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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 方程的根与函数的零点一、 教学内容分析本节课选自一般高中课程标准试验教课书数学 I 必修本（ A 版）第 94-95 页的第三章第一课时 3.1.1 方程的根与函数的的零点；函数与方程是中学数学的重要内容,既是初等数学的基础, 又是初等数学与高等数学的连接纽带； 在现实生活留意理论与实践相结合的今日,函数与方程都有着特别重要的应用, 再加上函数与方程仍是中学数学四大数学思想之一,因此函数与方程在整个高中数学教学中占有特别重要的位置；就本章而言,本节通过对二次函数的图象的争论判定一元二次方程根的存在性以及根的个数的判定建立一元二次方程的根与相应的
2、二次函数的零点的联系,然后由特殊到一般, 将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了中学一元二次方程与相应的二次函数的内在联系,也引出对函数学问的总结拓展； 之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用, 通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地表达函数与方程的关系,逐步建立起函数与方程的联系渗透“方程与函数 ” 思想；总之,本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数 ”和“数形结合 ”的思想, 教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础,因此教好本节是至关重要的；二 同学学习情形分析地理位置：同学大多来自市区,同学接触面较广,个性
3、较活跃,所以开头可采纳竞赛的形式调动同学积极性； 同学数学基础的差异不大, 但进一步钻研的精神相差较大,所以可适当对学问点进行拓展；程度差异性：中低等程度的同学占大多数,程度较高与程度很差的同学占少数；学问、心理、才能储备：同学之前已经学习了函数的图象和性质,现在基本会画简洁函数的图象, 也会通过图象去争论懂得函数的性质,这就为同学懂得函数的零点供应了帮忙,初步的数形结合学问也足以让同学直观懂得函数零点的存在 性,因此从同学熟识的二次函数的图象入手介绍函数的零点,从认知规律上讲,应当是简洁懂得的； 再者一元二次方程是中学的重要内容,同学应当有较好的基础对于它根的个数以及存在性同学比较熟识,同学
4、懂得起来没有多大问题； 这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系供应了学问基础；但是同学对其他函数的图象与性质熟识不深（比如三次函数） ,对于高次方程仍不熟识,我们缺乏更多类型的例子, 让同学从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系,因此懂得函数的零点、函数的零点与方程根的联系应当是同学学习的难点；加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂；因此在教学中应加强师生互动, 尽多的给同学动手的机会, 让同学在实践中体验二者的联系,并充分供应不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让同学研讨,三 设计思想从而直观地归纳、 总结、分析出二者的联系；教学理念：培育同学学习数学的爱好,学会严密摸索,并从中找到
5、乐趣 教学原就：留意各个层面的同学教学方法：启示诱导式四、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口,探究方程的根与函数名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的零点的关系, 发觉并把握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；让同学在探究过程中体验发现的乐趣, 体会数形结合的数学思想, 从特殊到一般的归纳思想, 培育同学的辨 证思维以及分析问题解决问题的才能；五、教学重点难点 重点：函数零点与方程根之间的关系； 连续函数在某区间上存在零点的判定方法；难点：
6、发觉与懂得方程的根与函数零点的关系；探究发觉函数存在零点的方法；六、教学程序设计 1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探究 1.1 方程的根与函数的零点 问题 1：解方程（竞赛）：6x1=0 ；3x6x1=0 ；再竞赛解 3x36x1=0 设计意图：问题 1（产生疑问,引起爱好,引出课题）竞赛模式引入, 调动积极性, 可依据学分评定中进行过程性评定加分嘉奖,充分 调动同学积极性和主动性；第三题同学无法解答, 产生疑问引入课题： 老师介绍说一次方程、 二次方程甚至 乘方与开方等运算来表示,三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四就运算,但高于四次的方程一般不能用公式求解,如 3x6x1=0
7、紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法）,伽罗瓦（法 国）的近世代数理论, 提出早在十三世纪的中国, 秦九韶等数学家就提出了高次 方程数值解的解法, 兴奋同学的民族骄傲感, 最终引出人们始终在争论方程的近 似解方法二分法引入课题；问题 2：先来观看几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如 图 7-1 1 方程与函数x 轴交点坐标的2 方程与函数3 方程与函数师生互动 师：老师引导同学解方程、 画函数图象、 分析方程的根与图象和关系,推广到一般的方程和函数引出零点概念；零点概念：对于函数 yf（x）（xD）,把使 f（x） 0 成立的实数 x 叫做
8、函数 yf（x）（xD）的；师：填表格图 7-1 生：经过独立摸索,填完表格 师提示：依据零点概念,提出问题,零点是点吗？零点与函数方程的根有何关 系？生：经过观看表格,得出第一个结论名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师再问：依据概念,函数yf（x）的零点与函数yf（x）的图象与 x 轴交点有什么关系生：经过观看图像与 x 轴交点完成解答,得出其次个结论师：概括总结前两个结论（请同学总结） ；1 ）概念：函数的零点并不是“ 点”,它不是以坐标的形式显现,而是实数；例如函数的零点为 x=-1,3 2）函数零点的意义：函
9、数的零点就是方程实数根,亦即函数有零的图象与 x 轴交点的横坐标3）方程有实数根函数的图象与 x 轴有交点函数点；师：引导同学认真体会上述结论；再提出问题：如何并依据函数零点的意义求零点？生：可以解方程 而得到（代数法）；可以利用函数 的图象找出零点（几何法）问题 2 一方面让同学懂得函数零点的含义, 另一方面通过对比让同学再次加深对二者关系的熟识, 使函数图象与 x 轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂；通过对比教学揭示学问点之间的亲密关系；问题 3：是不是全部的二次函数都有零点？师：仅提出问题,不须做任何提示；生：依据函数零点的意义探究争论二次函数的零点情形,形成结论二次函
10、数 的零点：看 并进行沟通, 总结概括） ,方程有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点名师归纳总结 ） ,方程有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与x第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点x 轴无交点,二次） ,方程无实根,二次函数的图象与函数无零点第一阶段设计意图本节的前半节始终以二次函数作为模本争论,此题是从特殊到一般的升华, 也全面总结了二次函数零点情形, 给同学一个清楚的解题思路； 进而培育同学归纳总 结才能；1.2 零点存在性的探究 师生互动 师：
11、要求生用连续不断的几条曲线连接如图 线 l 的相交情形,由两个同学上台板书：A a B b 图 4 4 A、B 两点,观看所画曲线与直生：两个同学画出连接 A、B 两点的几条曲线后发觉这些曲线必与直线 l 相交；师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图 A、B 两点,引导同学观看所画曲线与直线 l 的相交情形,说明连接 A、B 两点的函数曲线交点必在区间 a,b 内；l 生：观看下面函数 f（x）0 的图象（如图 5）并回答图 5 区间 a,b上_有/无零点； f（a）f（b）_0（或）； 区间 b,c上_有/无零点；f（b）f（c）_0（或）； 区间 c,d上_有/无零点； f（c）f（d）_
12、0（或）； 师：老师引导同学结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情形,与函数零点是否存在之间的关系；生：依据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行沟通、评析总结概括形成结论）一般地,我们有：假如函数y f（x）在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线并且有 f（a）f（b）<0 ,那么函数 y f（x）在区间（ a,b）内有零点,即存在 c （a,b）,使得 f（c）=0,这个 c 也就是方程 f（x） 0 的根；其次阶段设计意图：老师引导同学探究归纳总结函数零点存在定理,培育归纳总结才能和规律思维2、例范争论 例 1.已知函数 f（x）= 3x56
13、x1 有如下对应值表：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 yf（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？设计意图通过本例引导探究,师生互动 探求 1：假如函数 y f（x）在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有 f（a）f（b）>0 时,函数在区间（ a,b）内没有零点吗 . 探求 2：假如函数 yf（x）在区间 a,b上的图象是一条连续不断的曲线,并且 有 f（a）f（b）<0 时,函数在区间（ a,b）内有零点,但是否只一个零点？探求 3：假如函数 yf（x）在区间 a,b上的图象是一条
14、连续不断的曲线,并且 f（a）f（b）<0 ？函数在区间（ a,b）内有零点时肯定有 探求 4：假如函数 yf（x）在区间 a,b上的图象不是一条连续不断的曲线,函数在区间（ a,b）内有零点时肯定有图 5（反例）师：总结两个条件：f（a）f（b）<0 ？1）函数 y f（x）在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线 2）在区间 a,b上有 f（a）f（b）<0 一个结论：函数 yf（x）在区间 a,b内单调就函数在这个区间内有且只有 一个零点补充：什么时候只有一个零点？（观看得出）函数 例 2求函数yf（x）在区间 a,b内单调时只有一个零点 的零点个数问题：1）你可以想
15、到什么方法来判定函数零点个数？2）判定函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？第三阶段设计意图：老师引导同学懂得函数零点存在定理,分析其中各条件的作用 ,应用例 1,例 2 加深对定理的懂得3、练习尝试 可依据时间和同学对学问的接受程度适当调整 1求函数,并画出它的大致图象2利用函数图象判定以下方程有没有根,有几个根：（1）；（2）；3利用函数的图象,指出以下函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；结合函数的单调性师生互动 师：多媒体演示； 结合图象考察零点所在的大致区间与个数,说明零点的个数； 让同学熟识到函数的图象及基本性质 函数零点中的重要作用（特殊是单调性） 在确定名师
16、归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生：建议同学使用运算器求出函数的大致区间,节的用二分法求方程的近似解做预备；培育同学的估算才能, 也为下一第四阶段设计意图： 利用练习巩固新学问, 加深懂得, 为用二分法求方程的近似 解做预备4、探究争论 可依据时间和同学对学问的接受程度适当调整 争论：请大家给方程的一个解的大约范畴,看谁找得范畴更小？师生互动 师：把同学分成小组共同探究,给同学足够的自主学习时间,让同学充分争论,发挥其主观能动性； 也可以让各组把这几个题做为小课题来争论,激发同学学习 潜能和热忱； 老师用多媒体演示,
17、直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情 况；生：分组争论,各抒己见；在探究学习中得到数学才能的提高 第五阶段设计意图：一是为用二分法求方程的近似解做预备二是小组探究合作学习培育同学的创新才能和探究意识,本组探究题目就是为了培育同学的探究才能, 此组题目具有较强的开放性,探究性, 基本上可以达到上 述目的；5 课堂小结：零点概念 零点存在性的判定 零点存在性定理的应用留意点：零点个数判定以及方程根所在区间 6 作业回馈 教材 P108 习题 31（A 组）第 1、2 题；摸索：总结函数零点求法要留意的问题；近似解吗？教学程序设计框图：摸索可以用求函数零点的方法求方程的分析教材设计意图,探讨教学
18、规律；探究合理教学思想,提出教学建议；循序渐进的原就, 分三步来绽开这部分零点的联系,相应的函数的情形；其次步,然后将其推广到一般方程与在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图象和性质争论方程的解,表达函数与方程的关系； 第三步, 在函数模型的应用过程中, 通过建立函数模型以及模 型的求解, 更全面地表达函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系；本节 只是函数与方程的关系建立的第一步,教学中忌面面具到,延展太深；名师归纳总结 恰当使用信息技术： 本节的教学中应当充分使用信息技术；实际上, 一些内容因第 6 页,共 7 页为涉及大数字运算、 大量的数据处理、 超越方程求解以及复杂的函数作图,
19、因此- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如没有信息技术的支持, 教学是不简洁绽开的； 因此,教学中会加强信息技术 的使用力度,合理使用多媒体和运算器；泉州九中陈美珠 点评 本节课在尝试解答五次方程失败后,老师用浓缩的数学史的简介活跃了课堂气 氛,使同学受到数学文化的熏陶,并产生探究新学问的欲望；紧接着,借助二次 函数的图象与 x 轴是否有交点的事实与一元二次方程的根的关系动身,建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系,然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形, 引入了函数零点的定义, 表达了从详细到一般的思维过程； 随后,利用函数图像和几个填空
20、题引导探究函数零点的存在,初步得到函数零点存在的判定方法, 表达了数形结合的思想方法； 为了多角度深刻懂得函数零点存在定理 的内涵,老师构造了 4 个探究问题； 4 个探究问题是本节课亮点, 例子设计精致,层层递进,由此引发了同学积极的摸索、探究与沟通；设计中表达了师生主动参加体验的有机结合,激发了同学探究新知的爱好, 重点突出,容量适中,由浅入深,环环相扣；整个教学过程老师只是指导、点评,充 分展现学问发生、进展的过程,由同学自主建构,在此过程中获得对学问的亲身体验,把教学的主动权给了同学, 勉励学生自主探究、争论性学习,使同学成为真正意义上的学习主人；值得商讨的是,在给出函数零点的概念后,要让同学明确“方程的根 ”与“函数的零点 ”尽管有亲密的联系,但不能将它们混为一谈；这是个难点,老师未能在此 有所突破；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页