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1、【解析版】专题3.9圆内接正多边形姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2019秋东丽区期末)边长为2的正六边形的面积为()A6B6C6D【分析】首先根据题意作出图形,然后可得OBC是等边三角形,然后由三角函数的性质,求得OH的长,继而求得正六边形的面积【解析】如图,连接OB,OC,过点O作OHBC于H,六边形ABCDEF是正六边形,B
2、OC36060,OB0C,OBC是等边三角形,BCOBOC2,它的半径为2,边长为2;在RtOBH中,OHOBsin602,边心距是:;S正六边形ABCDEF6SOBC626故选:A2(2020番禺区模拟)如图,四边形ABCD是O的内接正方形,点P是上不同于点C的任意一点,则BPC的大小是()A22.5B45C30D50【分析】连接OB、OC,首先根据正方形的性质,得BOC90,再根据圆周角定理,得BPC45【解析】如图,连接OB、OC,则BOC90,根据圆周角定理,得:BPCBOC45故选:B3(2020保定模拟)如图,ABD是O的内接正三角形,四边形ACEF是O的内接正四边形,若线段BC恰
3、是O的一个内接正n边形的一条边,则n()A16B12C10D8【分析】连接OA、OB、OC,如图,利用正多边形与圆,分别计算O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到AOC90,AOB120,则BOC30,然后计算即可得到n的值【解析】连接OA、OB、OC,如图,AB,AC分别为O的内接正四边形与内接正三角形的一边,AOC90,AOB120,BOCAOBAOC30,n12,即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边故选:B4(2020南充模拟)如图,把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起,连接EB,交HI于点K,则BKI的大小为()A90B85C84D80【分
4、析】根据正五边形的内角,可得I,BAI的值,根据正六边形,可得ABC的度数,根据正六边形的对角线,可得BAK的度数,根据四边形的内角和公式,可得答案【解析】由正五边形内角,得IBAI108,由正六边形内角,得ABC120,BE平分ABC,ABK60,由四边形的内角和,得BKI360IBAIABK3601081086084故选:C5(2020凉山州)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O,则AD:AB()A2:B:C:D:2【分析】连接OA、OB、OD,过O作OHAB于H,由垂径定理得出AHBHAB,证出AOD是等腰直角三角形,AOHBOH60,AHBHAB,得出ADOA,AHOA,则
5、AB2AHOA,进而得出答案【解析】连接OA、OB、OD,过O作OHAB于H,如图所示:则AHBHAB,等边三角形ABC和正方形ADEF,都内接于O,AOB120,AOD90,OAODOB,AOD是等腰直角三角形,AOHBOH12060,ADOA,AHOAsin60OA,AB2AH2OAOA,故选:B6(2020南开区二模)如图,五边形ABCDE是O的内接正五边形,AF是O的直径,则BDF的度数是()A18B36C54D72【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论【解析】AF是O的直径,五边形ABCDE是O的内接正五边形,BAE108,BAFBAE54,BDFBAF54,故选:C7(20
6、19秋徐州期末)已知圆内接正六边形的边长是1,则该圆的内接正三角形的面积为()AB2CD【分析】根据题意画出图形,设出圆的半径,再由正多边形及直角三角形的性质求解即可【解析】如图(二),圆内接正六边形边长为1,AB1,可得OAB是等边三角形,圆的半径为1,如图(一),连接OB,过O作ODBC于D,则OBC30,BDOBcos301,故BC2BDODOB,圆的内接正三角形的面积,故选:C8(2019秋建湖县期中)如图,AB、AC分别为O的内接正方形、内接正三边形的边,BC是圆内接正n边形的一边,则n等于()A8B10C12D16【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出AOB90,AOC120,进
7、而得出BOC30,即可得出n的值【解析】连接AO,BO,COAB、AC分别为O的内接正方形、内接正三边形的一边,AOB90,AOC120,BOC30,n12,故选:C9(2018秋沭阳县期中)如图,P,Q分别是O的内接正五边形的边AB,BC上的点,BPCQ,则POQ()A75B54C72D60【分析】连接OA、OB、OC,证明OBPOCQ,根据全等三角形的性质得到BOPCOQ,结合图形计算即可【解析】连接OA、OB、OC,五边形ABCDE是O的内接正五边形,AOBBOC72,OAOB,OBOC,OBAOCB54,在OBP和OCQ中,OBPOCQ,(SAS),BOPCOQ,AOBAOP+BOP,
8、BOCBOQ+QOC,BOPQOC,POQBOP+BOQ,BOCBOQ+QOC,POQBOC72故选:C10(2019秋莱山区期末)如图,AB,AC分别为O的内接正三角形和内接正四边形的一边,若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边,则n的值为()A8B10C12D15【分析】连接OA、OB、OC,如图,利用正多边形与圆,分别计算O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到AOC90,AOB120,则BOC30,然后计算即可得到n的值【解析】连接OA、OB、OC,如图,AB,AC分别为O的内接正四边形与内接正三角形的一边,AOC90,AOB120,BOCAOBAOC30,n12,即BC恰好是同圆
9、内接一个正十二边形的一边故选:C二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020历下区二模)正方形的边长为6,则该正方形的边心距是3【分析】根据题意首先求出OE的长,即可解决问题【解析】如图所示:作OEBC,四边形ABCD是O的内接正方形,OBE45,而OEBC,BECE,EBOE3,故其边心距为3故答案为:312(2020雁塔区校级二模)如图,在正六边形ABCDEF中,连接BD、BE、DF,则的值为【分析】由正六边形的性质得出BCCDDEEF,CCDEDEF120,由等腰三角形的性质得出CDBCBD30,得出BDE90,DEBFEB60,求出DBE30
10、,由含30角的直角三角形的性质得出BE2DE,BDDE,证明BCDDEF(SAS),得出BDDFDE,即可得出答案【解析】六边形ABCDEF是正六边形,BCCDDEEF,CCDEDEF(62)180120,CDBCBD30,BDE1203090,DEBFEB60,DBE30,BE2DE,BDDE,在BCD和DEF中,BCDDEF(SAS),BDDFDE,;故答案为:13已知正五边形ABCDE内接于O,连接BD,则ABD的度数是72【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出ABC、CDCB,根据等腰三角形的性质求出CBD,计算即可【解析】五边形ABCDE为正五边形,ABCC108,CDCB
11、,CBD36,ABDABCCBD72,故答案为:7214(2019秋东城区校级期中)如图,正六边形ABCDEF内接于O且半径为3,则AB的长为3【分析】连接OA、OB,由正六边形的性质得出AOB60,证出AOB是等边三角形,得出ABOAOB3即可【解析】连接OA、OB,如图所示:正六边形ABCDEF内接于O,AOB60,OAOB3,AOB是等边三角形,ABOAOB3,故答案为:315(2019秋惠民县期中)如图,正六边形ABCDEF内接于O,若O的半径为2,则ADE的周长是6【分析】首先确定三角形的三个角的度数,从而判断该三角形是特殊的直角三角形,然后根据半径求得斜边的长,从而求得另外两条直角
12、边的长,进而求得周长【解析】连接OE,多边形ABCDEF是正多边形,DOE60,DAEDOE6030,AED90,O的半径为2,AD2OD4,DEAD21,AEDE2,ADE的周长为2+4+26+2,故答案为:6+216(2019秋鼓楼区期中)如图,AB是O的内接正方形一边,点C在弧AB上,且AC是O的内接正六边形的一边,若将BC看作是O的内接正n边形的一边,则n的值是12【分析】根据中心角的度数360边数,列式计算分别求出AOB,BOC的度数,则AOC60,则边数n360中心角【解析】连接OC,AB是O内接正方形的一边,AOB360490,BC是O内接正六边形的一边,AOC360660,BO
13、CAOBAOC906030,n3603012;故答案为:12;17(2019秋镇江期末)如图,O半径为,正方形ABCD内接于O,点E在上运动,连接BE,作AFBE,垂足为F,连接CF则CF长的最小值为【分析】如图,取AB的中点K,以AB为直径作K,想办法求出FK,CK,根据CFCKFK即可解决问题【解析】如图,取AB的中点K,以AB为直径作K,AFBE,AFB90,AKBK,KFAKBK,正方形ABCD的外接圆的半径为,ABBC2,KFAKKB1,CBK90,CK,CFCKKF,CF1,CF的最小值为1故答案为118(2014余姚市校级自主招生)已知:圆内接正方形ABCD,DAC的平分线交圆于
14、E,交CD于P,若EP1,AP3,则圆的半径r【分析】根据DAC的平分线交圆于E,得到DAECAE,根据圆周角定理得到AEDDEP,推出ADEDPE,根据相似三角形的性质得到AE4,于是得到DE2,根据圆周角定理得到CEDE2,由于AC是直径,于是得到AEC90,根据勾股定理即可得到结论【解析】DAC的平分线交圆于E,DAECAE,CDECAE,DAECDE,AEDDEP,ADEDPE,DE2AEEP;EP1,AP3,AE4,DE2AEEP4,DE2DAECAE,弧DE弧CE,CEDE2,圆内接正方形ABCD,ADC90,AC是直径,AEC90,AC2,r,故答案为:三、解答题(本大题共6小题
15、,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2019秋镇江期中)如图,正方形ABCD内接于O,M为的中点,连接AM,BM(1)求证:;(2)求的度数【分析】(1)根据正方形的性质得到ADBC,求得,由M为的中点,得到,于是得到结论;(2)连接OM,OA,OB,求得AOB90,求得AOMBOM(36090)135,即可得到结论【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形,ADBC,M为的中点,;(2)解:连接OM,OA,OB,正方形ABCD内接于O,AOB90,AOMBOM(36090)135,的度数时13520(2018秋镇江期末)如图,正方形ABCD内接于O,P为上一点,连接DE
16、,AE(1)CPD45;(2)若DC4,CP,求DP的长【分析】(1)连接BD,根据正方形ABCD内接于O,可得CPDDBC45;(2)作CHDP于H,因为CP2,CPD45,可得CHPH2,因为DC4,所以DH,即DPPH+DH2+2【解析】(1)如图,连接BD,正方形ABCD内接于O,P为上一点,DBC45,CPDDBC,CPD45故答案为:45;(2)如图,作CHDP于H,CP2,CPD45,CHPH2,DC4,DH2,DPPH+DH2+221(2020江岸区校级模拟)如图,A,P,B,C是O上的四个点,APCCPB60(1)求证:ABC是等边三角形(2)若O的半径为2,求等边ABC的边
17、心距【分析】(1)利用圆周角定理可得BACCPB,ABCAPC,而APCCPB60,所以BACABC60,从而可判断ABC的形状;(2)过O作ODBC于D,连接OB,根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】(1)证明:在O中,BAC与CPB是对的圆周角,ABC与APC是所对的圆周角,BACCPB,ABCAPC,又APCCPB60,ABCBAC60,ABC为等边三角形;(2)过O作ODBC于D,连接OB,则OBD30,ODB90,OB2,OD1,等边ABC的边心距为122(2018秋下城区期中)(1)已知:如图1,ABC是O的内接正三角形,点P为劣弧BC上一动点求证:PAPB+PC;(2)已知:
18、如图2,四边形ABCD是O的内接正方形,点P为劣弧BC上一动点求证:PAPCPB【分析】(1)延长BP至E,使PEPC,连接CE,证明PCE是等边三角形利用CEPC,E360,EBCPAC,得到BECAPC,所以PABEPB+PC;(2)过点B作BEPB交PA于E,证明ABECBP,所以PCAE,可得PAPCPB;【解答】证明:(1)延长BP至E,使PEPC,连接CE,如图1,A、B、P、C四点共圆,BAC+BPC180,BPC+EPC180,BACCPE60,PEPC,PCE是等边三角形,CEPC,E60;又BCE60+BCP,ACP60+BCP,BCEACP,ABC、ECP为等边三角形,C
19、EPC,ACBC,在BEC和APC中,BECAPC(SAS),PABEPB+PC;(2)过点B作BEPB交PA于E,连接OA,OB如图2,1+22+39013,APBAOB45,BPBE,PEPB,在ABE和CBP中,ABECBP(SAS),PCAE,PAAE+PEPCPB;23(2017秋青山区期中)如图正方形ABCD内接于O,E为CD任意一点,连接DE、AE(1)求AED的度数(2)如图2,过点B作BFDE交O于点F,连接AF,AF1,AE4,求DE的长度【分析】(1)如图1中,连接OA、OD根据AEDAOD,只要证明AOD90即可解决问题;(2)如图2中,连接CF、CE、CA,作DHAE
20、于H首先证明CEAF1,求出AC、AD,设DHEHx,在RtADH中,利用勾股定理即可解决问题;【解析】(1)如图1中,连接OA、OD四边形ABCD是正方形,AOD90,AEDAOD45(2)如图2中,连接CF,CE,CA,BD,作DHAE于HBFDE,ABCD,BDEDBF,BDCABD,ABFCDE,CFAAEC90,DECAFB135,CDAB,CDEABF,AFCE1,AC,ADAC,DHE90,HDEHED45,DHHE,设DHEHx,在RtADH中,AD2AH2+DH2,(4x)2+x2,解得x或(舍弃),DEDH24(2018秋大连月考)如图1,ABC为等边三角形,图2为正方形,
21、图3为正五边形,图4为正多边形(1)如图1当BPCQ时,请求出AOQ的度数,并说明理由(2)如图2,在正方形中,当BPCQ时AOQ90;如图3,在正五边形中,当BPCQ时,AOQ108;(3)如图4,在正n边形中,当BPCQ时,AOQ是否有什么规律?如果有请用含有n的式子直接表示;如果没有规律,请说明理由【分析】(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论;(2)方法同(1);(3)由(2)的结论即可得到结果【解析】(1)AOQ60在ABP和BCQ中,ABPBCQ(SAS)BAPCBQAOQABO+BAPABO+CBQABC60;(2)理由同(1):正方形AOQ90,正五边形AOQ108,(3)正n边形AOQ故答案为:90,10822