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1、高数课件无穷级数常数项级数审敛法营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第1页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题级数的收敛性问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.定理定理第2页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54
2、3566213.比较审敛法比较审敛法证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界第3页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.第4页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解由图可知由图可知第5页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.第6页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，比较
3、审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法形式的比较审敛法证明证明第7页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 543566214.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收
4、敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;第8页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.第9页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第10页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.第11页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明证明第12页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621收敛收敛发散发散第13页，此课件共38页哦营口地区
5、成人高等教育 QQ群 54356621比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.直接从级数本身直接从级数本身的构成的构成即通项来判定其敛散性即通项来判定其敛散性 两点注意两点注意:第14页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第15页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解第16页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法第17页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例5解解由于由于不存在，检比法失效不存在，检比
6、法失效 而而对对由检比法得由检比法得 收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知收敛收敛第18页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例6解解由检比法得由检比法得 级数收敛级数收敛级数发散级数发散第19页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621检比法失效检比法失效，但，但即后项大于前项即后项大于前项故级数发散故级数发散第20页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明证明取取则则由由知知由由收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得收敛收敛收敛收敛第21页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621由由知
7、知故故不趋于不趋于 0发散发散不能判定不能判定如如都有都有但但收敛收敛发散发散第22页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621级数收敛级数收敛.第23页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.第24页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证明证明第25页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.第26页，此课件共38页哦营口地区成
8、人高等教育 QQ群 54356621解解原级数收敛原级数收敛.证明证明 un 单调减的方法单调减的方法？第27页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明第28页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数第29页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.将正项级数的检比法和检
9、根法应用于判定任意项级将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理数的敛散性可得到如下定理第30页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621定理定理设有级数设有级数 则则绝对收敛绝对收敛发散发散可能绝对收敛，可能条件收敛，可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散也可能发散如如第31页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621注意注意一般而言，由一般而言，由 发散，并不能推出发散，并不能推出发散发散如如发散发散但但 收敛收敛如果如果 发散是由检比法和检根法而审定发散是由检比法和检根法而审定则则 必定发散必定发散这是因为检比法与检根
10、法这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于审定级数发散的原因是通项不趋向于0由由第32页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;第33页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.第34页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题第35页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第36页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621第37页，此课件共38页哦营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案第38页，此课件共38页哦