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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分数乘法一、分数乘法（一）、分数乘法的运算法就：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子,分母不变；（整数和分母约分 ）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母；3、为了运算简便,能约分的要先约分,再运算；留意：当带分数进行乘法运算时,要先把带分数化成假分数再进行运算；（二）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（ 0 除外）乘大于 1 的数,积大于这个数；一个数（ 0 除外）乘小于 1 的数（ 0 除外）,积小于这个数；一个数（ 0 除外）乘 1,积等于这个数；（三）、分数混合运算的运算次序和整数的运算次
2、序相同；（四）、整数乘法的交换律、结合律和安排律,对于分数乘法也同样适用；乘法交换律： a b = b a （ a + b ） c 乘法结合律： a b c = a b c 乘法安排律：（ a + b ） c = a c + b c a c + b c = 二、分数乘法的解决问题（已知单位“1” 的量（用乘法）,求单位“1” 的几分之几是多少）1、找单位“1” ：在分率句中分率的前面；或“ 占” 、“ 是” 、“ 比” 的后面几2、求一个数的几倍：一个数 几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几；3、写数量关系式技巧：名师归纳总结 （1）“ 的”相当于“ ”“ 占” 、“ 是” 、“ 比” 相
3、当于“ = ”第 1 页,共 12 页（2）分率前是“ 的” ：单位“1” 的量 分率 =分率对应量（3）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1” 的量 （ 1分率） =分率对应量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、倒数1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数；强调：互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们相互依存,倒数不能单独存在；（要说清谁是谁的倒数） ；2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置；（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1的分数,再交换分子分母的位置； （3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数
4、,再求倒数；（4）、求小数的倒数：把小数化为分数,再求倒数；3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数 ；由于 1 1=1；0 乘任何数都得 0,1 （分母不能为 0）04、对于任意数 a a 0,它的倒数为1；非零整数 a 的倒数为1；分数b 的倒数是a；a a a b5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1；分数除法一、分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算；2、分数除法的运算法就：除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数；3、规律（分数除法比较大小时） ：（1）、当除数大于 1,商小于
5、被除数；（2）、当除数小于 1（不等于 0）,商大于被除数；（3）、当除数等于 1,商等于被除数；4、 “” 叫做中括号；一个算式里,假如既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的；二、分数除法解决问题（未知单位“1” 的量（用除法）： 已知单位“1” 的几分之几是多少,求单位“1” 的量； ）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）分率前是“ 的” ：学习必备欢迎下载1” 的量 分率 =分率对应量单位“（2）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1”
6、 的量 （ 1分率） =分率对应量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：依据数量关系式设未知量为 X,用方程解答；（2）算术（用除法）：分率对应量 对应分率 = 单位“1” 的量3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数 另一个数4、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几： 大数 小数 1 求少几分之几： 1 - 小数 大数或 求多几分之几 （大数 - 小数） 小数 求少几分之几： （大数 - 小数） 大数 三、比和比的应用（一）、比的意义 1、比的意义： 两个 数相除 又叫做两个数的 比；2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项；比的前项除
7、以后项所得的商,叫做比值；例如 15 ：10 = 15 10= 3 （比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示）2前项比号后项比值3、比可以表示两个相同量的关系, 即倍数关系； 也可以表示两个不同量的比, 得到一个新量；例：路程 速度 =时间；4、区分比和比值比：表示 两个数 的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示；比值 ：相当于商,是 一个数 ,可以是整数,分数,也可以是小数；5、依据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、比和除法、分数的联系：学习必备欢迎下载
8、比值比前项比号“ ：”后 项除 法被除数除号“ ”除 数商分 数分子分数线“ ”分 母分数值7、比和除法、分数的区分：除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系；8、依据比与除法、分数的关系,可以懂得比的后项不能为 0；体育竞赛中显现两队的分是（二）、比的基本性质2：0 等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系；1、依据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外）,商不变；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外）,分数值不变；比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数0 除外 ,比值不变；2、最简整数比：比的前项
9、和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比；3、依据比的基本性质,可以把比化成最简洁的整数比；4. 化简比：依 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数；据（1）比 两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整 的 基 数比的方法来化简；本 性 两个小数的比：向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简；（2）用求比值的方法；留意 : 最终结果要写成比的形式；如： 1510 = 15 10 = 3 = 3 2 2 5按比例安排：把一个数量依据肯定的比来进行安排；这种方法通常叫做按比例安排；如：已知两个量之比为a b ,就设这两个量分别为ax 和bx；6、路程肯定,速度比和时
10、间比成反比；（如：路程相同,速度比是4：5,时间比就为 5：4）工作总量肯定,工作效率和工作时间成反比；（如：工作总量相同,工作时间比是3：2,工作效率比就是2：3）圆名师归纳总结 一、熟悉圆第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形；2、圆心：将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心；一般用字母 O表示；它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径；一般用字母 r 表示；把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径；4、直径
11、： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；一般用字母 d 表示；直径是一个圆内最长的线段；5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；6、在同圆或等圆内, 有很多条半径, 有很多条直径； 全部的半径都相等, 全部的直径都相等；7在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的1 ；2用字母表示为： d2r 或 r d 28、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形；折痕所在的这条直线叫做对称轴； （经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴；这些图形都是轴对称图形；10、只有 1 一条对称轴的图
12、形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆；只有 2 条对称轴的图形是：长方形只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形只有 4 条对称轴的图形是：正方形 ; 有很多条对称轴的图形是：圆、圆环；二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长；用字母 C表示；2、圆周率试验：在圆形纸片上做个记号,与直尺0 刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长；发觉一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（ ）；3圆周率： 任意一个圆的 周长 与它的 直径 的比值 是一个固定的数, 我们把它叫做 圆周率 ；用字母 （pai ） 表示；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页
13、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数；圆周率 是一个无限不循环小数；在运算时,一般取 3.14 ；（2）、在判定时,圆周长与它直径的比值是 倍,而不是 3.14 倍；（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之；4、圆的周长公式 ： C= d d = C 或 C=2 r r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长；在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽；6、区分周长的一半 和半圆的周长 ：（1） 周长的一半 ：等于圆的周长2 运算方法：
14、 2 r 2 即 r（2）半圆的周长： 等于圆的周长的一半加直径；三、圆的面积运算方法 ： r 2r 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积；用字母 S 表示；2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；3、圆面积公式的推导：顶点在圆心的角叫做圆心角；（1）、用逐步靠近的转化思想：表达化圆为方,化曲为直；化新为旧,化未知为已知,化复杂为简洁,化抽象为详细；（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形；（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系；圆的半径 = 长方形的宽由于：圆的周长的一半 = 长方形的长宽长方形面积 = 长所以：圆的面积 = 圆周长的一
15、半圆的半径名师归纳总结 S圆 = r r 2 第 6 页,共 12 页圆的面积公式： S圆 = r- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、环形的面积：一个环形,外圆的半径是 R,内圆的半径是 r ；（ Rr 环的宽度）S 环 = R2 2 或环形的面积公式： S 5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,环 = （R22）；直径和周长 也扩大或缩小 相同的倍数 ；而面积 扩大或缩小的倍数是这 倍数的平方倍 ；例如：在同一个圆里,半径扩大 3 倍,那么直径和周长就都扩大 3 倍,而面积扩大 9 倍；6、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面
16、积比等于这比的平方；例如：两个圆的半径比是 23,那么这两个圆的直径比和周长比都是 23,而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即：48、当长方形,正方形,圆的 周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小；反之, 面积相同时 ,长方形的周长最长,正方形居中,9、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长圆周长最短； + 两个直道的长度；（2）、每条跑道直道的长度都相等, 而各圆周长打算每条跑道的总长度； （因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2 跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加 厘米；
17、当一个圆的直径增加厘米时,它的周长就增加 厘米；11、常用各 值结果： = 3.14 5 = 15.7 9 = 28.26 36= 113.04 2 = 6.28 6 = 18.84 10 = 31.4 64 = 200.963 = 9.42 7 = 21.98 16 = 50.24 96 = 301.44 4 = 12.56 8 = 25.12 25 = 78.5 12、常用平方数结果名师归纳总结 2 11 = 121 2 12 = 144 2 13 = 169 2 14 = 196 2 15 = 225 第 7 页,共 12 页2 16 = 256 2 17 = 289 2 18 = 32
18、4 2 19 = 361 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载百分数 一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几；百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比；2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几；3、百分数和分数的主要联系与区分：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系；（2） 区分：、意义不同：百分数 只表示两个数的倍比关系, 不能表示详细的数量, 所以不能带单位 ；分数 既可以表示详细的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时 可以带单位 ；、百分数的分子可以是整数,也可以是小数；分数的分子不能
19、是小数,只能是除 0 以外的自然数；4、百分数的写法： 通常不写成分数形式,而在原先分子后面加上“ ” 来表示；二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号；2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位,同时去掉百分号；（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否 2、分数化成百分数： 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数,能约分要约成最简分数；100 的分数,再写成百分数形式；先把分数化成小数（ 除不尽时,通常保留三位小数）,再把小数化成百分数；（三）
20、常见的分数与小数、百分数之间的互化名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 = 0.5 = 50% 22 = 0.08 = 8 25学习必备欢迎下载5 = 0.625 = 62.5% 81 = 0.2 = 20% 51 = 0.25 = 25% 42 = 0.4 = 40% 51 = 0.125 = 12.5% 83 = 0.75 = 75% 43 = 0.6 = 60% 53 = 1.375 = 37.5% 81 = 0.0625 = 6.25% 164 = 0.8 = 80% 57 = 0.875 = 87.5%
21、81 = 0.04 = 4 253 = 0.12 = 12 254 = 0.16 = 16 25三、用百分数解决问题（一）一般应用题1、常见的百分率的运算方法：合格率 = 合格产品数100%发芽率 = 发芽种子数100%100%产品总数种子总数出勤率 = 出勤人数100%达标率 = 达标同学人数100%总人数同学总人数成活率 = 成活的数量100%出粉率 = 粉的重量100%总数量出粉物的重量烘干率 = 烘干后的重量100%含水率 = 烘干前的重量烘干后的重量烘干前的重量烘干前的重量一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可
22、以超过100%；（一般出粉率在 70、80%,出油率在 30、40%；）2、已知单位“1” 的量（用乘法）, 求单位“1” 的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“ 的” ：单位“1” 的量 分率 =分率对应量（2）分率前是“ 多或少” 的意思：单位“1” 的量 （ 1 分率） =分率对应量3、未知单位“1” 的量（用除法）,已知单位“1” 的百分之几是多少,求单位“1” ；解法：（建议：最好用方程解答）名师归纳总结 （1）方程：依据数量关系式设未知量为X,用方程解答；第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
23、 - - - - （2）算术（用除法）：学习必备欢迎下载1” 的量分率对应量 对应分率 = 单位“4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的 相差量 单位“1” 的量 100% 或： 求多百分之几： 大数- 小数 小数 求少百分之几： （大数 - 小数） 大数（二）、折扣1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣；通称“ 打折”；几折就表示非常之几,也就是百分之几十；例如八折 = 8 =80 , 六折五 =0.65=65102、一成是非常之一,也就是 10%；三成五就是非常之三点五,也就是 35% （三）、纳税1、纳税：纳税是依据国家税法的有关规定,依据肯定的比率把集体或个人
24、收入的一部分缴纳给国家；2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一；国家用收来的税款进展经济、科技、训练、文化和国防安全等事业；3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额；4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率；5、应纳税额的运算方法：应纳税额 = 总收入 税率（四）利息1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法；2、储蓄的意义：人们经常把临时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有方案,仍可以增加一些收入；3、本金：存入银行的钱叫做本金；4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息；5、利率： 利息 与本金 的比值 叫做利率；6、利息的运算公式：
25、 利息本金 利率 时间7、留意：如要上利息税（国债和训练贮存的利息不纳税）,就：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载税后利息 =利息- 利息的应纳税额 =利息 - 利息 利息税率 =利息 （ 1- 利息税率）扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系；也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）；二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清晰的看出各种数量的多少；2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少,仍可以清晰看出数量的增减
26、变化情形；3、扇形统计图：能够清晰的反映出各部分数量同总数之间的关系；三、扇形的面积大小：在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大；（因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周 角度数的百分比；）圆柱与圆锥 一、圆柱的特点：1、圆柱的两个圆面叫做底面,四周的面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面,；2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高；圆柱的高有很多条；3、圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面沿高绽开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周 长,长方形的宽等于圆柱的高, 当底面周长和高相等时, 侧面沿高绽开后是一个正方形；4、圆柱的侧面积 = 底面周
27、长 高即 S 侧=Ch 或 2 r h 5 、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 + 底面积 2 即 S 表=S 侧+S 底 2 或 2 r h + 2 2 r 6、圆柱的体积 =圆柱的底面积 高,即 V=sh或 r 2 h 7、将一张长方形围成圆柱有两种方法,将一张长方形进行旋转一般也有两种；（进一法：实际中,使用的材料都要比运算的结果多一些,因此,要保留数的时候,省略的位上的是 4 或者比 4 小,都要向前一位进 1；这种取近似值的方法叫做进一法； ）二、圆锥的特点：1、圆锥只有一个底面,底面是个圆；圆锥的侧面是个曲面；2、从圆锥的顶点究竟面圆心的距离是圆锥的高；圆锥只有一条高；（测量圆锥的高
28、：先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的距离；）3、把圆锥的侧面绽开得到一个扇形；4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一, 即 V锥= 1 Sh 或 V锥= 1 r 2 h3 35、常见的圆柱圆锥解决问题：、压路机压过路面面积（求侧面积）；、压路机压过路面长度（求底面周长） ；、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；通风管（求侧面积） ；6、圆柱和圆锥的特点底面圆柱圆锥两个底面
29、完全相同,都一个底面,是圆形；是圆形；侧面曲面,沿高剪开,绽开曲面,沿顶点究竟面圆周上的一后是长方形；条线段剪开,绽开后是扇形；高两个底面之间的距离,顶点究竟面圆心的距离,只有一有很多条；条；常用单位换算长度单位换算1 千米 =1000 米 1 米=10 分米1 分米 =10 厘米 1 米=100 厘米1 厘米 =10 毫米面积单位换算1 平方千米 =100 公顷 1 公顷 =10000 平方米 1 平方米 =100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米 1 平方厘米 =100 平方毫米体容积单位换算1 立方米 =1000 立方分米 1 立方分米 =1000 立方厘米 1 立方分米 =1 升1 立方厘米 =1 毫升 1 立方米 =1000 升重量单位换算1 吨=1000 千克1 千克 =1000 克1 千克 =1 公斤人民币单位换算1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分时间单位换算名师归纳总结 1 世纪 =100 年1 年=12 月大月 31 天有:135781012月小月 30 天的有 :46911 月第 12 页,共 12 页平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天平年全年365 天, 闰年全年 366 天1 日 =24 小时1 时=60 分1 分=60 秒1 时=3600 秒- - - - - - -