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1、第3章 系统的时间响应分析2022/10/111第1页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/112n3.1 时间响应及其组成n3.2 典型输入信号n3.3 一阶系统的时间响应n3.4 二阶系统的时间响应n3.5 二阶系统的性能指标n3.6 高阶系统的时间响应n3.7 系统误差分析与计算n3.8 函数在时间响应中的作用返回第2页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/113 3.1 时间响应及其组成所谓“时间响应”是指系统在时间函数的输入作用下,其输出(响应)随时间的变化规律。在数学上,就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解.时间响应：提供了系统输出量随时间变化的
2、全部信息；是一种在时域中直观、准确的分析的方法；是系统时域分析的关键，为评价系统提供了依据。第3页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/114(1)建立控制系统的数学模型;(2)求解描述系统的数学模型(微分方程、状态空间表达方式等）;(3)获取系统对输入信号的响应曲线和函数，(4)确定控制系统的性质和特征。其中，求解数学模型是时域分析的关键。在此基础上,可对系统进行深入的研究:找出系统响应的共同规律，研究参数变化对系统性能的影响，如何改进系统，提高其控制品质等。时间响应分析步骤：时间响应分析步骤：第4页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/115时间响应分析的内
3、容：时间响应分析的内容：(1)(1)系统的稳定性系统的稳定性 不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。指标:衰减率、衰减比n、衰减指数m等。(2)(2)系统的动态特性系统的动态特性 系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的过渡过程中输出与输入间的关系。系统的动态特性，可以通过系统的暂态响应来评价。指标:动态偏差xom、调节(过渡)时间ts等。(3)(3)系统的稳态特性系统的稳态特性 系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特性，主要靠系统的稳态响应来评价。指标:稳态误差ess等。第5页，共80页，编辑于2022年，星期一 2
4、022/10/116时间响应的性能指标：时间响应的性能指标：（参阅第六章）（参阅第六章）控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。控制系统的时域性能指标通常是按系统的单位阶跃响应的某些特征量来定义的。由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表，来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的工作品质。控制系统的时域性能指标主要有两类：单项性指标 综合性指标 它们的定义如下：第6页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1170.5y()td延迟时间延迟时间t td d：响应曲线响应曲线第一次达到第一次达到其终值一半其终值一
5、半所需的时间所需的时间0.9y()0.1y()tr上升时间上升时间t tr r：响应从终值的响应从终值的10%10%上升到终上升到终值的值的90%90%所需所需的时间的时间tp峰值时间峰值时间tp：响应超过其终值，响应超过其终值，到达第一个峰值所到达第一个峰值所需的时间需的时间ts调节时间调节时间t ts s：响应到达并保持在响应到达并保持在终值终值 2%或或5%5%内内所需的最短时间所需的最短时间%超调量超调量响应的最大偏离量响应的最大偏离量y(ty(tp p)与终值与终值y(y()之差的百分比之差的百分比ess稳态误差稳态误差ess：响应的最终稳定响应的最终稳定值与希值与希望值之差望值之差
6、y()y(t t)t希望值希望值h0误差带：误差带：终值的终值的 2%或或5%以内以内y ym m动态偏差动态偏差y ym:m:响应过程中的最大偏差响应过程中的最大偏差A A1 1A A2 2衰减率衰减率:衰减比衰减比 n:n:n=A1/A2图中：图中：y(t)=xy(t)=xo o(t)(t)第7页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/118单项性指标稳定性指标衰减率、衰减比、振荡次数等快速性指标延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、振荡频率与周期等准确性指标最大超调量、动态偏差、稳态误差等综合性指标平方误差积分准则（ISE）时间平方误差积分准则（ITSE）绝对误差积分准则
7、（IAE）时间绝对值误差准则（ITAE）时间响应的性能指标：时间响应的性能指标：（参阅第六章）（参阅第六章）e(t)为输出的希望值与实际值之间的误差.第8页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/119 如图所示系统:在外力 (即输入)作用下:其动力学方程为:根据微分方程解的结构理论,该非齐次常微分方程的解为:对应齐次常微分方程通解非齐次方程特解输入输出式中：为系统的无阻尼固有频率系统的时间响应系统的时间响应:第9页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1110或：式中:设:(初始条件)有:故:的解为:第10页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/
8、1111初始条件引起的自由响应(零输入响应)输入引起的强迫响应自由响应（强迫响应）输入引起的自由响应系统初始为零，仅由输入引起的响应（零状态响应）分析：控制工程所研究的往往是零状态响应对应特解对应通解第11页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1112式中:为方程的特征根一般情况下,设系统动力学方程为:方程的解的一般形式为:自由响应强迫响应零输入响应零状态响应第12页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1113注意:1.系统的阶次n和si取决于系统的固有特性（结构、参数）,与系统的输入和初态无关;2.由y(t)=L-1Y(s)=L-1G(s)X(s)所求得的
9、输出是系统的零状态响应;3.对于线性定常系统,若 引起的输出为 ,则 引起的输出为 。第13页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1114系统特征根对自由响应的影响第14页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1115系统特征根对自由响应的影响第15页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1116由上可知：若所有的特征根均具有负实部时,系统的自由响应项收敛于0;(系统稳定)此时,自由响应称为瞬态响应.强迫响应称为稳态响应。若存在特征根的实部为正,则系统的自由响应项发散;(系统不稳定)Re若存在特征根的实部为零,其余的实部为负,系统的自由响应项等
10、幅振荡.(系统临界稳定)Re第16页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11171.特征根的实部影响自由响应项的收敛性.2.特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况.虚部绝对值越大,自由响应项的振荡频率越高.结论:实部越大,自由响应项的收敛性越差;负实部的绝对值越大，自由响应项收敛性越快。自由响应强迫响应零输入响应零状态响应返回第17页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1118 3.2 典型输入信号 在实际工程中，控制系统承受各种形式的输入。在不同形式的输入作用下，系统被控量的变化情况（响应）会各不相同，为便于系统性能的研究和比较，通常选用几种确定性函数作为系
11、统的典型输入。（1）易于在现场或实验室实现；（2）能基本代表实际输入作用的性能；（3）可考验系统，又不破坏系统正常运行；（4）数学表达式简单，便于理论计算。选为典型输入的必备条件：以下介绍几种常用的典型输入第18页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1119数学表达式为：A 为阶跃幅值，A=1称单位阶跃函数，用u u（t t）表示曲线表达：1、阶跃函数Laplace变换表达式为：0tXi(t）A第19页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11202、脉冲函数数学表达式为：由两个阶跃函数合成。t0脉冲宽度 A脉冲面积(脉冲强度)，A=1称为单位脉冲函数,用(t
12、)(t)函数表示.曲线表达：Laplace变换表达式为：A/t00t t0Xi(t）第20页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1121数学表达式为：曲线表达：Laplace变换表达式为：3、斜坡函数R为斜率，R=1称单位斜坡函数 01tXi(t）R第21页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1122数学表达式为：曲线表达：Laplace变换表达式为：4、正弦函数A振幅；角频率；初始相角xi(t)=Asin（t-）Xi(t)A0t第22页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11235、抛物线信号数学表达式为：曲线表达：Laplace变换表达
13、式为：0tXi(t）6、随机信号曲线表达：0tXi(t）在控制系统分析中最常用的是单位阶跃和单位脉冲信号返回第23页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11243.3 一阶系统的时间响应可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统一阶系统。典型的一阶系统微分方程式为：对应的传递函数为：式中：T时间常数；K放大系数；xO输出变量，xi输入变量。第24页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1125一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 对于一阶系统有：对上式两边进行拉普拉斯反变换，得到一阶系统的单位阶跃响应为：其响应曲线为一条指数曲线：Kt0 xo0.632P
14、AT斜率斜率K/T第25页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1126特征：特征：（1）在t=0时，曲线的斜率最大。且为：随时间增加曲线斜率不断下降。（2）当t时，斜率为零，动态过程结束。此时：即单位阶跃信号经过了一阶系统后被放大了K倍。（3）当t=T时，系统的响应值为：工程上常用这个特征来判断实验曲线是不是一阶系统的响应曲线。Kt0 xo0.632PAT斜率K/T第26页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1127一阶系统响应的典型值一阶系统响应的典型值 由上可知由上可知:(1)一阶系统瞬态响应的主要部分是在动态过程初始阶段内完成的。时间 t响应 xo(t
15、)T0.632K2T0.865K3T0.95K4T0.982K5T0.99K第27页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1128 （2）理论上，只有在t时动态过程才能结束。实际上，当输出响应进入到一定的误差范围（2%或5%）后，就可以认为动态过程已经结束。通常，用调节时间ts来描述动态过程的长短。ts就是一阶系统的动态性能指标。若取2%的误差范围，则：若取5%的误差范围，则:（3）一阶系统有两个特性参数：时间常数T：是决定系统动态特性的参数。T的大小表明了一阶系统惯性的大小。T越大，系统惯性越大，ts也越大，系统输出响应变化得慢；反之亦然。放大系数K：是决定系统稳态特性的参数
16、。K越大，系统输出响应变化越大。第28页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1129一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应的拉普拉斯变换为：经拉普拉斯反变换，得：其响应曲线为：t t0 0 x xo oT TT Tx xi i(t)=t(t)=tx xo o(t)(t)输入输出可以看出：可以看出：即使在 ，达到稳定状态，输出与输入之间仍有差值。第29页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1130一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应由于单位脉冲函数的拉普拉斯变换等于1，所以一阶系统单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：经拉普拉斯反变换
17、，得：其响应曲线为：t0 xo(t)0.368K/0.368K/T TT2T3TK/K/T T斜率-K/T 2第30页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1131 比较一阶系统的阶跃、斜坡、脉冲输入与响应函数，可知线性定常系统的一个重要特性：线性定常系统对输入信号导数（积分）的响应，等于系统对该输入信号响应的导数（积分）。根据这一特性，可较方便地求出较复杂输入信号的响应。单位斜坡函数单位斜坡函数x(t)=t响应响应求求导导单位阶跃函数单位阶跃函数x(t)=1单位脉冲函数单位脉冲函数(t)=1求求导导响应响应响应响应求求导导求求导导第31页，共80页，编辑于2022年，星期一
18、2022/10/1132 时间常数T是反映了一阶系统的惯性大小,不同T下的响应情况如下:任何输入下任何输入下,T,T越大越大,系统惯性越大系统惯性越大,系统输出响应变化系统输出响应变化越越缓慢；缓慢；第32页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1133一阶系统性能指标:调整时间 指一阶系统在阶跃输入作用输入下,达到稳态值的（1-）所需要的时间(为允许误差).调整时间反映系统响应的快速性,ts的大小由T决定，T越大,系统惯性越大,调整时间ts越长。=2%时，ts=4T=5%时，ts=3T返回第33页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1134 凡是可用二阶微分
19、方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍。不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。3.4 二阶系统的时间响应第34页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1135二阶系统的传递函数标准形式二阶系统的传递函数标准形式设所研究的二阶系统的微分方程为：对应的传递函数为：研究二阶系统时,一般采用如下传递函数：阻尼比阻尼比(或无阻尼系数或无阻尼系数)式中：式中：自然频率自然频率(或无阻尼振荡频率或无阻尼振荡频率)一般形式一般形式标准形式标准形式第35页
20、，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1136若令二阶系统传递函数的分母多项式为零，则有：随着的取值不同,二阶系统的特征根也会不同，如：二阶系统的二阶系统的特征方程特征方程该特征方程的两个根(系统的闭环极点)为：显然，显然，二阶系统的时间响应取决于二阶系统的时间响应取决于 和和 n n这两个特性参数。这两个特性参数。对于不同结构的二阶系统，对于不同结构的二阶系统，和和 n的物理含意不同。的物理含意不同。第36页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1137有一对具有负实部的共轭复根，称“欠阻尼系统欠阻尼系统”。有一对共轭虚根，称“无阻尼系统无阻尼系统”。j0s欠
21、阻尼欠阻尼j0s无阻尼无阻尼第37页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1138有一对相等的负实数根，称“临界阻尼系统临界阻尼系统”。有一对不相等的负实数根，称“过阻尼系统过阻尼系统”。j0sj0s欠阻尼欠阻尼无阻尼无阻尼j0s临界阻尼临界阻尼j0s过阻尼过阻尼第38页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1139二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应记为:w(t)其中则:二阶系统有阻尼固有频率有阻尼固有频率第39页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1140 1)当 时（欠阻尼）脉冲响应曲线为:第40页，共80页，编
22、辑于2022年，星期一 2022/10/1141 2)当 时（无阻尼）脉冲响应曲线为:第41页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1142 3)当 时（临界阻尼）脉冲响应曲线为:第42页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1143 4)当 时（过阻尼）脉冲响应曲线为:第43页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1144二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应因为：则有：第44页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1145 1)当 时（欠阻尼）第45页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1146 2)当
23、 时（无阻尼）3)当 时(临界阻尼)第46页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1147 4)当 时（过阻尼）第47页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1148结论：二阶系统的阻尼比影响系统的振荡特性，阻尼比越小,振荡越激烈.返回第48页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11493.5 二阶系统的性能指标 通常以二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应定义二阶系统的性能指标:二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应为:定义的性能指标包括：1.上升时间2.峰值时间3.最大超调量4.调整时间5.振荡次数第49页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/
24、11501.上升时间2.峰值时间3.最大超调量(只与系统的阻尼比有关,与系统的无阻尼固有频率无关.)第50页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11514.调整时间5.振荡次数当00.7时(=2%)(=5%)第51页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1152 结论:1)要使二阶系统具有满意的动态特性,必须选择合适的阻尼比和无阻尼固有频率n 2)系统的响应速度与振荡性能比之间往往是存在矛盾的.由于超调量只与系统的阻尼比有关,与系统的无阻尼固有频率无关。通常，根据容许的超调量来选择阻尼比.第52页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1153例
25、：如图所示系统中 ,求其瞬态性能指标 解:系统的闭环传递函数为:1.上升时间2.峰值时间+-Xi(s)Xo(s)E(s)第53页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11543.最大超调量4.调整时间当00.7时(=2%)(=5%)5.振荡次数+-Xi(s)Xo(s)E(s)第54页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1155例:如图a所示机械系统,在质块m上施加xi(t)=8.9N阶跃力后,m的时间响应xo(t)如图b所示.求m,k,c.0.00290.03xo(t)/m01234t/s(b)解：xi(t)=8.9N,xo()=0.03m,xo(tp)-xo
26、()=0.0029m,tp=2s而1）求k且系统的传递函数为：kcxi(t)xo(t)(a)m第55页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1156而故 k=297N/m2)求m由得而故 m=77.3kg3)求c由得：c=181.8Ns/m0.00290.03xo(t)/m01234t/s(b)第56页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1157例:图a所示系统,单位阶跃输入时,要求Mp5%,试:1)校核系统是否满足要求？2)增加微分负反馈,如图b所示,求满足要求时的取值？Xi(s)+-Xo(s)(a)Xi(s)+-Xo(s)(b)1+s解：1）原系统可知 =
27、0.316；n=36.12故不满足要求。第57页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11582）系统(b)可知 n=36.12若要满足要求，可令：求得：=0.69 从而：=0.0236sXi(s)+-Xo(s)(b)1+s返回第58页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11593.6 高阶系统的时间响应 高阶系统的时间响应可视为多个一阶环节和二环节响应的叠加高阶系统传递函数为：或第59页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1160 单位阶跃作用下部分分式展开单位阶跃响应st第60页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/116
28、11.系统的极点均位于s平面的左半平面(特征根是负实根或具有负实部的复根)时,第二、三项衰减,衰减的快慢取决于极点离虚轴的距离,离虚轴愈远,衰件愈快;t第61页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1162第62页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11632.如果系统中离虚轴最近的极点,其实部小于其它极点实部的1/5,并且附近不存在零点,则该极点称为主导极点。系统的响应特征主要由主导极点决定.3.系统振荡的幅值与极点、零点和系数项皆有关。极点在s左半平面距原点越远，对应的幅值越小；零点与极点越靠近，对幅值的影响越小；系数越大，对幅值的影响越大。返回第63页，
29、共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11643.7 系统误差分析与计算系统误差:输出希望值x xoror(t)(t)与实际输出值x xo o(t)(t)之差.以输出端为基准定义系统偏差:输出设定值x xi i(t)(t)与输出反馈值b(t)b(t)之差.以输入端为基准定义X Xoror(s)(s)第64页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11651、偏差与误差的关系:误差Laplace变换:偏差Laplace变换:X Xoror(s)(s)已知E可求E1H=1，E=E1第65页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1166偏差与误差的关系图示
30、如下:已知E可求E1H=1，E=E1由此关系可知：第66页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11672、系统稳态误差与稳态偏差误差稳态误差:或偏差稳态偏差:或系统进入稳定状态后的误差与偏差。第67页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11683、稳态偏差与输入有关 1.单位阶跃输入时:式中：Kp位置无偏系数第68页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11692.单位斜坡输入时:式中：Kv速度无偏系数3.单位加速度输入时:式中：Ka加速度无偏系数系统的稳态偏差与输入信号密切有关。第69页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/
31、1170 系统的稳态偏差不仅与输入信号密切相关，而且，与系统结构特征及开环增益有关。定义：v=0：称为 0型系统,v=1：称为型系统,v=2：称为型系统，。4、稳态偏差与系统的型次、开环增益有关设系统的开环传递函数为:描述系统结构特征式中：v为系统中串联积分环节的个数；K为开环增益。第70页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1171系统系统输入单位阶跃输入 单位斜坡输入单位加速度输入0型系统型系统0型系统00可以求证：不同输入作用下不同系统的稳态偏差第71页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1172n系统型次越高,稳态偏差越小；n开环增益越大,稳态偏差越
32、小；由上可知：5、有干扰作用下的偏差和误差第72页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1173误差：第73页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1174偏差：第74页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11751.稳态偏差与输入信号有关;2.稳态偏差与系统型次有关.型次越高,稳态偏差越小;3.稳态偏差与系统开环增益有关.开环增益越大,稳态偏差越小;4.当系统存在几个输入作用时,可按叠加原理进行计算，其稳态偏差是它们分别作用的稳态偏差之和；5.系统存在干扰作用时,总的偏差等于给定输入与干扰分别作用引起的偏差之和;6.单位反馈系统稳态误差与稳态
33、偏差相同.结论:返回第75页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1176 3.8单位脉冲响应在时间响应中的作用 单位脉冲响应函数与传递函数互为Laplace变换对系统传递函数的Laplace反变换是系统的单位脉冲响应.由w(t)求任意输入的响应:任意输入函数xi(t)可近似为由N个脉冲信号组成。如图所示：每个输入脉冲的强度为：第76页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1177第77页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/11780t时间内，系统对xi(t)的响应为所有脉冲输入的响应之和.时刻的单位脉冲响应第78页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1179任意输入函数的响应等于该输入函数与单位脉冲响应函数的卷积由卷积性质:符合传函定义返回)()()()()(:,00twtxdtwxtxitio*=-=ttt上式可表达为时当第79页，共80页，编辑于2022年，星期一 2022/10/1180第三章习题3.4(2)3.8 3.11 3.13 3.15 3.17 3.19 第80页，共80页，编辑于2022年，星期一