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1、第一节重积分的概念第一节重积分的概念与性质与性质第1页，共25页，编辑于2022年，星期一解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D.顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面.求其体积求其体积.“划分划分,近似近似,求和求和,逼近逼近(取极限取极限)”第2页，共25页，编辑于2022年，星期一步骤如下：步骤如下：将将 D 任意划分任意划分为为 n 个小闭区域个小闭区域在每个在每个中中任取任取一点一点则第则第 i 小块的体积小块的体积总体
2、积总体积取极限取极限,得得第3页，共25页，编辑于2022年，星期一求平面薄片的质量求平面薄片的质量在每个在每个中中任取任取一点一点则第则第 i 小块的质量小块的质量步骤：步骤：将将 D 任意划分任意划分为为 n 个小闭区域个小闭区域D取极限取极限,得得第4页，共25页，编辑于2022年，星期一两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:“划分划分,近似近似,求和求和,逼近逼近(取极限取极限)”第5页，共25页，编辑于2022年，星期一3.二重积分的概念二重积分的概念第
3、6页，共25页，编辑于2022年，星期一积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第7页，共25页，编辑于2022年，星期一 若在直角坐标系下用平若在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分区域区域 D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:第8页，共25页，编辑于2022年，星期一二重积分二重积分 的几
4、何意义：的几何意义：二重积分存在定理二重积分存在定理:(证明略证明略)定理定理：第9页，共25页，编辑于2022年，星期一性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）二、二重积分的性质二、二重积分的性质第10页，共25页，编辑于2022年，星期一性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质设设 为为D的面积，的面积，性质性质若在若在D 上上特别地特别地则有则有第11页，共25页，编辑于2022年，星期一例例1 1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与 x 轴交于点轴
5、交于点(1,0),从而从而而域而域 D 位于直线的上方位于直线的上方,故在故在 D 上上(仅在点仅在点(1,0)处取等号处取等号)第12页，共25页，编辑于2022年，星期一解解第13页，共25页，编辑于2022年，星期一解解第14页，共25页，编辑于2022年，星期一性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第15页，共25页，编辑于2022年，星期一解解第16页，共25页，编辑于2022年，星期一解解第17页，共25页，编辑于2022年，星期一二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意
6、义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）小结小结第18页，共25页，编辑于2022年，星期一被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:第19页，共25页，编辑于2022年，星期一2.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有第20页，共25页，编辑于2022年，星期一3.证明证明:其中其中D 为为解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.第21页，共25页，编辑于2022年，星期一练练 习习 题题第22页，共25页，编辑于2022年，星期一第23页，共25页，编辑于2022年，星期一第24页，共25页，编辑于2022年，星期一练习题答案练习题答案第25页，共25页，编辑于2022年，星期一