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1、近世代数基本概念现在学习的是第1页，共22页第一章 基本概念 近世代数的主要内容是研究所谓代近世代数的主要内容是研究所谓代数系统数系统,即带有运算的集合。近世代数在即带有运算的集合。近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近半个世纪以来，里都有重要的应用。近半个世纪以来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。的技术。在这一章里，我们先把常要用到的基本概在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。为了完整起见念介绍一下。为了完整起见,有些不得不有所有些不得不有所重复。重复。现在学习的是第2页，共22
2、页n1.集合n2.映射n3.代数运算n4.结合律n5.交换律n6.分配律n7.一一映射、变换n8.同态n9.同构、自同构n10.等价关系与集合的分类第一章 基本概念现在学习的是第3页，共22页1.集合集合:若干个固定事物的全体.它用大写字母 A,B,C,来表示。元素:组成一个集合的事物.它用小写字母 a,b,c,来表示。如A=a,b,c,集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于A，或说包含a，记为 ;若a不属于A,或说A不包含a,记为 .空集合:一个没有元素的集合.子集:若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的子集.记为 ;否则,B不是A的子集.现在学习的是第4页，共22页空集合
3、是任何集合的子集.真子集:若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集;否则,B不是A的真子集.集合相等:若 ,则说a 是A和B共同元:A和B的交集:1.集合现在学习的是第5页，共22页并集集合的积例1 ,则 ,则 空集合.1.集合现在学习的是第6页，共22页2.映射映射:现在学习的是第7页，共22页例1 例2 A=东,南,B=南,D=高,低.例3 A=D=R.2.映射现在学习的是第8页，共22页映射定义要注意以下几点:1.集合 可以相同;2.的次序不能掉换;3.映射一定要替每一个元规定一个象;4.一个元只能有惟一的象;5.所有的象都必须是D的元.相同映射:2.映射现在学习
4、的是第9页，共22页3.代数运算一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算.代数运算是一种特殊的映射,用表示.例1.A=所有整数 ,B=所有不等于整数,D=所有有理数现在学习的是第10页，共22页注意:当A=B的时候,AB=BA,但不是在A和B都是有限集的时候,一个AB到D的代数运算常用一个表来表示.例 1 212a ab a3.代数运算现在学习的是第11页，共22页4.结合律一个集合A的代数运算 适合结合律,假如如果对于A的n(n2)个固定的元 所有的 都相等,我们把这个惟一的结果用 现在学习的是第12页，共22页5.交换律一个AA到D的代数运算 适合交换律,如果如果集合A的代数运算同时适
5、合结合律与交换律,则在 里,元的次序可以交换.现在学习的是第13页，共22页是一个BA到A的代数运算,是一个A的代数运算.若,对于B的任何b,A的任何 ,都有 则说,适合第一分配律.类似地可定义第二分配律.如果适合结合律,适合第一分配律,则6.分配律现在学习的是第14页，共22页7.一一映射、变换映射则一个A到 有 叫做一个单射,如果一个既是满射又是单射的映射叫做一一映射.一个一一映射有一个也是一一映射的逆映射.一个A到A的映射叫做A的一个变换.相应地,有满射变换、单射变换和一一变换的概念。现在学习的是第15页，共22页如果对于代数运算 有一个A到 的满射的同态映射存在,则说这个映射是一个同态
6、满射,并说,A与 同态.8.同态现在学习的是第16页，共22页如果对于代数 ,A和 同态,则 若 适合结合律,也适合结合律,若 适合交换律,也适合交换律设8.同态现在学习的是第17页，共22页9.同构、自同构若两个集合同构，抽象地来看，没有本质的区别，只是命名上的不同。若一集合有一个只与这个集合的代数运算有关的性质，则另一个集合有一个完全类似的性质。现在学习的是第18页，共22页对于与来说的一个A与A间的同构映射叫做一个对于的A的自同构。例 A=1，2，3.代数运算由下表给定:1 2 31233 3 33 3 33 3 3则是一个对于的A的自同构.9.同构、自同构现在学习的是第19页，共22页
7、10.等价关系与集合的分类一个AA到D=对,错的映射R叫做A的元间的一个关系.若R(a,b)=对,则a与b符合关系R,记为aRb.若R(a,b)=错,则a与b不符合关系R.集合A的元间的一个关系R满足:.反射律:.对称律:.推移律:则称R是一个等价关系,记为.若a b,则说a与b等价.现在学习的是第20页，共22页若把一集合A分成若干个叫做类的子集,使得A的每一个元属于且只属于一个类,则这些类的全体叫做A的一个分类.集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系,反之也成立.一个集合的一个类中的任何一个元叫做这个类的一个代表.刚好由每一类的一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.10.等价关系与集合的分类现在学习的是第21页，共22页例 A为整数集,定义A的元间的关系R为 则R是一个等价关系,叫做模n的同余关系,记为这个等价关系决定了A的一个分类,有n个元,它们是除以n的余数分别为0,1,2,n-1的A的n个子集,记为0,1,2,n-1.A的一个类叫做模n的剩余类.10.等价关系与集合的分类现在学习的是第22页，共22页