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1、第第4章章 曲线和曲面曲线和曲面第1页，共142页，编辑于2022年，星期一曲线的表示形式曲线的表示形式l显示表示显示表示 y=kx+b (三维三维)l隐式表示隐式表示 f(x,y)=0 x2+y2=R2第2页，共142页，编辑于2022年，星期一l参数表示参数表示l将将t归范化为归范化为0,1:t=(t-a)/(b-a)第3页，共142页，编辑于2022年，星期一l直线参数方程直线参数方程l园参数方程园参数方程t10P1P0P1(x,y)第4页，共142页，编辑于2022年，星期一4.1 曲线和曲面的基础知识曲线和曲面的基础知识 4.1.1曲线及其参数表示1.参数曲线的分类曲线分为规规则则曲
2、曲线线、拟拟合合曲曲线线(不不规规则则曲曲线线)和和随随机机曲曲线线三大类。所谓规则曲线就是具有确定描述函数的曲线,如直线、圆锥曲线等。第5页，共142页，编辑于2022年，星期一自由曲线曲面的发展过程自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片双三次曲面片19641967年，美国年，美国MIT，Coons双三次曲面片双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，年，美国通用汽车公司，Cordon和和Riese
3、nfeld,Forrest,B样条曲线曲面样条曲线曲面1975年，美国年，美国Syracuse大学，大学，Versprille有理有理B样条样条80年代，年代，Piegl和和Tiller,NURBS方法方法第6页，共142页，编辑于2022年，星期一2.参数曲线的定义如图4.1所示,对于三维空间上连续的单值参数曲线可定义为它是三维空间上的一个有界点集,t=0和t=1分别为参数曲线的两个端点参数。第7页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.1参数曲线及其几何量第8页，共142页，编辑于2022年，星期一3.参数曲线的几何量以下的几何量示意图参见图4.1。1)位置矢量对于三维参数曲线,曲线上
4、任一点的位置矢量(即其坐标),可用矢量P(t)表示 P(t)=x(t)y(t)z(t)第9页，共142页，编辑于2022年，星期一2)切矢量对于三维参数曲线,曲线上任一点的切矢量可用矢量P(t)表示,P(t)=x(t)y(t)z(t)。其大小反映了曲线关于参数t在该点处的变化速度,其方向趋于该点的切线方向。对于一般参数t,若|dP/dt|0,则有对于弧长参数s,通常称矢量T为单位切矢量。第10页，共142页，编辑于2022年，星期一3)曲率设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的曲率定义为k=|dT/ds|。因此即称=1/k为曲率半径。第11页，共142页，编辑于2022年，星期一4)法矢量上述
5、讨论中T是单位切矢量,dT/ds是一个与T垂直的矢量。将与dT/ds平行的单位矢量记作N。对于空间的参数曲线,所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。因此,曲线上某一点处就有一束法线,它们在一个平面上,我们称此平面为曲线在该点处的法平面,而把平行于矢量N的法线叫作曲线在该点的主法线,N称为单位主法线矢量。第12页，共142页，编辑于2022年，星期一矢量积B=TN,是一个与T和N垂直的矢量。把平行于矢量B的法线叫做曲线的副法线,B称为单位副法线矢量。T、N和B是三个互相垂直的单位矢量,构成了曲线在该点处的直角坐标系,它在曲线给定点上决定了三个基本方向。通过曲线上这个给定点,把由矢量T和N张成的平面
6、称为密切平面,把由矢量N和B张成的平面称为法平面,把由矢量B和T张成的平面称为化直平面。第13页，共142页，编辑于2022年，星期一5)挠率仍设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的挠率定义为=|dB/ds|,它反映了曲线在该点处扭出其密切平面的速率。对于平面曲线,密切平面就是曲线所在的平面,其副法矢量是固定不变的,有dB/ds=0,因此,确定曲线为平面曲线的充要条件是,曲线上任意点处的挠率等于零。对于非平面曲线,矢量B不再是常数,它说明了曲线在该点处的扭挠性质。第14页，共142页，编辑于2022年，星期一4.参数曲线的代数形式和几何形式在以下的讨论中,以三次参数曲线为例。三次参数曲线的代数
7、形式是x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xy(t)=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yz(t)=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0zt0,1第15页，共142页，编辑于2022年，星期一其矢量表示式为 P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0t0,1(4-1)其中,a3、a2、a1、a0是其代数系数矢量,它们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。因而,只要a3、a2、a1、a0确定,该三次参数曲线也就惟一地确定了。第16页，共142页，编辑于2022年，星期一为了确定a3、a2、a1、a0,我们可以选择端点矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率等几何量作为条件。假设已知两个端
8、点矢量分别为P(0)和P(1),端点切矢量分别为P(0)和P(1),下面我们来确定a3、a2、a1、a0。由式(4-1)得P(t)=3a3t2+2a2t+a1(4-2)第17页，共142页，编辑于2022年，星期一将上述的已知条件代入(4-1)式和(4-2)式得P(0)=a0P(1)=a3+a2+a1+a0P(0)=a1P(1)=3a3+2a2+a1第18页，共142页，编辑于2022年，星期一由上述方程组可求得a0=P(0)a1=P(0)a2=-3P(0)+3P(1)-2P(0)-P(1)a3=2P(0)-2P(1)+P(0)+P(1)第19页，共142页，编辑于2022年，星期一令P0=P
9、(0),P1=P(1),P0=P(0),P1=P(1),将a3、a2、a1、a0代入式(4-1)得P(t)=(2t3-3t2+1)P0+(-2t3+3t2)P1+(t3-2t2+t)P0+(t3-t2)P1t0,1(4-3)令F1=2t3-3t2+1,F2=-2t3+3t2,F3=t3-2t2+t,F4=t3-t2,则式(4-3)可写为P(t)=F1P0+F2P1+F3P0+F4P1(4-4)第20页，共142页，编辑于2022年，星期一由于F=F1F2F3F4可以写成则P=FB可表示为P=TMB，并且A=MB,B=M-1A。第21页，共142页，编辑于2022年，星期一5.重新参数化如图4.
10、2所示,设曲线的原参数为t,其两个端点参数分别为ti和tj,几何系数矩阵为B1=PiPjPiPjT,曲线的新参数为w,其两个端点参数分别为wi和wj,几何系数矩阵为B2=RiRjRiRjT。由于端点位置矢量不变,因而有Ri=Pi,Rj=Pj。为了保证曲线切矢量的方向不变,且参数化的方程仍为三次,则w和t必存在线性关系,令w=at+b,于是有第22页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.2曲线重新参数化第23页，共142页，编辑于2022年，星期一由此求得因为所以重新参数化后的曲线与原来曲线的几何系数之间的关系是第24页，共142页，编辑于2022年，星期一6.参数曲线的截断、分割、拼接1
11、)参数曲线的截断如图4.3所示,一条参数曲线在ti和tj处被截断,仅取从ti到tj的一段作为新的曲线。它相当于对该曲线重新参数化,使得ti对应于w0,tj对应于w1。由于w1-w0=1,因而截断后的参数曲线的几何系数矩阵B=R0R1R0R1T，其中R0=Pi,R1=PjR0=-(ti-tj)PiR1=-(ti-tj)Pj第25页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.3参数曲线的截断第26页，共142页，编辑于2022年，星期一2)参数曲线的分割当一条参数曲线被分割成具有任意长度的n条新的参数曲线时,如果其中第i段曲线的边界条件和参数由Pi,Pi,ti给出,则第i段曲线重新参数化后的几何系
12、数矩阵为若一条参数曲线被等分成n段曲线,即参数变量的间隔是相等的,则第i段曲线的几何系数矩阵为第27页，共142页，编辑于2022年，星期一3)参数曲线的拼接参数曲线的拼接是指把几条参数曲线段连接在一起,形成一条新的参数曲线,如果已知两条参数曲线的几何系数为B1和B2,将B1,B2拼接成一条新的参数曲线,其几何系数为B3,令第28页，共142页，编辑于2022年，星期一由于B3的端点必须与B1和B2重合,因而有P3(0)=P1(0),P3(1)=P2(1)。再者,B3在端点的切矢量和B1、B2相同,即有第29页，共142页，编辑于2022年，星期一所以B3的几何系数矩阵是其中,a、b0,通过a
13、,b的变化来改变B3曲线的内部形状。第30页，共142页，编辑于2022年，星期一曲线在拼接时,为了达到整条光滑要求,在连接点处应满足拼接条件,我们称之为曲线段间的几何连续性,它常有如下几种:(1)位置连续,用G0表示。(2)斜率连续,用G1表示。(3)曲率连续,用G2表示。第31页，共142页，编辑于2022年，星期一7.有理参数曲线有理参数曲线是基于齐次坐标(参见5.1.1节)的参数曲线。在齐次坐标空间定义的参数曲线可写成 P(t)=X(t)Y(t)Z(t)W(t)T该齐次坐标空间的点映射到三维空间,则有第32页，共142页，编辑于2022年，星期一由此可知,对于任何无理参数曲线均可通过增
14、加W(t),使之变为有理参数曲线。例如,在齐次坐标空间中Hermite曲线的代数式为xw=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xyw=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yzw=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0zw=a3wt3+a2wt2+a1wt+a0w第33页，共142页，编辑于2022年，星期一将其映射到三维空间,有第34页，共142页，编辑于2022年，星期一总的来说,采用有理多项式曲线有下列优点:(1)增加了控制曲线形状的自由度。(2)有理参数多项式具有几何和透视投影变换不变性。(3)用有理参数多项式可精确地表示圆锥曲线、二次曲面,进而统一几何造型算法。第35页，共142
15、页，编辑于2022年，星期一8.构造曲线的方法插值、逼近是构造拟合曲线的重要方法。1)插值所谓插值是指给定函数f(x)在区间a,b中互异的n个点(xi,f(xi)(i=1,2,n),要求构造一个函数(x)去逼近f(x),且要求(xi)=f(xi)(i=1,2,n)。(x)称为插值函数,(xi,f(xi)(i=1,2,n)称为插值节点或型值点。第36页，共142页，编辑于2022年，星期一线性插值就是给定函数f(x)的两个不同的点(x1,y1)和(x2,y2),构造一个线性插值函数(x)=ax+b近似代替函数f(x)。根据插值的定义可以确定系数a和b,因而可得线性插值函数为第37页，共142页，
16、编辑于2022年，星期一抛物线插值是指给定函数f(x)的三个互异点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3),构造一个抛物线插值函数(x)=ax2+bx2+c。同样,根据插值的定义可以确定系数a、b和c,则抛物线插值函数为第38页，共142页，编辑于2022年，星期一2)逼近插值方法构造的插值函数的次数与插值点的个数有关,当插值点太多时,构造插值函数是相当困难的,并且,过多的插值点也会带来一定的误差。而逼近方法构造的多项式函数与型值点的个数无关。逼近的方法很多,最常用的有最小二乘法。第39页，共142页，编辑于2022年，星期一4.1.2曲面及其参数表示1.曲面的分类曲面也分为规则曲面和拟
17、合曲面(不规则曲面)两大类。规则曲面就是具有确定描述函数的曲面,如圆柱、圆锥、圆球等回转曲面、螺旋面等。由离散特征点构造函数来描述的曲面称为拟合曲面,也称自由曲面。如Coons曲面、Bzier曲面、B样条曲面等。第40页，共142页，编辑于2022年，星期一2.参数曲面的定义和曲线一样,尽管曲面也有显式、隐式和参数表示,但是在计算机图形学上,参数曲面更便于用计算机表示和构造。如图4.4所示,一张矩形域上的由曲线边界包围具有一定连续性的、单值的曲面片的参数方程为其中，u,w为参数。第41页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.4参数曲面片及其几何量第42页，共142页，编辑于2022年，星
18、期一3.描述参数曲面的几何量以下的几何量示意图参见图4.4。1)位置矢量曲面片上任一点的位置矢量可表示为 P(u,w)=x(u,w)y(u,w)z(u,w)。设曲面片上某一点的参数分别为ui和wj,则该点可表示为P(ui,wj),简记为Pij。第43页，共142页，编辑于2022年，星期一2)角点一张矩形域上的曲面片的四个角点分别是P(0,0)、P(0,1)、P(1,0)、P(1,1),分别简记为P00、P01、P10、P11。3)边界线一张矩形域曲面片的四条边界线分别是P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w),分别简记为Pu0、Pu1、P0w、P1w。4)切矢量在曲面片上一点P
19、ij处的u向切矢为Puij,w向切矢为Pwij。第44页，共142页，编辑于2022年，星期一5)法矢量在曲面片上一Pij处的法矢量为N(ui,wj),简记为Nij。6)扭矢量在曲面片上一点Pij处的扭矢量为Puwij。第45页，共142页，编辑于2022年，星期一4.参数曲面的代数形式和几何形式在以下的讨论中,以双三次参数曲面片为例。双三次参数曲面片是由两个三次参数变量u、w定义的曲面片,其边界线为三次参数曲线。其代数形式是第46页，共142页，编辑于2022年，星期一可用矩阵表示为P=UAWT,其中第47页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.5由边界参数定义的双三次参数曲面第48页
20、，共142页，编辑于2022年，星期一5.参数曲面的重新参数化如图4.6所示,图4.6(a)所示曲面片的参数区间是从ui变到uj和从wk变到wl,其几何系数矩阵是B1,图4.6(b)所示曲面片的参数区间是从ti变到tj和从vk变到vl,其几何系数矩阵是B2。第49页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.6参数曲面的重新参数化第50页，共142页，编辑于2022年，星期一由于这两张曲面片的位置不变,因此角点位置应重合,即Qik=Pik,Qil=Pil,Qjk=Pjk,Qjl=Pjl。若要保证重新参数化后的曲面片的参数方程仍是双三次方程,则要求u和t,w和v之间应是线性关系,即有第51页，共
21、142页，编辑于2022年，星期一6.参数曲面的分割如图4.7所示,设给一张参数曲面片,其几何系数矩阵为B1,若在其上分割出一张子曲面片,其几何系数矩阵为矩阵B2,它的边界是由ui、uj及wk、wl定义的参数曲线。子曲面片的四个角点:Q00=Pik,Q10=Pjk,Q01=Pil,Q11=Pjl。令t1-t0=1,v1-v0=1,则子曲面片的四个角点的切矢和扭矢分别为第52页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.7参数曲面的分割第53页，共142页，编辑于2022年，星期一第54页，共142页，编辑于2022年，星期一7.曲面片间的连续性构造曲面时,人们常常用若干张曲面片拼合成一张曲面。
22、为了达到整张曲面光顺的要求,在连接点处应满足下面的连续性要求。(1)位置连续,用G0表示。即两曲面片在连接处的边界应一致。(2)斜率连续,用G1表示。即两曲面片在连接处的切平面方向应保持一致。8.曲面的光顺曲面通常用两簇相交的网格线来表示,只要空间网格线光顺就认为曲面是光顺的。第55页，共142页，编辑于2022年，星期一4.2 常用参数曲线常用参数曲线 4.2.1Bzier曲线Bzier曲线是法国雷诺汽车公司的工程师PierreBzier于1962年提出的,它将函数逼近同几何表示结合起来,目的在于使设计师在计算机上能得心应手地绘图。Bzier曲线在各种CAD系统中有广泛的应用。第56页，共1
23、42页，编辑于2022年，星期一假设给出n+1个控制点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则n次Bzier多项式函数为(4-5)第57页，共142页，编辑于2022年，星期一由控制点Pi(i=0,1,2,n)中相邻两点的连线构成的折线集称为Bzier特征多边形。Bzier曲线的形状逼近于特征多边形的形状,起点和终点与多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。Bi,n(t)是Bernstein基函数,也是Bzier曲线的调和函数。Bzier曲线的性质由它的调和函数所决定。如图4.8所示的是一条三次Bzier曲线。第58页，共142页，编辑于20
24、22年，星期一图4.8三次Bzier曲线第59页，共142页，编辑于2022年，星期一1.Bernstein调和函数的性质1)正性并且第60页，共142页，编辑于2022年，星期一2)权性事实上第61页，共142页，编辑于2022年，星期一3)对称性Bi,n(t)=Bn-i,n(1-t)i=0,1,2,n事实上 Bn-i,n(1-t)=Cn-in1-(1-t)n-(n-i)(1-t)n-i=Cinti(1-t)n-i=Bi,n(t)第62页，共142页，编辑于2022年，星期一4)递推性Bi,n(t)=(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)i=0,1,n事实上Bi,n(t)=C
25、inti(1-t)n-i=(Cin-1+Ci-1n-1)ti(1-t)n-i =(1-t)Cin-1ti(1-t)(n-1)-i+tCi-1n-1(1-t)(n-1)-(i-1)ti-1 =(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)第63页，共142页，编辑于2022年，星期一5)导函数Bi,n(t)=nBi-1,n-1(t)-Bi,n-1(t)i=0,1,2,n事实上Bi,n(t)=nCi-1n-1(1-t)n-iti-1-nCin-1(1-t)n-i-1ti =nBi-1,n-1(t)-Bi,n-1(t)第64页，共142页，编辑于2022年，星期一2.Bzier曲线的性质1)
26、端点性质(1)端点位置矢量。Bzier曲线的两个端点分别为C(0)、C(1)。根据Bernstein调和函数正性可知:C(0)=P0,同样可得:C(1)=Pn。第65页，共142页，编辑于2022年，星期一(2)切矢量。因为第66页，共142页，编辑于2022年，星期一所以第67页，共142页，编辑于2022年，星期一(3)曲率。因为所以C(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0)C(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)第68页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.9Bzier曲线的对称性第69页，共142页，编辑于2022年，星期一2)对称性如图4.9所示,若保持原Bzie
27、r曲线的全部控制点Pi位置不变,把其次序颠倒得到新的特征多边形的顶点,即P*i=Pn-i,(i=0,1,n);则新Bzier曲线形状不变,只是走向相反。第70页，共142页，编辑于2022年，星期一3)凸包性由于且0Bi,n(t)1,0t1,i=0,1,n;这表明,对某个确定的t值,C(t)是特征多边形各顶点Pi的加权平均,权因子依次是Bi,n(t)。反映在几何图形上,C(t)是Pi各点的凸线性组合,并且曲线上各点均落在特征多边形的凸包围之中。第71页，共142页，编辑于2022年，星期一4)几何不变性0t1，参变量u是t的置换这表明Bzier曲线的位置与形状不依赖坐标系的选择。第72页，共1
28、42页，编辑于2022年，星期一5)变差缩减性 Bzier曲线的特征多边形P0P1Pn所在的平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线和其特征多边形的交点个数。这表明Bzier曲线比特征多边形波动还小、更光顺。第73页，共142页，编辑于2022年，星期一3.Bzier曲线的矩阵表示工程上比较常用一次、二次、三次Bzier曲线,根据Bzier曲线的定义式(4-5)容易推出它们的矩阵表示。1)一次Bzier曲线当n=1时,第74页，共142页，编辑于2022年，星期一2)二次Bzier曲线当n=2时,矩阵表示是:第75页，共142页，编辑于2022年，星期一3)三次Bzier曲线当n=3时矩阵表
29、示是:第76页，共142页，编辑于2022年，星期一4.Bzier曲线的生成算法对于n次Bzier曲线,可用deCasteljau算法生成曲线上的离散点集,再用线性插值或二次插值依次将各点连接起来,生成光滑的n次Bzier曲线。deCasteljau算法:给定空间n+1个点Pi(i=0,1,2,n)及参数t,则有r=1,2,n;i=0,1,2,n-r;t0,1第77页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.10Casteljau算法的递推过程第78页，共142页，编辑于2022年，星期一5.Bzier曲线的拼接及连续性设给定两条Bzier曲线P(t)、Q(t)的控制点列分别为Pi(i=0,
30、1,n)和Qi(j=0,1,m),如果将P(t)的终点Pn和Q(t)的始点Q0重合,则它们在Pn、Q0处达到C0连续。要使它们达到C1连续,要求P(t)在Pn点的切矢量和Q(t)在Q0点的切矢量同方向且大小相等。在C1连续的前提下,满足在Pn、Q0处密切平面重合、副法线矢量同向且曲率相等,则它们在Pn、Q0处达到C2连续。第79页，共142页，编辑于2022年，星期一6.反算Bzier曲线控制点若给定n+1个型值点Qi(i=0,1,n),要求构造一条Bzier曲线通过这些点。根据Bzier曲线的定义可知,构造一条Bzier曲线关键在于求Bzier曲线的控制点Pi(i=0,1,n)。我们可取参数
31、t=i/n与点Qi相对应,从而求出Pi。第80页，共142页，编辑于2022年，星期一由这组方程可解出Pi(i=0,1,n)。第81页，共142页，编辑于2022年，星期一7.Bzier曲线的升阶为了提高对曲线的灵活控制,而不改变原来曲线的形状,可以对原Bzier曲线进行升阶,也就是增加控制点。设原Bzier曲线的控制点为Pi(i=0,1,n),升阶后的Bzier曲线的控制点为Qi(i=0,1,n+1),则由Bzier曲线的定义得第82页，共142页，编辑于2022年，星期一对上式左乘以(t+(1-t)得通过比较等式两边ti(1-t)n+1-i项的系数得第83页，共142页，编辑于2022年，
32、星期一8.有理Bzier曲线有理Bzier曲线定义为0t1第84页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.11有理Bzier曲线第85页，共142页，编辑于2022年，星期一9.Bzier曲线的缺点Bzier曲线的缺点有以下两点：(1)特征多边形顶点个数决定了Bzier曲线的阶次,并且当n较大时,特征多边形对曲线的控制将会减弱;(2)Bzier曲线不能作局部修改,即改变某一控制点的位置对整条曲线都有影响。第86页，共142页，编辑于2022年，星期一4.2.2B样条曲线1.B样条曲线的定义已知n+1个控制点Pi(i=0,1,n),则k次(k+1阶)B样条曲线的表达式是第87页，共142页，
33、编辑于2022年，星期一其中,Ni,k(u)是调和函数,也称之为基函数,由Schoenberg提出，其递归定义为其它(4-6)(tkutn+1)(4-7)第88页，共142页，编辑于2022年，星期一定义说明:(1)由空间的n+1个控制点生成的k次B样条曲线是由L+1段B样条曲线逼近而成的,每个曲线段的形状仅由点列中的k+1个顺序排列的点所控制;(2)参数u的取值范围由n+k+2个给定节点矢量值分成n+k+1个子区间;(3)节点值记为t0,t1,tn+k+1,所生成的B样条曲线仅定义在从节点值tk到节点值tn+1；(4)任一控制顶点可以影响最多k+1个曲线段的形状。第89页，共142页，编辑于
34、2022年，星期一2.B样条曲线的性质1)局部性由于第90页，共142页，编辑于2022年，星期一因而k次B样条曲线在修改时只被相邻的k+1个顶点所控制,而与其它顶点无关。当移动一个顶点时,只对其中的一段曲线有影响,并不对整条曲线产生影响。如图4.12所示的是一条均匀B样条曲线。当移动顶点P4时只对其中一段曲线有影响。第91页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.12B样条曲线的局部可控性第92页，共142页，编辑于2022年，星期一2)连续性B样条曲线在ti(k+1in)处有L重节点的连续性不低于(k-L)次。3)几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。4)变差缩减性在B样
35、条曲线的特征多边形所在平面内的任意一条直线与B样条曲线的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。第93页，共142页，编辑于2022年，星期一5)几何造型的灵活性用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。第94页，共142页，编辑于2022年，星期一3.B样条曲线的矩阵表示对于k次B样条曲线,第i段曲线可定义为其中第95页，共142页，编辑于2022年，星期一1)一次B样条曲线因为0u1所以,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n),则每相邻两个顶点可构造出一段一次B样条曲线,其中第i段可表示成i=1,2,n;0u1第96页，共142页，编辑于2022年，星期一2)二次B样条曲线由
36、于0u1第97页，共142页，编辑于2022年，星期一因而,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n),则相邻的每三个顶点可构造出一段二次B样条曲线,如图4.13所示,其中第i段可表示成0u1；i=1,2,n-1第98页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.13二次B样条曲线第99页，共142页，编辑于2022年，星期一其端点的几何性质有以下三点:(1)端点位置矢量：Ci,2(0)=0.5(Pi-1+Pi)，Ci,2(1)=0.5(Pi+Pi+1)(2)端点一阶导数矢量：且第100页，共142页，编辑于2022年，星期一(3)端点二阶导数矢量：即曲线段的二阶矢量等于该曲线的两条边矢量Pi
37、-1-Pi和Pi+1-Pi所成的对角线矢量。第101页，共142页，编辑于2022年，星期一3)三次B样条曲线由于第102页，共142页，编辑于2022年，星期一因而,若从空间n+1个顶点Pi(i=0,1,n)中每次取相邻的四个顶点,可构造出一段三次B样条曲线,如图4.14所示,其中第i段可表示成u0,1;i=1,2,n-2第103页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.14三次B样条曲线第104页，共142页，编辑于2022年，星期一其端点的几何性质有以下三点:(1)端点位置矢量:(2)端点切矢量:第105页，共142页，编辑于2022年，星期一(3)端点的二阶导矢量:第106页，共1
38、42页，编辑于2022年，星期一4.B样条曲线的生成算法给定空间有n+1个控制顶点Pi(i=0,1,n),k次B样条曲线上的点可用deBoor算法求得。若utj,tj+1,kjn,则第107页，共142页，编辑于2022年，星期一这个递推过程可用如下的递推公式描述:r=1,2,ki=j-k+r,j第108页，共142页，编辑于2022年，星期一deBoor算法的伪C语言描述如下:intBspline-to-points(k,l,controls,t,dense,points)/*Input:k:polynomialdegreeofeachpieceofcurvel:numberofactive
39、intervalscontrols:controlpointst:nodalpointsequence:t0tl+2*degree+1dense:howmanypointspersegmentOutput:points:coordinatesofpointsoncurve第109页，共142页，编辑于2022年，星期一return:numberofpointsaregenerated.*/floatcontrols,t,points;intk,l,dense;inti,j,point-num;floatu;floatdeboor();point-num=0;for(j=k-1;jtj)/*sk
40、ipzerolengthintervals*/for(i=0;idense;i+)第110页，共142页，编辑于2022年，星期一u=tj+i*(tj+1-tj)/dense;pointspoint-num+=deboor(k,controls,t,u,j)returnpoint-num;floatdeboor(k,controls,t,u,j)/*Input:k:polynomialdegreeofeachpieceofcurvecontrols:controlpoints第111页，共142页，编辑于2022年，星期一t:nodalpointsequenceu:evaluationabsc
41、issaj:usinterval:tjutj+1Output:Coordinatevalue*/floatcontrols,t;floatu;intk,j;inti,r;floatt1,t2;floatcontrolsa30;第112页，共142页，编辑于2022年，星期一for(i=j-k;i=j;i+)controlsai=controlsi;for(r=1;r=k;r+)for(i=j-k+r;i=j;i+)t1=(ti+k-r+1-u)/(ti+k-r+1-ti);t2=1.0-t1;controlsai=t1*controlsai-1+t2*controlsai;returncont
42、rolsai;第113页，共142页，编辑于2022年，星期一5.反求B样条曲线的控制点已知型值点列Ci(i=1,2,n-1),要求一条三次B样条曲线L,该曲线通过各Ci点。现在要求曲线L的控制多边形的控制顶点Pi(i=0,1,2,n)。由曲线的端点性质可得下列线性方程组:Pi-1+4Pi+Pi+1=6Cii=1,2,n-1在此方程中再补充两个边界条件,即可得惟一解,例如已知曲线始、终点的切向量C1和Cn-1,则有第114页，共142页，编辑于2022年，星期一把它们写成矩阵式为求出B样条特征多边形的控制顶点Pi,即可生成相应的B样条曲线。第115页，共142页，编辑于2022年，星期一4.2
43、.3其它曲线1.四点式曲线如图4.15所示,已知空间不同的四个点P1、P2、P3、P4,它们具有连续的t值,且满足t1t2t3t4,要求构造一条过这四个点的参数曲线,这便是四点式曲线。第116页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.15四点式曲线第117页，共142页，编辑于2022年，星期一由Hermite曲线的几何形式的矩阵表示P=TMB得，B=M-1T-1P=KP,显然K=M-1T-1,K-1=TM,若采用等距的t值分布,即t1=0,t2=1/3，t3=2/3,t4=1,则有第118页，共142页，编辑于2022年，星期一令四点式曲线表示为Q(t)=TMB=TMKP,若令则四点式曲
44、线的几何表达式为Q(t)=TNP,其中P=P1P2P3P4。令A=NP,则四点式曲线的代数表达式为Q(t)=TA。第119页，共142页，编辑于2022年，星期一2.有理B样条曲线与NURBS曲线已知n+1个控制点Pi,其权因子为i(i=0,1,n),则k次(k+1阶)有理B样条曲线的表达式是第120页，共142页，编辑于2022年，星期一其中,Ni,k(u)是调和函数,同式(4-7),其节点矢量为若对于全部kjn,存在tj+1-tj=d(d是一个正实数),则称该有理B样条曲线为均匀有理B样条曲线,否则为非均匀有理B样条曲线。第121页，共142页，编辑于2022年，星期一4.3 常用参数曲面
45、常用参数曲面 4.3.1Coons曲面Coons曲面是由四条边界曲线定义的插值曲面片,曲面片通过四条边界线。常用的Coons曲面为双三次Coons曲面,它是三次参数样条曲线的拓广。双三次Coons曲面由四个角点的位置矢量、两个方向切矢以及扭矢来定义,如图4.16所示。第122页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.16Coons曲面片第123页，共142页，编辑于2022年，星期一4.3.2Bzier曲面Bzier曲面是Bzier曲线的拓广。设Pij(i=0,1,m;j=0,1,n)为(m+1)(n+1)个空间点列,则mn次Bzier曲面定义为第124页，共142页，编辑于2022年，星
46、期一Bzier曲面的矩阵表达式是当m=n=3时,上述曲面片称为双三次Bzier曲面。即第125页，共142页，编辑于2022年，星期一其矩阵表示为第126页，共142页，编辑于2022年，星期一其中第127页，共142页，编辑于2022年，星期一如图4.17所示,Bz阵是该曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵,其中p00,p03,p30,p33在曲面片的角点处,Bz阵四周的12个控制顶点定义了四条Bzier曲线,即为曲面片的边界曲线;Bz阵中央的四个控制点p11,p12,p21,p22与边界曲线无关,但也影响曲面的形状。第128页，共142页，编辑于2022年，星期一图4.17双三次Bzi
47、er曲面第129页，共142页，编辑于2022年，星期一4.3.3B样条曲面基于均匀B样条曲线的定义,我们定义B样条曲面。给 定(m+1)(n+1)个 空 间 点 列 Pij(i=0,1,m;j=0,1,n),则定义了kl次B样条曲面的特征网络。上式也可写成如下的矩阵式:上式中有y,z分别表示在u,w参数方向上曲面片的个数。第130页，共142页，编辑于2022年，星期一Pkl是某一个B样条面片的控制点编号。第131页，共142页，编辑于2022年，星期一4.3.4非均匀有理B样条(NURBS)曲面1.NURBS曲面的定义给 定(m+1)(n+1)个 空 间 点 列 Pij,其 权 因 子 为
48、ij(i=0,1,m;j=0,1,n),则kl次有理B样条曲面片的表达式是:第132页，共142页，编辑于2022年，星期一其中,Ni,k(u)和Nj,l(w)分别是k次和l次调和函数,同式(4-7),其节点矢量S、T分别为第133页，共142页，编辑于2022年，星期一NURBS曲面还可以用有理基函数表示,也可以表示成齐次坐标的形式。它的有理基函数表示为其中Ri,k;j,l(u,w)是双变量有理基函数第134页，共142页，编辑于2022年，星期一NURBS曲面的齐次坐标表示为其中,Dij=ijPij,ij称为控制顶点Pij的带权控制顶点或齐次坐标。第135页，共142页，编辑于2022年，
49、星期一2.NURBS曲面的性质与设计有理B样条曲面具有与非有理B样条曲面相类似的几何性质。从另一个角度看,NURBS曲线的大多数性质都可以直接推广到NURBS曲面。NURBS曲面的主要性质如下:(1)局部性,这是NURBS曲线的局部性的推广;(2)凸包性,与非有理B样条曲面同样的凸包性质;(3)仿射与透视变换下的不变性;第136页，共142页，编辑于2022年，星期一(4)沿u向在重复度为r重的u节点处是Ck-r参数连续的,沿v向在重复度为r的w节点处是Cl-r参数连续的;(5)NURBS曲面是非有理与有理贝齐尔曲面及非有理B样条曲面的合适推广。(6)NURBS曲面不具有变差缩减性质。第137
50、页，共142页，编辑于2022年，星期一由NURBS曲面的定义可知,欲给出一张曲面的NURBS表示,需要确定的定义数据包括如下内容:(1)控制顶点Pi,j(i=0,1,m;j=0,1,n);(2)相应的权因子ij(i=0,1,m;j=0,1,n);(3)u参数的次数k,w参数的次数l;(4)u向节点矢量U与w向节点矢量V(次数k与l也分别隐含于节点矢量U与V中)。第138页，共142页，编辑于2022年，星期一习习 题题 1.对于三次参数曲线,如果已知两个端点的位置矢量及二阶导数矢量,试求出相应的调和函数和系数矩阵M。2.已知一条曲线的几何系数矩阵为B=P0P1P0P1T,t0,1,若将参数t