意：注意：C.R.条件不是条件不是 可导的充分条件！可导的充分条件！同理

17、，得在同理，得在z=0处处 第42页，共84页，编辑于2022年，星期二但是，在但是，在z=0处，若处，若 一定，一定，随随 而变，故而变，故f(z)在在z=0处不可导！处不可导！第43页，共84页，编辑于2022年，星期二证明：证明：u、v在在z处满足处满足C.R.条件条件 u、v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u、v在在z处有连续的一阶偏微商，处有连续的一阶偏微商，所以所以u、v 的微分存在，即的微分存在，即4、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点点 可导的充分条件可导的充分条件 第44页，共84页，编辑于2022年，星期二由由C.R.条件条件 重新组合重

18、新组合 第45页，共84页，编辑于2022年，星期二5、C.R.方程的极坐标表示方程的极坐标表示此式此式 z无论以什么方式趋于零，导数都存在。无论以什么方式趋于零，导数都存在。因为因为u、v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商！故，故，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导.C.R.方程的极坐标表示，方程的极坐标表示，当当考虑考虑 z沿沿径向径向和和 沿横向趋于零时，有沿横向趋于零时，有 第46页，共84页，编辑于2022年，星期二例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方程：方法一：方法一：从极坐标关系出发，分别考虑从极坐标关系出发，分别考虑 z

19、沿沿径向径向和沿和沿横向横向趋于零。趋于零。沿沿径向趋于零，即径向趋于零，即 第47页，共84页，编辑于2022年，星期二沿沿径向径向趋于零，即趋于零，即沿沿横向横向趋于零，即趋于零，即 第48页，共84页，编辑于2022年，星期二 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点点 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是即即 第49页，共84页，编辑于2022年，星期二方法二：方法二：从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发 第50页，共84页，编辑于2022年，星期二同理，可以求关于幅角的导数同理，可以求关于幅角的导数请同学们请同学们演算！演算！第51页，共84页，编辑于2022年，星期二具

20、体求导过程具体求导过程 第52页，共84页，编辑于2022年，星期二1.4 解析函数解析函数一、解析函数的定义一、解析函数的定义 若若w=f(z)是是在在z0点及点及其邻域其邻域上处处可导，称上处处可导，称f(z)在在z0点点解解析；析；若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B解解析函数。析函数。2、注意、注意在在区域区域 B上任意点可导，即处处可导，才是可导上任意点可导，即处处可导，才是可导.1、定义、定义 第53页，共84页，编辑于2022年，星期二二、解析函数的性质二、解析函数的性质性质性质1：f(z)=u+iv，在区域，在区域B上解析

21、，则上解析，则 u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数的曲线正交；常数的曲线正交；比如，任意函数比如，任意函数 f(x,y,z)：梯度梯度(gradient)矢量矢量1、几个相关概念几个相关概念比如，对于电势函数：比如，对于电势函数：即场强是电势函数的即场强是电势函数的梯度梯度,也是等势函数的也是等势函数的法向量法向量！第54页，共84页，编辑于2022年，星期二拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算符）算符二维二维Laplace算符算符三维三维Laplace算符算符 第55页，共84页，编辑于2022年，星期二拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程）方程调和函数调和函数满足拉普拉斯

22、满足拉普拉斯方程的函数方程的函数共轭调和函数共轭调和函数满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程，方程，而且满足而且满足C.R.条件条件的一对函数。的一对函数。第56页，共84页，编辑于2022年，星期二由由C.R.条件条件两式相乘两式相乘即即2、性质性质1的的证明如下证明如下证：证：因为因为f(z)=u+iv在区域在区域B上解析，上解析，则其实部和虚部满足则其实部和虚部满足C.R.条件条件 第57页，共84页，编辑于2022年，星期二因此，因此，u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交！常数曲线正交！因为因为即即此式此式 表示表示而而u和和v分别是分别是u(x,y)=常数和常数和v(x,y

23、)=常数的常数的法向量法向量 第58页，共84页，编辑于2022年，星期二例：例：证明证明f(z)=ex(cosy+isiny)在在 复平面上解析复平面上解析，且且 f(z)=f(z)。证：证：满足满足C.R.条件条件且一阶偏导连续且一阶偏导连续 性质性质2、f(z)在区域在区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为共轭调和函数为共轭调和函数 第59页，共84页，编辑于2022年，星期二式和式和式式显然显然 满足满足C.R.条件条件式对式对x 求导，求导，式式对对y 求导，相加得求导，相加得式式式式验证验证u(x,y)和和v(x,y)为区域为区域 B共轭调和函数共轭调和函数 第60页

24、，共84页，编辑于2022年，星期二即即同理同理u(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数因此因此,f(z)在区域在区域 B 解析解析,u(x,y)和和v(x,y)为共轭调和函数为共轭调和函数 第61页，共84页，编辑于2022年，星期二三、求共轭调和函数的方法三、求共轭调和函数的方法由由C.R.条件条件1、若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，条件，求另一共轭调和函数。方法如下：求另一共轭调和函数。方法如下：因为可以写出因为可以写出得：得：即，设已知即，设已知 u(x,y)，求求u

25、(x,y)的的共轭调和函数共轭调和函数v(x,y)第62页，共84页，编辑于2022年，星期二方法一、方法一、曲线积分法曲线积分法 （全微分的积分与路经无关：因此，（全微分的积分与路经无关：因此，可以选取最简单的积分路径）可以选取最简单的积分路径）方法二、方法二、凑全微分显式法凑全微分显式法方法三、方法三、不定积分法不定积分法2、求、求另一共轭调和函数的具体方法另一共轭调和函数的具体方法 即即第63页，共84页，编辑于2022年，星期二例例1：已知解析函数实部已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解解方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法C.R.条件条件所以所以 故故u为

26、调和函数，为什么？为调和函数，为什么？第64页，共84页，编辑于2022年，星期二v(x,y)的积分路径的积分路径 第65页，共84页，编辑于2022年，星期二v(x,y)的积分路径的积分路径得：得：最后结果为：最后结果为：第66页，共84页，编辑于2022年，星期二方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法由由方法一得方法一得即，即，dv 已经是全微分形式已经是全微分形式所以，所以，最后结果为：最后结果为：第67页，共84页，编辑于2022年，星期二方法三、不定积分法方法三、不定积分法即将即将x视为视为v的参数：的参数：同样由同样由方法一得：方法一得：由由 ，知，知 ，即，即 对对v求对求

27、对x的导数有：的导数有：有有 和和 。如果取第一式：。如果取第一式：所以，有所以，有最后结果为：最后结果为：第68页，共84页，编辑于2022年，星期二解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解，求，求 v(x,y)例：已知解析函数例：已知解析函数f(z)实部实部，而且，而且f()=0 第69页，共84页，编辑于2022年，星期二作业作业1：P6：1（4）；）；P8：3；P16：2（6）；）；第70页，共84页，编辑于2022年，星期二1.5 平面标量场平面标量场1、平面标量场的含义、平面标量场的含义 物理上及工程技术上常常需要各种各样的场，例如电磁场、物理上及工程技术上常常需要各种各样的场，例如电

28、磁场、声场、温度场等。若场与时间无关。则称为声场、温度场等。若场与时间无关。则称为恒定场恒定场；若所研究的；若所研究的的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为究它，这样的场便称为平面场平面场。时、空间均匀的恒定平面场虽然是时、空间均匀的恒定平面场虽然是矢量场矢量场，但存在确定的势，但存在确定的势能函数，而势能是标量，故称为能函数，而势能是标量，故称为平面标量场。平面标量场。比如，平面静电场，存在电势；比如，平面静电场，存在电势；流体平面速度场，存在速度势；流体平面速度场，存在速度势；平面温度

29、场，存在热流量势函数；平面温度场，存在热流量势函数；在没有在没有“源源”的区域，其势函数都满足二维拉普拉斯方的区域，其势函数都满足二维拉普拉斯方程。程。因此，因此，在此无在此无“源源”区域的解析函数的实部或虚部，就可以表区域的解析函数的实部或虚部，就可以表示该区域的势函数。示该区域的势函数。第71页，共84页，编辑于2022年，星期二2、在平面标量场中的解析函数、在平面标量场中的解析函数实部和虚部的物理意义实部和虚部的物理意义如果如果 中的实部表示电势，则中的实部表示电势，则 虚部表示电通量：虚部表示电通量：C.R.条件条件 第72页，共84页，编辑于2022年，星期二二、解析函数的应用二、解

30、析函数的应用虚线表示点电荷静电场的虚线表示点电荷静电场的势势1、解析函数的实部或虚部，可以表示无源区域的势函数、解析函数的实部或虚部，可以表示无源区域的势函数 第73页，共84页，编辑于2022年，星期二2、举例、举例例例1(P18)：开平面上的解析函数的实部和虚部。：开平面上的解析函数的实部和虚部。解：解：虚线表示势函数曲线族虚线表示势函数曲线族u(x,y);实线表实线表示通量函数曲线族示通量函数曲线族v(x,y)作为平面静电场的分布，请同学们阅读作为平面静电场的分布，请同学们阅读p18第第10、11行文字。行文字。第74页，共84页，编辑于2022年，星期二例例2 已知平面静电场的电场线为

31、抛物线族已知平面静电场的电场线为抛物线族 ，求等势线。，求等势线。解解 令解析函数令解析函数 v(x,y)=v(t)虚线表示势函数曲线族虚线表示势函数曲线族u(x,y);实线实线表示通量函数曲线族表示通量函数曲线族v(x,y)第75页，共84页，编辑于2022年，星期二代入拉普拉斯方程得代入拉普拉斯方程得 第76页，共84页，编辑于2022年，星期二代入拉普拉斯方程得代入拉普拉斯方程得得解析函数得解析函数 第77页，共84页，编辑于2022年，星期二1.6 多值函数多值函数一、复变函数多值函数的特殊性一、复变函数多值函数的特殊性1、实变函数多值函数是独立的函数、实变函数多值函数是独立的函数2、

32、复变函数多值函数是相互联系的函数、复变函数多值函数是相互联系的函数 第78页，共84页，编辑于2022年，星期二 即，二次根式函数的结果：即，二次根式函数的结果：第79页，共84页，编辑于2022年，星期二3、对数函数也是多值函数、对数函数也是多值函数 二次根式复变函数，其它幅角值的函数只是以上两个二次根式复变函数，其它幅角值的函数只是以上两个 函数值的（二次根）的重复！函数值的（二次根）的重复！与根式函数不同的是，对数函数有无穷多值，因为函数与根式函数不同的是，对数函数有无穷多值，因为函数 幅角值随幅角值随n的变化而变化，不重复！的变化而变化，不重复！三次根式复变函数，则其它幅角值的函数是以

33、上相应三次根式复变函数，则其它幅角值的函数是以上相应 三个函数值的（三次根）的重复，依次类推！三个函数值的（三次根）的重复，依次类推！4、其他初等复变函数都可以由根式函数和、其他初等复变函数都可以由根式函数和 对数函数组合对数函数组合读者自学！读者自学！第80页，共84页，编辑于2022年，星期二二、多值函数的支点二、多值函数的支点对多值函数对多值函数w=f(z)，若，若z绕某点绕某点 一周，函数值不还原，则称该一周，函数值不还原，则称该 点为多值函数的支点；点为多值函数的支点；若若z绕支点绕支点n周周w值复原，则该点为多值函数的值复原，则该点为多值函数的n-1阶支点。阶支点。z=也是函数的支

34、点，因为可令也是函数的支点，因为可令z=1/t，绕，绕t=0一周等价一周等价 于绕于绕z=一周。一周。1、产生多值函数的原因、产生多值函数的原因 2、支点的定义、支点的定义支点的存在；支点的存在；零点是零点是 的支点的支点；a点是点是 的支点的支点；支点的几何意义支点的几何意义第81页，共84页，编辑于2022年，星期二支割线：支割线：在在z平面平面T1上从支上从支 点点z=a或或z=0）到支点）到支点z=任意引一条射线，任意引一条射线，称为割线。称为割线。即：即：在在z平面上从支点平面上从支点z=a （或（或z=0）到支点）到支点z=沿实轴，将实轴割开。沿实轴，将实轴割开。规定：规定：割线割

35、线上缘上缘对应对应Argz=0，下缘下缘对应对应Argz=2 解决函数多值的办法解决函数多值的办法支割线支割线；3、支割线、支割线支割线的几何意义支割线的几何意义确定单值分支的定义域；确定单值分支的定义域；支割线的几何意义支割线的几何意义第82页，共84页，编辑于2022年，星期二 T1上支割线：上支割线：割线割线上缘上缘对应对应Argz=0，下缘下缘对应对应Argz=2连接支割线的上、下缘构成连接支割线的上、下缘构成黎曼面黎曼面确定了函数的单值区域确定了函数的单值区域T2上支割线：上支割线：割线割线上缘上缘对应对应Argz=2，下缘下缘对应对应Argz=4第83页，共84页，编辑于2022年，星期二三、复多值函数的黎曼面三、复多值函数的黎曼面 END-1 作业作业2：P20：2、4；P22：（：（3）；）；黎曼面黎曼面函数的单值区域函数的单值区域黎曼面上，黎曼面上，z与与w是一一是一一对应对应的！的！第84页，共84页，编辑于2022年，星期二