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1、第6章 常微分方程数值解法第1页，共76页，编辑于2022年，星期一绪论 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。第2页，共76页，编辑于2022年，星期一6.1 初值问题的Euler方法第3页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第4页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第5页，共76页，编辑于2022年，星期一初
2、值问题的Euler方法第6页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第7页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第8页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第9页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第10页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第11页，共76页，编辑于2022年，星期一初值问题的Euler方法第12页，共76页，编辑于2022年，星期一 xEuler法y改进的Euler法y精确解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091
3、.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7847701.7378671.732051第13页，共76页，编辑于2022年，星期一6.1.2 误差概述第14页，共76页，编辑于2022年
4、，星期一误差概述第15页，共76页，编辑于2022年，星期一误差概述第16页，共76页，编辑于2022年，星期一误差概述第17页，共76页，编辑于2022年，星期一6.1.3 数值稳定性分析第18页，共76页，编辑于2022年，星期一数值稳定性分析n定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。n隐式Euler法是A稳定的。第19页，共76页，编辑于2022年，星期一6.2 Runge-Kutta方法第20页，共76页，编辑于2022年，星期一Runge-Kutta方法第21页，共76页，编辑于2022年，星期一Runge-Kutta方法
5、第22页，共76页，编辑于2022年，星期一 第23页，共76页，编辑于2022年，星期一Runge-Kutta方法第24页，共76页，编辑于2022年，星期一 第25页，共76页，编辑于2022年，星期一6.2.2 四阶Runge-Kutta方法第26页，共76页，编辑于2022年，星期一四阶Runge-Kutta方法第27页，共76页，编辑于2022年，星期一6.2.3 R-K法的稳定性第28页，共76页，编辑于2022年，星期一R-K法的稳定性第29页，共76页，编辑于2022年，星期一R-K法的稳定性第30页，共76页，编辑于2022年，星期一6.2.5 隐式R-K法第31页，共76页
6、，编辑于2022年，星期一隐式R-K法第32页，共76页，编辑于2022年，星期一隐式R-K法第33页，共76页，编辑于2022年，星期一隐式R-K法第34页，共76页，编辑于2022年，星期一隐式R-K法第35页，共76页，编辑于2022年，星期一6.3 线形多步法n单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1，yn-r(r1)的信息去计算yn+1。n考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为 第36页，共76页，编辑于2022年，星期一6.3.1 基于数值积分的方法第37页，共76页，编辑于2022年，星期一基于数值积分的方法第38页，共76页，编辑
7、于2022年，星期一第39页，共76页，编辑于2022年，星期一基于数值积分的方法第40页，共76页，编辑于2022年，星期一基于数值积分的方法第41页，共76页，编辑于2022年，星期一基于数值积分的方法第42页，共76页，编辑于2022年，星期一基于数值积分的方法nAdams预估校正法n预估 n校正n并取 第43页，共76页，编辑于2022年，星期一6.3.2 基于Taylar展开式的方法第44页，共76页，编辑于2022年，星期一 第45页，共76页，编辑于2022年，星期一基于Taylar展开式的方法第46页，共76页，编辑于2022年，星期一基于Taylar展开式的方法第47页，共7
8、6页，编辑于2022年，星期一 第48页，共76页，编辑于2022年，星期一 第49页，共76页，编辑于2022年，星期一 第50页，共76页，编辑于2022年，星期一 第51页，共76页，编辑于2022年，星期一6.4 一阶常微分方程组数值解法n在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。n由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。第52页，共76页，编辑于2022年，星期一6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法第53页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K方法第54页，共76页，编辑于2022年，星
9、期一第55页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K方法第56页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K方法第57页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K方法第58页，共76页，编辑于2022年，星期一第59页，共76页，编辑于2022年，星期一第60页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K算法第61页，共76页，编辑于2022年，星期一第62页，共76页，编辑于2022年，星期一一阶常微分方程组的R-K方法第63页，共76页，编辑于2022年，星期一6.4.2 刚性方程组第64页，共76页，编辑于2022年，
10、星期一刚性方程组第65页，共76页，编辑于2022年，星期一刚性方程组第66页，共76页，编辑于2022年，星期一6.5 常微分方程边值问题的数值解法n设二阶线性常微分方程为n常见边界条件有三类：第67页，共76页，编辑于2022年，星期一6.5.1 差分方程的建立第68页，共76页，编辑于2022年，星期一差分方程的建立第69页，共76页，编辑于2022年，星期一差分方程的建立第70页，共76页，编辑于2022年，星期一差分方程的建立第71页，共76页，编辑于2022年，星期一算法第72页，共76页，编辑于2022年，星期一二阶常微分方程边值问题的差分算法第73页，共76页，编辑于2022年
11、，星期一例题n例6.5.1 用差分法求解边值问题第74页，共76页，编辑于2022年，星期一例题第75页，共76页，编辑于2022年，星期一xyy(x)e=y(x)-y1.00.50.501.10.727985690.72637532-1.610*10-31.21.01403901.0113430-2.696*10-31.31.36782411.3644456-3.378*10-31.73.68962363.6865656-3.058*10-31.84.56353164.5612288-2.303*10-31.95.58542695.5841425-1.284*10-32.06.77258876.77258870第76页，共76页，编辑于2022年，星期一